1、 2015 年江西省南昌市中考 真题 数学 一、选择题（本大题共 6 小题，每小题 3分，共 18分，每小题只有一个正确选项） 1.计算（ 1） 0的结果为（ ） A.1 B. 1 C.0 D.无意义 解析 ： （ 1） 0=1， （ 1） 0的结果为 1. 答案 ： A. 2. 2015 年初，一列 CRH5 型高速车组进行了 “300000 公里正线运营考核 ” 标志着中国高速快车从 “ 中国制造 ” 到 “ 中国创造 ” 的飞跃，将 300000 用科学记数法表示为（ ） A.310 6 B.310 5 C.0.310 6 D.3010 4 解 析 ：将 300000 用科学记数法表示为
2、： 310 5. 答案 ： B. 3.下列运算正确的是（ ） A.（ 2a2） 3=6a6 B. a2b23ab 3= 3a2b5 C. D. 解 析 ： A、原式 =8a6，错误； B、原式 = 3a3b5，错误； C、原式 = ，错误； D、原式 = ，正确； 答案： D. 4.如图是将正方体切去一个角后形成的几何体，则该几何体的左视图为（ ） A. B. C. D. 解 析 ：从左面看所得到的图形是正方形，切去部分的棱能看到，用实线表示， 答案 ： C. 5.如图，小贤为了体验四边形的不稳定性，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架 ABCD， B与 D 两点之间用一根橡皮筋拉直固定，然后向右
3、扭动框架，观察所得四边形的变化，下列判断错误的是（ ） A.四边形 ABCD 由矩形变为平行四边形 B.BD 的长度增大 C.四边形 ABCD 的面积不变 D.四边形 ABCD 的周长不变 解 析 ： 矩形框架 ABCD， B 与 D 两点之间用一根橡皮筋拉直固定，然后向右扭动框架， AD=BC ， AB=DC， 四边形变成平行四边形， 故 A 正确； BD 的长度增加， 故 B 正确； 拉成平行四边形后，高变小了，但底边没变， 面积变小了，故 C 错误； 四边形的每条边的长度没变， 周长没变， 故 D 正确， 答案： C. 6.已知抛物线 y=ax2+bx+c（ a 0）过（ 2， 0），（
4、 2， 3）两点，那么抛物线的对称轴（ ） A.只能是 x= 1 B.可能是 y 轴 C.在 y 轴右侧且在直线 x=2 的左侧 D.在 y 轴左侧且在直线 x= 2 的右侧 解 析 ： 抛物线 y=ax2+bx+c（ a 0）过（ 2， 0），（ 2， 3）两点， 点（ 2， 0）关于对称轴的对称点横坐标 x2满足： 2 x2 2， 2 0， 抛物线的对称轴在 y 轴左侧且在直线 x= 2 的右侧 . 答案： D. 二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 3分，共 24分） 7.一个角的度数为 20 ，则它的补角的度数为 . 解 析 ： 180 20=160 . 答案： 160 . 8.不等
5、式组 的解集是 . 解 析 ： ， 由 得： x2 ， 由 得： x 3， 则不等式组的解集为 3 x2 . 答案： 3 x2 9.如图， OP 平分 MON ， PEOM 于 E， PFON 于 F， OA=OB，则图中有 对全等三角形 . 解 析 ： OP 平分 MON ， PEOM 于 E， PFON 于 F， PE=PF ， 1=2 ， 在 AOP 与 BOP 中， ， AOPBOP ， AP=BP ， 在 EOP 与 FOP 中， ， AOPBOP ， 在 RtAOP 与 RtBOP 中， ， R tAOPR tBOP ， 图中有 3 对全等三角形， 答案： 3. 10.如图，点 A
6、， B， C 在 O 上， CO 的延长线交 AB 于点 D， A=50 ， B=30 ，则 ADC的度数为 . 解 析 ： A=50 ， BOC=2A=100 ， B=30 ， BOC=B+ BDC， BDC=BOC B=100 30=70 ， ADC=180 BDC=110 ， 答案 ： 110 . 11.已知一元二次方程 x2 4x 3=0 的两根为 m， n，则 m2 mn+n2= . 解 析 ： m ， n 是一元二次方程 x2 4x 3=0 的两个根， m+n=4 ， mn= 3， 则 m2 mn+n2=（ m+n） 2 3mn=16+9=25. 答案： 25. 12.如图 1 是
7、小志同学书桌上的一个电子相框，将其侧面抽象为如图 2 所示的几何图形，已知 BC=BD=15cm， CBD=40 ，则点 B 到 CD 的距离为 cm（参考数据 sin200.342 ，cos200.940 ， sin400.643 ， cos400.766 ，结果精确到 0.1cm，可用科学计算器） . 解 析 ：如图 2，作 BECD 于 E， BC=BD ， CBD=40 ， CBE=20 ， 在 RtCBE 中， cosCBE= ， BE=BCcosCBE =150.940 =14.1cm. 答案： 14.1. 13.两组数据： 3， a， 2b， 5 与 a， 6， b 的平均数都是
8、 6，若将这两组数据合并为一组数据，则这组新数据的中位数为 . 解 析 ： 两组数据： 3， a， 2b， 5 与 a， 6， b 的平均数都是 6， ， 解得 ， 若将这两组数据合并为一组数据，按从小到大的顺序排列为 3， 4， 5， 6， 8， 8， 8， 一共 7 个数，第四个数是 6，所以这组数据的中位数是 6. 答案 ： 6. 14.如图，在 ABC 中， AB=BC=4， AO=BO， P 是射线 CO 上的一个动点， AOC=60 ，则当 PAB为直角三角形时， AP 的长为 . 解 析 ：当 APB=90 时（如图 1）， AO=BO ， PO=BO ， AOC=60 ， BO
9、P=60 ， BOP 为等边三角形， AB=BC=4 ， AP=ABsin60=4 =2 ； 当 ABP=90 时，情况一：（如图 2）， AOC=BOP=60 ， BPO=30 ， BP= = =2 ， 在直角三角形 ABP 中， AP= =2 ， 情况二：如图 3， AO=BO ， APB=90 ， PO=AO ， AOC=60 ， AOP 为等边三角形， AP=AO=2 ， 答案 ： 2 或 2 或 2. 三、解答题（本大题共 4 小题，每小题 6分，共 24分） 15.先化简，再求值： 2a（ a+2b）（ a+2b） 2，其中 a= 1， b= . 解析 ： 原式第一项利用单项式乘以
10、多项式法则计算，第二项利用完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果，把 a 与 b 的值代入计算即可求出值 . 答案 ：原式 =2a2+4ab a2 4ab 4b2=a2 4b2， 当 a= 1， b= 时，原式 =1 12= 11. 16.如图，正方形 ABCD 于正方形 A1B1C1D1关于某点中心对称，已知 A， D1， D 三点的坐标分别是（ 0， 4），（ 0， 3），（ 0， 2） . （ 1）求对称中心的坐标 . （ 2）写出顶点 B， C， B1， C1的坐标 . 解析 ：（ 1）根据对称中心的性质，可得对称中心的坐标是 D1D 的中点，据此解答即可 . （ 2）首先根据 A，
11、 D 的坐标分别是（ 0， 4），（ 0， 2），求出正方形 ABCD 与正方形 A1B1C1D1的边长是多少，然后根据 A， D1， D 三点的坐标分别是（ 0， 4），（ 0， 3），（ 0， 2），判断出顶点B， C， B1， C1的坐标各是多少即可 . 答案 ：（ 1）根据对称中心的性质，可得 对称中心的坐标是 D1D 的中点， D 1， D 的坐标分别是（ 0， 3），（ 0， 2）， 对称中心的坐标是（ 0， 2.5） . （ 2） A ， D 的坐标分别是（ 0， 4），（ 0， 2）， 正方形 ABCD 与正方形 A1B1C1D1的边长都是： 4 2=2， B ， C 的坐标分
12、别是（ 2， 4），（ 2， 2）， A 1D1=2， D1的坐标是（ 0， 3）， A 1的坐标是（ 0， 1）， B 1， C1的坐标分别是（ 2， 1），（ 2， 3）， 综上，可得 顶点 B， C， B1， C1的坐标分别是（ 2， 4），（ 2， 2），（ 2， 1），（ 2， 3） . 17.O 为 ABC 的外接圆，请仅用无刻度的直尺，根据下列条件分别在图 1，图 2 中画出一条弦，使这条弦将 ABC 分成面积相等的两部分（保留作图痕迹，不写作法） . （ 1）如图 1， AC=BC； （ 2）如图 2，直线 l 与 O 相切于点 P，且 lBC . 解析 ：（ 1）过点 C 作
13、直径 CD，由于 AC=BC， = ，根据垂径定理的推理得 CD 垂直平分AB，所以 CD 将 ABC 分成面积相等的两部分； （ 2）连结 PO 并延长交 BC 于 E，过点 A、 E 作弦 AD，由于直线 l与 O 相切于点 P，根据切线的性质得 OPl ，而 lBC ，则 PEBC ，根据垂径定理得 BE=CE，所以弦 AE 将 ABC 分成面积相等的两部分 . 答案 ：（ 1）如图 1， 直径 CD 为所求； （ 2）如图 2， 弦 AD 为所求 . 18.在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的 10 个小球，其中红球 4 个，黑球 6 个 . （ 1）先从袋子中取出 m（ m 1）个红
14、球，再从袋子中随机摸出 1 个球，将 “ 摸出黑球 ” 记为事件 A，请完成下列表格： 事件 A 必然事件 随机事件 m 的值 （ 2）先从袋子中取出 m 个红球，再放入 m 个一样的黑球并摇匀，随机摸出 1 个黑球的概率等于 ，求 m 的值 . 解析： （ 1）当袋子中全部为黑球时，摸出黑球才是必然事件，否则就是随机事件； （ 2）利用概率公式列出方程，求得 m 的值即可 . 答案 ：（ 1）当袋子中全为黑球，即摸出 4 个红球时，摸到黑球是必然事件； 当摸出 2 个或 3 个时，摸到黑球为随机事件， 答案 ： 4； 2， 3. （ 2）根据题意得： = ， 解得： m=2， 所以 m 的值
15、为 2. 四、解答题（本大题共 3 小题，每小题 8分，共 24分） 19.某校为了了解学生家长对孩子使用手机的态度情况，随机抽取部分学生家长进行问卷调查，发出问卷 140 份，每位学生家长 1 份，每份问卷仅表明一种态度，将回收的问卷进行整理（假设回收的问卷都有效），并绘制了如图两幅不完整的统计图 . 根据以上信息解答下列问题： （ 1）回收的问卷数为 份， “ 严加干涉 ” 部分对应扇形的圆心角度数为 . （ 2）把条形统计图补充完整 （ 3）若将 “ 稍加询问 ” 和 “ 从来不管 ” 视 为 “ 管理不严 ” ，已知全校共 1500 名学生，请估计该校对孩子使用手机 “ 管理不严 ”
16、的家长大约有多少人？ 解析 ：（ 1）用 “ 从来不管 ” 的问卷数除以其所占百分比求出回收的问卷总数；用 “ 严加干涉 ”部分的问卷数除以问卷总数得出百分比，再乘以 360 即可； （ 2）用问卷总数减去其他两个部分的问卷数，得到 “ 稍加询问 ” 的问卷数，进而补全条形统计图； （ 3）用 “ 稍加询问 ” 和 “ 从来不管 ” 两部分所占的百分比的和乘以 1500 即可得到结果 . 答案 ：（ 1）回收的问卷数为： 3025%=120 （份）， “ 严加干涉 ” 部分对应扇形的圆心角度数为： 360=30 . 故答案为： 120， 30 ； （ 2） “ 稍加询问 ” 的问卷数为： 12
17、0（ 30+10） =80（份）， 补全条形统计图，如图所示： （ 3）根据题意得： 1500 =1375（人）， 则估计该校对孩子使用手机 “ 管理不严 ” 的家长大约有 1375 人 . 20.（ 1）如图 1，纸片 ABCD 中， AD=5， SABCD=15，过点 A作 AEBC ，垂足为 E，沿 AE剪下ABE ，将它平移至 DCE 的位置，拼成四边形 AEED ，则四边形 AEED 的形状为 C A.平行四边形 B.菱形 C.矩形 D.正方形 （ 2）如图 2，在（ 1）中的四边形纸片 AEED 中，在 EE 上取一点 F，使 EF=4，剪下 AEF ，将它平移至 DEF 的位置，
18、拼成四边形 AFFD . 求证：四边形 AFFD 是菱形 . 求四边形 AFFD 的两条对角线的长 . 解析 ：（ 1）根据矩形的判定，可得答案； （ 2） 根据菱形的判定，可得答案； 根据勾股定理，可得答案 . 答案 ：（ 1）如图 1，纸片 ABCD 中， AD=5， SABCD=15，过点 A作 AEBC ，垂足为 E，沿 AE剪下 ABE ，将它平 移至 DCE 的位置，拼成四边形 AEED ，则四边形 AEED 的形状为矩形， 故选： C； （ 2） 证明： 纸片 ABCD 中， AD=5， SABCD=15，过点 A 作 AEBC ，垂足为 E， AE=3 . 如图 2： ， AE
19、F ，将它平移至 DEF ， AFDF ， AF=DF ， 四边形 AFFD 是平行四边形 . 在 RtAEF 中，由勾股定理，得 AF=AD=5 ， 四边形 AFFD 是菱形； 连接 AF ， DF，如图 3： 在 RtDEF 中 EF=FF EF=5 4=1， DE=3 ， 在 RtAEF 中 EF=EF+FF=4+5=9 ， AE=3， 21.如图，已知直线 y=ax+b 与双曲线 y= （ x 0）交于 A（ x1， y1）， B（ x2， y2）两点（ A 与B 不重合），直线 AB 与 x 轴交于 P（ x0， 0），与 y 轴交于点 C. （ 1）若 A， B 两点坐标分别为（
20、1， 3），（ 3， y2），求点 P 的坐标 . （ 2）若 b=y1+1，点 P 的坐标为（ 6， 0），且 AB=BP，求 A， B 两点的坐标 . （ 3）结合（ 1），（ 2）中的结果，猜想并用等式表示 x1， x2， x0之间的关系（不要求证明） . 解析 ：（ 1）先把 A（ 1， 3）， B（ 3， y2）代入 y= 求得反比例函数的解析式，进而求得 B 的坐标，然后把 A、 B 代入 y=ax+b 利用待定系数法即可求得直线的解析式，继而即可求得 P的坐标； （ 2）作 ADy 轴于 D， AEx 轴于 E， BFx 轴于 F， BGy 轴于 G， AE、 BG 交于 H，则
21、 ADBGx轴， AEBFy 轴，得出 = ， = = ，根据题意得出 ， = = ， 从而求得 ，然后根据 k=xy 得出 x1y 1= y1，求得 y1=2，代入= ，解得 x1=2，即可求得 A、 B 的坐标； （ 3）合（ 1），（ 2）中的结果 ，猜想 x1+x2=x0. 答案 ：（ 1） 直线 y=ax+b 与双曲线 y= （ x 0）交于 A（ 1， 3）， k=13=3 ， y= ， B （ 3， y2）在反比例函数的图象上， y 2= =1， B （ 3， 1）， 直线 y=ax+b 经过 A、 B 两点， 解得 ， 直线为 y= x+4， 令 y=0，则 x=4， P （
22、4， O）； （ 2）如图，作 ADy 轴于 D， AEx 轴于 E， BFx 轴于 F， BGy 轴于 G， AE、 BG 交于 H， 则 ADBGx 轴， AEBFy 轴， = ， = = ， b=y 1+1， AB=BP， = ， = = ， B （ ， y1） A ， B 两点都是反比例函数图象上的点， x 1y 1= y1， 解得 y1=2， 代入 = ，解得 x1=2， A （ 2， 2）， B（ 4， 1） . （ 3）根据（ 1），（ 2）中的结果，猜想： x1， x2， x0之间的关系为 x1+x2=x0. 五、解答题（本大题共 2 小题，每小题 9分，共 18分） 22.甲
23、、乙两人在 100 米直道 AB 上练习匀速往返跑，若甲、乙分别中 A， B 两端同时出发，分别到另一端点处掉头，掉头时间不计，速度分别为 5m/s 和 4m/s. （ 1）在坐标系中，虚线表示乙离 A 端的距离 s（单位： m）与运动时间 t（单位： s）之间的函数图象（ 0t200 ），请在同一坐标系中用实线画出甲离 A 端的距离 s 与运动时间 t 之间的函数图象（ 0t200 ）； （ 2）根据（ 1）中所画图象，完成下列表格： 两人相遇次数 （单位：次） 1 2 3 4 n 两人所跑路程之和 （单位： m） 100 300 （ 3） 直接写出甲、乙两人分别在第一个 100m 内， s
24、 与 t 的函数解析式，并指出自变量 t的取值范围； 当 t=390s 时，他们此时相遇吗？若相遇，应是第几次？若不相遇，请通过计算说明理由，并求出此时甲离 A 端的距离 . 解析 ：（ 1）根据甲跑 100 米所用的时间为 1005=20 （秒），画出图象即可； （ 2）根据甲和乙第一次相遇时，两人所跑路程之和为 100 米，甲和乙第二次相遇时，两人所跑路程之和为 1002+100=300 （米），甲和乙第三次相遇时，两人所跑路程之和为2002+100=500 （米），甲和乙第四次相遇时，两人所跑路程之和为 3002+100=700 （米），找到规律即可解答； （ 3） 根据路程、速度、 时
25、间之间的关系即可解答； 由 200n 100=9390 ，解得： n=18.05，根据 n 不是整数，所以此时不相遇，当 t=400s时，甲回到 A，所以当 t=390s 时，甲离 A 端距离为（ 400 390） 5=50m . 答案 ：（ 1）如图： （ 2）甲和乙第一次相遇时，两人所跑路程之和为 100 米， 甲和乙第二次相遇时，两人所跑路程之和为 1002+100=300 （米）， 甲和乙第三次相遇时，两人所跑路程之和为 2002+100=500 （米）， 甲和乙第四次相遇时，两人所跑路程之和为 3002+100=700 （米）， 甲和乙第 n 次相遇时，两人所跑路程之和为（ n 1）
26、 1002+100=200n 100（米）， 故答案为： 500， 700， 200n 100； （ 3） s 甲 =5t（ 0t 20）， s 乙 =4t（ 0t25 ） . 由 200n 100=9390 ， 解得： n=18.05， n 不是整数， 此时不相遇， 当 t=400s 时，甲回到 A， 当 t=390s 时，甲离 A 端距离为（ 400 390） 5=50m . 23.如图，已知二次函数 L1： y=ax2 2ax+a+3（ a 0）和二次函数 L2： y= a（ x+1） 2+1（ a 0）图象的顶点分别为 M， N，与 y 轴分别交于点 E， F. （ 1）函数 y=ax
27、2 2ax+a+3（ a 0）的最小值为 ，当二次函数 L1， L2的 y 值同时随着 x的增大而减小时， x 的取值范围是 . （ 2）当 EF=MN 时，求 a 的值，并判断四边形 ENFM 的形状（直接写出，不必证明） . （ 3）若二次函数 L2的图象与 x 轴的右交点为 A（ m， 0），当 AMN 为等腰三角形时，求方程 a（ x+1） 2+1=0 的解 . 解析 ：（ 1）把二次函数 L1： y=ax2 2ax+a+3 化成顶点式，即可求得最小值，分别求得二次函数 L1， L2的 y 值随着 x 的增大而减小的 x 的取值，从而求得二次函数 L1， L2的 y 值同时随着x 的增
28、大而减小时， x 的取值范围； （ 2）先求得 E、 F 点的坐标，作 MGy 轴于 G，则 MG=1，作 NHy 轴于 H，则 NH=1，从而求得 MG=NH=1，然后证得 EMGFNH ， MEF=NFE ， EM=NF，进而证得 EMNF ，从而得出四边形 ENFM 是平行四边形； （ 3）作 MN 的垂直平分线，交 MN 于 D，交 x 轴于 A，先求得 D的坐标，继而求得 MN的解析式，进而就可求得直线 AD 的解析式，令 y=0，求得 A 的坐标，根据对称轴从而求得另一个交 点的坐标，就可求得方程 a（ x+1） 2+1=0 的解 . 答案 ：（ 1） 二次函数 L1： y=ax2
29、 2ax+a+3=a（ x 1） 2+3， 顶点 M 坐标为（ 1， 3）， a 0， 函数 y=ax2 2ax+a+3（ a 0）的最小值为 3， 二次函数 L1的对称轴为 x=1，当 x 1 时， y 随 x的增大而减小； 二次函数 L2： y= a（ x+1） 2+1 的对称轴为 x= 1，当 x 1 时， y 随 x 的增大而减小； 当二次函数 L1， L2的 y 值同时随着 x 的增大而减小时， x的取值范围是 1x1 ； 故答案为： 3， 1x1 . （ 2）由二次函数 L1： y=ax2 2ax+a+3 可知 E（ 0， a+3）， 由二次函数 L2： y= a（ x+1） 2+
30、1= a2x 2ax a+1 可知 F（ 0， a+1）， M （ 1， 3）， N（ 1， 1）， EF=MN= ， a+3 （ a+1） =2 ， a= 1， 作 MGy 轴于 G，则 MG=1，作 NHy 轴于 H，则 NH=1， MG=NH=1 ， EG=a+3 3=a， FH=1（ a+1） =a， EG=FH ， 在 EMG 和 FNH 中， EMGFNH （ SAS）， MEF=NFE ， EM=NF， EMNF ， 四边形 ENFM 是平行四边形； EF=MN ， 四边形 ENFM 是矩形； （ 3）由 AMN 为等腰三角形，可分为如下三种情况： 如图 2，当 MN=NA=2
31、时，过点 N 作 NDx 周，垂足为点 D，则有 ND=1， DA=m（ 1）=m+1， 在 RtNDA 中， NA2=DA2+ND2，即（ 2 ） 2=（ m+1） 2+12， m 1= 1， m2= 1（不合题意，舍去）， A （ 1， 0） . 由抛物线 y= a（ x+1） 2+1（ a 0）的对称轴为 x= 1， 它与 x 轴的另一个交点坐标为（ 1 ， 0） . 方程 a（ x+1） 2+1=0 的解为 x1= 1， x2= 1 . 如图 3，当 MA=NA 时，过点 M 作 MGx 轴，垂足为 G，则有 OG=1， MG=3， GA=|m 1|， 在 RtMGA 中， MA2=M
32、G2+GA2，即 MA2=32+（ m 1） 2， 又 NA 2=（ m+1） 2+12， （ m+1） 2+12=32+（ m 1） 2， m=2， A （ 2， 0）， 则抛物线 y= a（ x+1） 2+1（ a 0）的左交点坐标为（ 4， 0）， 方程 a（ x+1） 2+1=0 的解为 x1=2， x2= 4. 当 MN=MA 时， 32+（ m 1） 2=（ 2 ） 2， m 无实数解，舍去 . 综上所述，当 AMN 为等腰三角形时，方程 a（ x+1） 2=0 的解为 x1= 1， x2=1 或 x1=2， x2= 4. 六、解答题（本大题共 12 分） 24.我们把两条中线互相
33、垂直的三角形称为 “ 称为中垂三角形 ” ，例如图 1，图 2，图 3 中，AF， BE 是 ABC 的中线， AFBE ，垂足为 P，像 ABC 这样的三角形均称为 “ 中垂三角形 ” ，设 BC=a， AC=b， AB=c. 特例探索 （ 1）如图 1，当 ABE=45 ， c=2 时， a= ， b= . 如图 2，当 ABE=30 ， c=4 时， a= ， b= . 归纳证明 （ 2）请你观察（ 1）中的计算结果，猜想 a2， b2， c2三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图 3 证明你发现的关系式 . 拓展应用 （ 3）如图 4，在 ABCD 中，点 E、 F、 G 分别是 A
34、D， BC， CD 的中点， BEEG ， AD=2 ， AB=3，求 AF 的长 . 解析 ：（ 1）由等腰直角三角形的性质得到 AP=BP= AB=2，根据三角形中位线的性质，得到EFAB ， EF= AB= ，再由勾股定理得到结果； （ 2）连接 EF，设 ABP= ，类比着（ 1）即可证得结论 . （ 3）连接 AC 交 EF 于 H，设 BE 与 AF 的交点为 P，由点 E、 G分别是 AD， CD的中点，得到EG 是 ACD 的中位线于是证出 BEAC ，由四边形 ABCD 是平行四边形，得到 ADBC ， AD=BC=2， EAH=FCH 根据 E， F 分别是 AD， BC
35、的中点，得到 AE=BF=CF= AD= ，证出四边形ABFE 是平行四边形，证得 EH=FH，推出 EH， AH 分别是 AFE 的中线，由（ 2）的结论得即可得到结果 . 答案 ：（ 1） AHBE ， ABE=45 ， AP=B P= AB=2， AF ， BE 是 ABC 的中线， EFAB ， EF= AB= ， PFE=PEF=45 ， PE=PF=1 ， 在 RtFPB 和 RtPEA 中， AE=BF= = ， AC=BC=2 ， a=b=2 ， 如图 2，连接 EF， 同理可得： EF= 4=2 ， EFAB ， PEF ABP ， ， 在 RtABP 中， AB=4， AB
36、P=30 ， AP=2 ， PB=2 ， PF=1 ， PE= ， 在 RtAPE 和 RtBPF 中， AE= ， BF= ， a=2 ， b=2 ， 故答案为： 2 ， 2 ， 2 ， 2 ； （ 2）猜想： a2+b2=5c2， 如图 3，连接 EF， 设 ABP= ， AP=csin ， PB=ccos ， 由（ 1）同理可得， PF= PA= ， PE= = ， AE2=AP2+PE2=c2sin2+ ， BF2=PB2+PF2= +c2cos2 ， =c2sin2+ ， = +c2cos2 ， + = +c2cos2+c 2sin2+ ， a 2+b2=5c2； （ 3）如图 4，
37、连接 AC， EF 交于 H， AC 与 BE 交于点 Q，设 BE与 AF的交点为 P， 点 E、 G 分别是 AD， CD 的中点， EFAC ， BEEG ， BEAC ， 四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC ， AD=BC=2 ， EAH=FCH ， E ， F 分别是 AD， BC 的中点， AE= AD， BF= BC， AE=BF=CF= AD= ， AEBF ， 四边形 ABFE 是平行四边形， EF=AB=3 ， AP=PF， 在 AEH 和 CFH 中， ， AEHCFH ， EH=FH ， EH ， AH 分别是 AFE 的中线， 由（ 2）的结论得： AF2+EF2=5AE2， AF 2=5 EF2=16， AF=4 .
