1、2015 年浙江省台州市中考真题数学 一、选择题 (本题有 10 小题，每小题 4 分，共 40 分，请选出各题中符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不得分 ) 1.单项式 2a 的系数是 ( ) A.2 B.2a C.1 D.a 解析 ：根据单项式系数的定义，单项式的系数为 2. 答案： A 2.下列四个几何体中，左视图为圆的是 ( ) A. B. C. D. 解析 ： 因为圆柱是矩形，圆锥是等腰三角形，球是圆，圆台是等腰梯形 . 答案： D 3.在下列调查中，适宜采用全面调查的是 ( ) A.了解我省中学生的视力情况 B.了解九 (1)班学生校服的尺码情况 C.检测一批电灯泡的使用寿命
2、 D.调查台州 600 全民新闻栏目的收视率 解析 ： A、了解我省中学生的视力情况，调查范围广，适合抽样调查，故 A 不符合题意； B、了解九 (1)班学生校服的尺码情况，适合普查，故 B 符合题意； C、检测一批电灯泡的使用寿命，调查局有破坏性，适合抽样调查； D、调查台州 600 全民新闻栏目的收视率调查范围广，适合抽样调查，故 D 不符合题意； 答案： B 4.若反比例函数 y=kx的图象经过点 (2， -1)，则该反比例函数的图象在 ( ) A.第一、二象限 B.第一、三象限 C.第二、三象限 D.第二、四象限 解析 ： 点 (2， -1)在第四象限，则该反比例函数的图象的两个分支在
3、第二、四象限 . 答案： D 5.若一组数据 3， x， 4， 5， 6 的众数为 6，则这组数据的中位数为 ( ) A.3 B.4 C.5 D.6 解析 ： 这组数据的众数为 6， x=6， 则这组数据按照从小到大的顺序排列为： 3， 4， 5， 6， 6， 中位数为： 5. 答案： C 6.把多项式 2x2-8 分解因式，结果正确的是 ( ) A.2(x2-8) B.2(x-2)2 C.2(x+2)(x-2) D.2x(x-4x) 解析 ： 2x2-8=2(x2-4)=2(x-2)(x+2). 答案： C 7.设二次函数 y=(x-3)2-4 图象的对称轴为直线 l，若点 M 在直线 l
4、上，则点 M 的坐标可能是( ) A.(1， 0) B.(3， 0) C.(-3， 0) D.(0， -4) 解析 ： 二次函数 y=(x-3)2-4 图象的对称轴为直线 x=3， 直线 l 上所有点的横坐标都是 3， 点 M 在直线 l 上，点 M 的横坐标为 3. 答案： B 8.如果将长为 6cm，宽为 5cm 的长方形纸片折叠一次，那么这条折痕的长不可能是( )A.8cm B.5 2 cm C.5.5cm D.1cm 解析 ： 易知最长折痕为矩形对角线的长，根据勾股定理对角线长为： 226 5 61 7.8，故折痕长不可能为 8cm. 答案： A 9.如图，在菱形 ABCD 中， AB
5、=8，点 E， F 分别在 AB， AD 上，且 AE=AF，过点 E作 EG AD 交CD 于点 G，过点 F 作 FH AB 交 BC 于点 H， EG与 FH 交于点 O.当四边形 AEOF 与四边形 CGOH的周长之差为 12 时， AE 的值为 ( ) A.6.5 B.6 C.5.5 D.5 解析 ： 四边形 ABCD 是菱形， AD=BC=AB=CD， AD BC， AB CD， EG AD， FH AB， 四边形 AEOF 与四边形 CGOH 是平行四边形， AF=OE， AE=OF， OH=GC， CH=OG， AE=AF， OE=OF=AE=AF， AE=AF， BC-BH=
6、CD-DG，即 OH=HC=CG=OG，四边形 AEOF 与四边形 CGOH 是菱形， 四边形 AEOF 与四边形 CGOH 的周长之差为 12， 4AE-4(8-AE)=12，解得： AE=5.5， 答案： C 10.某班有 20 位同学参加围棋、象棋比赛，甲说：“只参加一项的人数大于 14 人 .”乙说：“两项都参加的人数小于 5.”对于甲、乙两人的说法，有下列四个命题，其中真命题的是( ) A.若甲对，则乙对 B.若乙对，则甲对 C.若乙错，则甲错 D.若甲错，则乙对 解析 ： 若甲对，即只参加一项的人数大于 14 人，不妨假设只参加一项的人数是 15 人， 则两项都参加的人数为 5 人
7、，故乙错 . 若乙对，即两项都参加的人数小于 5 人，则两项都参加的人数至多为 4 人， 此时只参加一项的人数为 16 人，故甲对 . 答案： B 二、填空题 (本题有 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 ) 11.不等式 2x-4 0 的解集是 . 解析 ： 移项得， 2x 4， x 的系数化为 1 得， x 2. 答案： x 2 12.有四张质地、大小、反面完全相同的不透明卡片，正面分别写着数字 1， 2， 3， 4，现把它们的正面向下，随机摆放在桌面上，从中任意抽出一张，则抽出的数字是奇数的概率是 . 解析 ： 有四张质地、大小、反面完全相同的不透明卡片，正面分别写着数字 1， 2，
8、 3， 4， 从中任意抽出一张，则抽出的数字是奇数的概率是： 2142. 答案： 1213.如图，在 Rt ABC 中， C=90， AD是 ABC 的角平分线， DC=3，则点 D 到 AB 的距离是 . 解析 ： 作 DE AB 于 E， AD 是 CAB 的角平分线， C=90， DE=DC， DC=3， DE=3， 即点 D 到 AB 的距离 DE=3. 答案： 3 14.如图，这是台州市地图的一部分，分别以正东、正北方向为 x 轴、 y 轴的正方向建立直角坐标系，规定一个单位长度表示 1km，甲、乙两人对着地图如下描述路桥区 A 处的位置 . 则椒江区 B 处的坐标是 . 解析 ：
9、如图：连接 AB，作 BC x 轴于 C 点， 由题意，得 AB=16， ABC=30， AC=8， BC=8 3 .OC=OA+AC=10， B(10， 8 3 ). 15.关于 x 的方程 mx2+x-m+1=0，有以下三个结论：当 m=0 时，方程只有一个实数解；当m 0 时，方程有两个不等的实数解；无论 m 取何值，方程都有一个负数解，其中正确的是 (填序号 ). 解析 ： 当 m=0 时， x=-1，方程只有一个解，正确； 当 m 0 时，方程 mx2+x-m+1=0 是一元二次方程， =1-4m(1-m)=1+4m+4m2=(2m+1)2 0，方程有两个实数解，错误； 当 x=-1
10、 时， m-1-m+1=0，即 x=-1 是方程 mx2+x-m+1=0 的根，正确 . 答案： 16.如图，正方形 ABCD 的边长为 1，中心为点 O，有一边长大小不定的正六边形 EFGHIJ 绕点O 可任意旋转，在旋转过程中，这个正六边形始终在正方形 ABCD 内 (包括正方形的边 )，当这个正六边形的边长最大时， AE 的最小值为 . 解析 ： 当这个正六边形的边长最大时，作正方形 ABCD 的内切圆 O. 当正六边形 EFGHIJ 的顶点 H 与 O 重合，且点 E在线段 OA上时， AE 最小，如图所示 . 正方形 ABCD 的边长为 1， O 的半径 OE 为 12， AO=12
11、AC=12 2211 = 22， 则 AE 的最小值为 22-12. 答案： 22-12三、解答题 (本题有 8 小题，第 17-20 题每题 8 分，第 21题 10 分，第 22,23 题每题 12 分，第 24 题 14，共 80 分 ) 17.计算： 6 (-3)+|-1|-20150. 解析 ： 原式第一项利用除法法则计算，第二项利用绝对值的代数意义化简，最后一项利用零指数幂法则计算即可得到结果 . 答案： 原式 =-2+1-1=-2. 18.先化简，再求值： 21 1 1aa a ，其中 a= 2 -1. 解析 ： 先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把 a 的值代入进行计算
12、即可 . 答案： 原式 = 2 2 2111 1 1aaa a a ， 当 a= 2 -1 时，原式 = 21122 1 1 19.如图，这是一把可调节座椅的侧面示意图，已知头枕上的点 A 到调节器点 O 处的距离为80cm， AO 与地面垂直，现调整靠背，把 OA 绕点 O 旋转 35到 OA处，求调整后点 A比调整前点 A 的高度降低了多少厘米 (结果取整数 )？ (参考数据： sin35 0.57， cos35 0.82，tan35 0.70) 解析 ： 作 A B AO 于 B，通过解余弦函数求得 OB，然后根据 AB=OA-OB 求得即可 . 答案： 如图，根据题意 OA=OA =8
13、0cm， AOA =35，作 A B AO 于 B， OB=OA cos35 =80 0.82 65.6， AB=OA-OB=80-65.6=14cm. 答：调整后点 A比调整前点 A 的高度降低了 14 厘米 20.图 1 中的摩天轮可抽象成一个圆，圆上一点离地面的高度 y(m)与旋转时间 x(min)之间的关系如图 2 所示 . (1)根据图 2 填表： x(min) 0 3 6 8 12 y(m) (2)变量 y 是 x 的函数吗？为什么？ (3)根据图中的信息，请写出摩天轮的直径 . 解析： (1)直接结合图象写出有关点的纵坐标即可； (2)利用函数的定义直接判断即可 . (3)最高点
14、的纵坐标减去最低点的纵坐标即可求得摩天轮的半径 . 答案： (1)填表如下： x(min) 0 3 6 8 12 y(m) 5 70 5 54 5 (2)因为每给一个 x 的值有唯一的一个函数值与之对应，符合函数的定义，所以 y是 x 的函数 . (3)最高点为 70 米，最低点为 5 米，摩天轮的直径为 65 米 . 21.某校想了解学生每周的课外阅读时间情况，随机调查了部分学生，对学生每周的课外阅读时间 x(单位：小时 )进行分组整理，并绘制了如图所示的不完整的频数分布直方图和扇形统计图 . 根据图中提供的信息，解答下列问题： (1)补全频数分布直方图； (2)求扇形统计图中 m 的值和“
15、 E”组对应的圆心角度数； (3)请估计该校 3000 名学生中每周的课外阅读时间不小于 6 小时的人数 . 解析： (1)根据第二组频数为 21，所占百分比为 21%，求出数据总数，再用数据总数减去其余各组频数得到第四组频数，进而补全频数分布直方图； (2)用第三组频数除以数据总数，再乘以 100，得到 m 的值；先求出“ E”组所占百分比，再乘以 360即可求出对应的圆心角度数； (3)用 3000 乘以每周课外阅读时间不小于 6 小时的学生所占百分比即可 . 答案： (1)数据总数为： 21 21%=100， 第四组频数为： 100-10-21-40-4=25，频数分布直方图补充如下：
16、(2)m=40 100 100=40； “ E”组对应的圆心角度数为： 360 4100=14.4； (3)3000 (25%+ 4100)=870(人 ). 即估计该校 3000 名学生中每周的课外阅读时间不小于 6 小时的人数是 870 人 . 22.如图，四边形 ABCD 内接于 O，点 E 在对角线 AC 上， EC=BC=DC. (1)若 CBD=39，求 BAD 的度数； (2)求证： 1= 2. 解析： (1)根据等腰三角形的性质由 BC=DC 得到 CBD= CDB=39，再根据圆周角定理得BAC= CDB=39， CAD= CBD=39，所以 BAD= BAC+ CAD=78
17、； (2)根据等腰三角形的性质由 EC=BC 得 CEB= CBE，再利用三角形外角性质得 CEB= 2+ BAE，则 2+ BAE= 1+ CBD，加上 BAE= CBD，所以 1= 2. 答案： (1) BC=DC， CBD= CDB=39， BAC= CDB=39， CAD= CBD=39， BAD= BAC+ CAD=39 +39 =78 . (2) EC=BC， CEB= CBE， 而 CEB= 2+ BAE， CBE= 1+ CBD， 2+ BAE= 1+ CBD， BAE= CBD， 1= 2. 23.如图，在多边形 ABCDE 中， A= AED= D=90， AB=5， AE
18、=2， ED=3，过点 E 作 EF CB交 AB 于点 F， FB=1，过 AE 上的点 P作 PQ AB 交线段 EF 于点 O，交折线 BCD 于点 Q，设 AP=x，PO OQ=y. (1)延长 BC 交 ED 于点 M，则 MD= ， DC= ； 求 y 关于 x 的函数解析式； (2)当 a x 12(a 0)时， 9a y 6b，求 a， b 的值； (3)当 1 y 3 时，请直接写出 x 的取值范围 . 解析： (1)根据两组对边平行得到四边形 OFBQ，四边形 EMBF 是平行四边形，求出 EM=BF=1，得到 DM=2，通过 DMC AEF，列比例式求得 CD=1；根据
19、EPO EAF，列比例式即可求得 y 关于 x 的函数解析式； (2)当 a x 12(a 0)时， 9a y 6b， y随 x的增大而减小，于是得到 4-2 12=9a， 4-2a=6b，解得结果即可 . (3)当 0 x 1 时， 1 4-2x 3，得到 12 x 1，当 1 x 2 时， y=-4x2-10x-4 的对称轴为 x=54， ymax=94，当 x=1 时， y=2 满足要求， 当 y=1， x=554，而 5+ 54 2，得到 1 x 5+ 54，于是得到结论 . 答案： (1) EF CB， PQ AB，四边形 OFBQ 是平行四边形， OQ=BF=1， A= AED=9
20、0， DE AB，四边形 EMBF 是平行四边形， EM=BF=1， DE=3， DM=2， D= A=90， DMC= B= EFA， DMC AEF， DM CDAF AE， AF=AB-BF=4， 242CD， CD=1. 当 Q 在 BC 上时， PO OQ=y， OQ=1， PO=y， OP AF， EPO EAF， EP OPAE AF， AP=x， PE=2-x， 224xy ， y=-2x+4； 当 Q 在 CD 上时， PQ=3， OQ=3-OP， PO OQ=y， OP(3-OP)=y， 解得： OP= 3 9 42y ( OP 3 不合题意舍去 )OP=3 9 42y ，
21、 OP AB， EPO EAF， PE OPAE AF，3 9 42 224yx ， y=-4x2-10x-4. (2)当 a x 12(a 0)时， 9a y 6b， y=-2x+4， y 随 x 的增大而减小， 4-2 12=9a， 4-2a=6b，解得： a=13， b=59. (3)当 0 x 1 时， 1 4-2x 3， 12 x 32， 12 x 1， 当 1 x 2 时， y=-4x2-10x-4 的对称轴为 x=54， ymax=94， 当 x=1 时， y=2 满足要求，当 y=1， x=554，而 554， 1 x 554， 综上所述：当 1 y 3 时， x 的取值范围为
22、 12 x 554. 24.定义：如图 1，点 M， N 把线段 AB 分割成 AM， MN 和 BN，若以 AM， MN， BN 为边的三角形是一个直角三角形，则称点 M， N 是线段 AB 的勾股分割点 . (1)已知点 M， N 是线段 AB 的勾股分割点，若 AM=2， MN=3，求 BN 的长； (2)如图 2，在 ABC 中， FG 是中位线，点 D， E 是线段 BC 的勾股分割点，且 EC DE BD，连接 AD， AE 分别交 FG 于点 M， N，求证：点 M， N 是线段 FG 的勾股分割点； (3)已知点 C 是线段 AB 上的一定点，其位置如图 3 所示，请在 BC
23、上画一点 D，使点 C， D 是线段 AB 的勾股分割点 (要求尺规作图，保留作图痕迹，画一种情形即可 )； (4)如图 4，已知点 M， N 是线段 AB 的勾股分割点， MN AM BN， AMC， MND 和 NBE 均为等边三角形， AE 分别交 CM， DM， DN 于点 F， G， H，若 H 是 DN 的中点，试探究 S AMF， S BEN和 S 四边形 MNHC的数量关系，并说明理由 . 解析： (1)当 MN 为最大线段时，由勾股定理求出 BN；当 BN 为最大线段时，由勾股定理求出 BN 即可； (2)先证出点 M、 N 分别是 AD、 AE 的中点，得出 BD=2FM，
24、 DE=2MN， EC=2NG，求出 EC2=BD2+DE2，得出 NG2=FM2+MN2，即可得出结论； (3)在 AB 上截取 CE=CA；作 AE 点垂直平分线，截取 CF=CA；作 BF 的垂直平分线，交 AB 于 D即可； (4)先证明 DGH NEH，得出 DG=EN=b， MG=c-b，再证明 AGM AEN，得出比例式，得出 c2=2ab-ac+bc，证出 c2=a2+b2，得出 a=b，证出 DGH CAF，得出 S DGH=S CAF，证出 S DMN=S ACM+S ENB，即可得出结论 . 答案： (1)当 MN 为最大线段时， 点 M、 N 是线段 AB 的勾股分割点
25、， BN= 22 9 4 5M N A M . 当 BN 为最大线段时， 点 M、 N 是线段 AB 的勾股分割点， BN= 22 9 4 1 3M N A M ， 综上所述： BN= 5 或 13 ； (2) FG 是 ABC 的中位线， FG BC， A M A N A GM D N E G C=1， 点 M、 N 分别是 AD、 AE 的中点， BD=2FM， DE=2MN， EC=2NG， 点 D、 E 是线段 BC 的勾股分割点，且 EC DE BD， EC2=BD2+DE2， (2NG)2=(2FM)2+(2MN)2， NG2=FM2+MN2，点 M、 N 是线段 FG 的勾股分割
26、点； (3)作法：在 AB 上截取 CE=CA； 作 AE 点垂直平分线，并截取 CF=CA； 连接 BF，并作 BF 的垂直平分线，交 AB 于 D； 点 D 即为所求；如图所示： (4)S 四边形 MNHG=S AMF+S BEN，理由如下： 设 AM=a， BN=b， MN=c， H 是 DN 的中点， DH=HN=12c， MND、 BNE 均为等边三角形， D= DNE=60， 在 DGH 和 NEH 中， D D N ED H H ND H G N H E ， DGH NEH(ASA)， DG=EN=b， MG=c-b， GM EN， AGM AEN， c b ab a c ， c2=2ab-ac+bc， 点 M、 N 是线段 AB 的勾股分割点， c2=a2+b2， (a-b)2=(b-a)c， 又 b-a c， a=b， 在 DGH 和 CAF 中， DCD G C AD G H C A F ， DGH CAF(ASA)， S DGH=S CAF， c2=a2+b2， 34c2= 34a2+ 34b2， S DMN=S ACM+S ENB， S DMN=S DGH+S 四边形 MNHG， S ACM=S CAF+S AMF， S 四边形 MNHG=S AMF+S BEN.
