2015年浙江省杭州市中考真题数学.docx

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1、2015年浙江省杭州市中考真题数学 一、仔细选一选 (每小题 3 分,共 30 分 ) 1.统计显示, 2013 年底杭州市各类高中在校学生人数大约是 11.4 万人,将 11.4 万用科学记数法表示应为 ( ) A.11.4 102 B.1.14 103 C.1.14 104 D.1.14 105 解析 :将 11.4 万用科学记数法表示为: 1.14 105. 答案: D 2.下列计算正确的是 ( ) A.23+26=29 B.23-24=2-1 C.23 23=29 D.24 22=22 解析 : A、 23与 26不能合并,错误; B、 23与 24不能合并,错误; C、 23 23=

2、26,错误; D、 24 22=22,正确 . 答案: D 3.下列图形是中心对称图形的是 ( ) A. B. C. D. 解析 : 由中心对称的定义知,绕一个点旋转 180后能与原图重合,则只有选项 A 是中心对称图形 . 答案: A 4.下列各式的变形中,正确的是 ( ) A.(-x-y)(-x+y)=x2-y2 B. 11xxxxC.x2-4x+3=(x-2)2+1 D.x (x2+x)=1x+1 解析 : A、 (-x-y)(-x+y)=x2-y2,正确; B、 211xxxx,错误; C、 x2-4x+3=(x-2)2-1,错误; D、 x (x2+x)= 11x,错误 . 答案:

3、A 5.圆内接四边形 ABCD 中,已知 A=70,则 C=( ) A.20 B.30 C.70 D.110 解析 : 四边形 ABCD 为圆的内接四边形, A+ C=180, C=180 -70 =110 . 答案: D 6.若 k 90 k+1(k 是整数 ),则 k=( ) A.6 B.7 C.8 D.9 解析 : k 90 k+1(k 是整数 ), 9 90 10, k=9. 答案: D 7.某村原有林地 108 公顷,旱地 54 公顷,为保护环境,需把一部分旱地改造为林地,使旱地面积占林地面积的 20%.设把 x 公顷旱地改为林地,则可列方程 ( ) A.54-x=20% 108 B

4、.54-x=20%(108+x) C.54+x=20% 162 D.108-x=20%(54+x) 解析 : 设把 x 公顷旱地改为林地,根据题意可得方程: 54-x=20%(108+x). 答案: B 8.如图是某地 2月 18日到 23日 PM2.5浓度和空气质量指数 AQI的统计图 (当 AQI不大于 100时称空气质量为“优良” ).由图可得下列说法: 18 日的 PM2.5 浓度最低;这六天中 PM2.5浓度的中位数是 112ug/m3;这六天中有 4 天空气质量为“优良”;空气质量指数 AQI 与PM2.5 浓度有关 .其中正确的是 ( ) A. B. C. D. 解析 : 由图

5、1 可知, 18 日的 PM2.5 浓度为 25ug/m3,浓度最低,故正确; 这六天中 PM2.5 浓度的中位数是 67 922=79.5ug/m3,故错误; 当 AQI 不大于 100 时称空气质量为“优良”, 18 日、 19 日、 20 日、 23 日空气质量为优,故正确; 空气质量指数 AQI 与 PM2.5 浓度有关 ,故正确 . 答案: C 9.如图,已知点 A, B, C, D, E, F 是边长为 1 的正六边形的顶点,连接任意两点均可得到一条线段 .在连接两点所得的所有线段中任取一条线段,取到长度为 3 的线段的概率为( ) A.14B.25C.23D.59解析 : 连接

6、AF, EF, AE,过点 F 作 FN AE 于点 N, 点 A, B, C, D, E, F 是边长为 1 的正六边形的顶点, AF=EF=1, AFE=120, FAE=30, AN= 32, AE= 3 ,同理可得: AC= 3 , 故从任意一点,连接两点所得的所有线段一共有 15 种,任取一条线段,取到长度为 3 的线段有 6 种情况,则在连接两点所得的所有线段中任取一条线段,取到长度为 3 的线段的概率为: 25. 答案: B 10.设二次函数 y1=a(x-x1)(x-x2)(a 0, x1 x2)的图象与一次函数 y2=dx+e(d 0)的图象交于点 (x1, 0),若函数 y

7、=y1+y2的图象与 x 轴仅有一个交点,则 ( ) A.a(x1-x2)=d B.a(x2-x1)=d C.a(x1-x2)2=d D.a(x1+x2)2=d 解析 : 一次函数 y2=dx+e(d 0)的图象经过点 (x1, 0), dx1+e=0, y2=d(x-x1), y=y1+y2=a(x-x1)(x-x2)+d(x-x1)=(x-x1)a(x-x2)+d 函数 y=y1+y2的图象与 x 轴仅有一个交点, 函数 y=y1+y2是二次函数,且它的顶点在 x 轴上, 即 y=y1+y2=a(x-x1)2, a(x-x2)+d=a(x-x1), 令 x=x2,可得 a(x2-x2)+d

8、=a(x2-x1), a(x2-x1)=d. 答案: B 二、认真填一填 (每小题 4 分,共 24 分 ) 11.数据 1, 2, 3, 5, 5 的众数是 ,平均数是 . 解析 :数据 1, 2, 3, 5, 5 的众数是 5; 平均数是 15(1+2+3+5+5)=165. 答案: 5; 165. 12.分解因式: m3n-4mn= . 解析 : m3n-4mn=mn(m2-4)=mn(m-2)(m+2). 答案: mn(m-2)(m+2) 13.函数 y=x2+2x+1,当 y=0 时, x= ;当 1 x 2 时, y随 x 的增大而 (填写“增大”或“减小” ). 解析 :把 y=

9、0 代入 y=x2+2x+1,得 x2+2x+1=0,解得 x=-1, 当 x -1 时, y 随 x 的增大而增大,当 1 x 2 时, y随 x的增大而增大 . 故答案为 -1,增大 14.如图,点 A, C, F, B 在同一直线上, CD 平分 ECB, FG CD.若 ECA 为度,则 GFB为 度 (用关于的代数式表示 ). 解析 : 点 A, C, F, B 在同一直线上, ECA 为, ECB=180 -, CD 平分 ECB, DCB=12(180 - ), FG CD, GFB= DCB=90-2. 答案: 90-215.在平面直角坐标系中, O 为坐标原点,设点 P(1,

10、 t)在反比例函数 y=2x的图象上,过点P 作直线 l与 x 轴平行,点 Q 在直线 l 上,满足 QP=OP.若反比例函数 y=kx的图象经过点 Q,则 k= . 解析 : 点 P(1, t)在反比例函数 y=2x的图象上, t=21=2, P(1.2), OP= 221 2 5 , 过点 P 作直线 l 与 x 轴平行,点 Q 在直线 l 上,满足 QP=OP. Q(1+ 5 , 2)或 (1- 5 ,2), 反比例函数 y=kx的图象经过点 Q, 2=15k或15k,解得 k=2+2 5 或 2-2 5 . 答案: 2+2 5 或 2-2 5 . 16.如图,在四边形纸片 ABCD 中

11、, AB=BC, AD=CD, A= C=90, B=150 .将纸片先沿直线 BD 对折,再将对折后的图形沿从一个顶点出发的直线裁剪,剪开后的图形打开铺平 .若铺平后的图形中有一个是面积为 2 的平行四边形,则 CD= . 解析 : 如图 1 所示:延长 AE 交 CD 于点 N,过点 B 作 BT EC 于点 T, 当四边形 ABCE 为平行四边形, AB=BC,四边形 ABCE 是菱形, A= C=90, B=150, BC AN, ADC=30, BAN= BCE=30, 则 NAD=60, AND=90, 四边形 ABCE 面积为 2,设 BT=x,则 BC=EC=2x,故 2x x

12、=2,解得: x=1(负数舍去 ), 则 AE=EC=2, EN= 222 1 3 ,故 AN=2+ 3 ,则 AD=DC=4+2 3 ; 如图 2,当四边形 BEDF 是平行四边形, BE=BF,平行四边形 BEDF 是菱形, A= C=90, B=150, ADB= BDC=15, BE=DE, AEB=30,设 AB=y,则 BE=2y, AE= 3 y, 四边形 BEDF 面积为 2, AB DE=2y2=1,解得: y=1,故 AE= 3 , DE=2,则 AD=2+ 3 , 综上所述: CD 的值为: 2+ 3 或 4+2 3 . 答案: 2+ 3 或 4+2 3 . 三、全面答一

13、答 (共 66 分 ) 17.杭州市推行垃圾分类已经多年,但在剩余垃圾中除了厨余类垃圾还混杂着非厨余类垃圾 .如图是杭州某一天收到的厨余垃圾的统计图 . (1)试求出 m 的值; (2)杭州市某天收到厨余垃圾约 200 吨,请计算其中混杂着的玻璃类垃圾的吨数 . 解析 : (1)根据整体单位减去其它类垃圾所占的百分比,可得厨余类所占的百分比; (2)根据总垃圾乘以玻璃类垃圾所占的百分比,可得答案 . 答案: (1)m%=1-22.39%-0.9%-7.55%-0.15%=69.01%, m=69.01; (2)其中混杂着的玻璃类垃圾的吨数约等于 200 0.9%=1.8(吨 ). 18.如图,

14、在 ABC 中,已知 AB=AC, AD 平分 BAC,点 M, N 分别在 AB, AC 边上, AM=2MB,AN=2NC.求证: DM=DN. 解析: 首先根据等腰三角形的性质得到 AD 是顶角的平分线,再利用全等三角形进行证明即可 . 答案: AM=2MB, AN=2NC, AB=AC, AM=AN, AB=AC, AD 平分 BAC, MAD= NAD, 在 AMD 与 AND 中,A M A NM A D N A DA D A D , AMD AND(SAS), DM=DN. 19.如图 1, O 的半径为 r(r 0),若点 P在射线 OP 上,满足 OP OP=r2,则称点 P

15、是点 P 关于 O 的“反演点” . 如图 2, O 的半径为 4,点 B 在 O 上, BOA=60, OA=8,若点 A, B分别是点 A, B关于 O 的反演点,求 A B的长 . 解析: 设 OA 交 O于 C,连结 B C,如图 2,根据新定义计算出 OA =2, OB =4,则点 A为 OC 的中点,点 B 和 B重合,再证明 OBC 为等边三角形,则 B A OC,然后在 RtOA B中,利用正弦的定义可求 A B的长 . 答案: 设 OA 交 O 于 C,连结 B C,如图, OA OA=42,而 r=4, OA=8, OA =2, OB OB=42, OB =4,即点 B 和

16、 B重合, BOA=60, OB=OC, OBC 为等边三角形, 而点 A为 OC 的中点, B A OC, 在 Rt OA B中, sin A OB =ABOB, A B =4sin60 =2 3 . 20.设函数 y=(x-1)(k-1)x+(k-3)(k 是常数 ). (1)当 k 取 1 和 2 时的函数 y1和 y2的图象如图所示,请你在同一直角坐标系中画出当 k取 0时的函数的图象; (2)根据图象,写出你发现的一条结论; (3)将函数 y2的图象向左平移 4 个单位,再向下平移 2 个单位,得到的函数 y3的图象,求函数 y3的最小值 . 解析: (1)把 k=0 代入函数解析式

17、即可得到所求的函数解析式,根据函数解析式作出图象; (2)根据函数图象回答问题; (3)由“左减右加,上加下减”的规律写出函数解析式,根据函数图象的增减性来求函数 y2的最小值 . 答案: (1)当 k=0 时, y=-(x-1)(x+3),所画函数图象如图所示: (2)根据图象知,图象都经过点 (1, 0)和 (-1, 4). 图象与 x 轴的交点是 (1, 0). k 取 0 和 2 时的函数图象关于点 (0, 2)中心对称 . 函数 y=(x-1)(k-1)x+(k-3)(k 是常数 )的图象都经过 (1, 0)和 (-1, 4)等等 . (3)平移后的函数 y3的表达式为 y3=(x+

18、3)2-2.所以当 x=-3 时,函数 y3的最小值是 -2. 21.“综合与实践”学习活动准备制作一组三角形,记这些三角形的三边分别为 a, b, c,并且这些三角形三边的长度为大于 1 且小于 5 的整数个单位长度 . (1)用记号 (a, b, c)(a b c)表示一个满足条件的三角形,如 (2, 3, 3)表示边长分别为 2,3, 3 个单位长度的一个三角形 .请列举出所有满足条件的三角形 . (2)用直尺和圆规作出三边满足 a b c 的三角形 (用给定的单位长度,不写作法,保留作图痕迹 ). 解析: (1)应用列举法,根据三角形三边关系列举出所有满足条件的三角形 . (2)首先判

19、断满足条件的三角形只有一个: a=2, b=3, c=4,再作图: 作射线 AB,且取 AB=4; 以点 AA 为圆心, 3 为半径画弧;以点 BB 为圆心, 2 为半径画弧,两弧交于点 C; 连接 AC、 BC.则 ABC 即为满足条件的三角形 . 答案: (1)共 9 种: (2, 2, 2), (2, 2, 3), (2, 3, 3), (2, 3, 4), (2, 4, 4), (3, 3,3), (3, 3, 4), (3, 4, 4), (4, 4, 4). (2)由 (1)可知,只有 (2, 3, 4),即 a=2, b=3, c=4 时满足 a b c. 如答图的 ABC 即为

20、满足条件的三角形 . 22.如图,在 ABC 中 (BC AC), ACB=90,点 D 在 AB 边上, DE AC 于点 E. (1)若 13ADDB, AE=2,求 EC 的长; (2)设点 F 在线段 EC 上,点 G 在射线 CB 上,以 F, C, G 为顶点的三角形与 EDC 有一个锐角相等, FG 交 CD 于点 P.问:线段 CP 可能是 CFG 的高线还是中线?或两者都有可能?请说明理由 . 解析: (1)易证 DE BC,由平行线分线段成比例定理列比例式即可求解; (2)分三种情况讨论:若 CFG= ECD,此时线段 CP 是 CFG 的 FG 边上的中线;若 CFG=

21、EDC,此时线段 CP 为 CFG 的 FG 边上的高线;当 CD 为 ACB 的平分线时, CP 既是 CFG的 FG 边上的高线又是中线 . 答案: (1) ACB=90, DE AC, DE BC, AD AEDB EC, 13ADDB, AE=2, EC=6. (2)如图 1,若 CFG= ECD,此时线段 CP 是 CFG 的 FG 边上的中线 . 证明: CFG+ CGF=90, ECD+ PCG=90, 又 CFG= ECD, CGF= PCG, CP=PG, CFG= ECD, CP=FP, PF=PG=CP,线段 CP 是 CFG 的 FG 边上的中线; 如图 2,若 CFG

22、= EDC,此时线段 CP 为 CFG 的 FG 边上的高线 . 证明: DE AC, EDC+ ECD=90, CFG= EDC, CFG+ ECD=90, CPF=90, 线段 CP 为 CFG 的 FG 边上的高线 . 如图 3,当 CD 为 ACB 的平分线时, CP 既是 CFG 的 FG边上的高线又是中线 . 23.方成同学看到一则材料:甲开汽车,乙骑自行车从 M 地出发沿一条公路匀速前往 N 地 .设乙行驶的时间为 t(h),甲乙两人之间的距离为 y(km), y 与 t 的函数关系如图 1 所示 . 方成思考后发现了如图 1 的部分正确信息:乙先出发 1h;甲出发 0.5 小时

23、与乙相遇; . 请你帮助方成同学解决以下问题: (1)分别求出线段 BC, CD 所在直线的函数表达式; (2)当 20 y 30 时,求 t 的取值范围; (3)分别求出甲,乙行驶的路程 S 甲, S 乙与时间 t 的函数表达式,并在图 2 所给的直角坐标系中分别画出它们的图象; (4)丙骑摩托车与乙同时出发,从 N 地沿同一公路匀速前往 M 地,若丙经过 43h 与乙相遇,问丙出发后多少时间与甲相遇? 解析: (1)利用待定系数法求函数解析式,即可解答; (2)先求出甲、乙的速度、所以 OA 的函数解析式为: y=20t(0 t 1),所以点 A 的纵坐标为20,根据当 20 y 30 时

24、,得到 20 40t-60 30,或 20 -20t+80 30,解不等式组即可; (3)得到 S 甲 =60t-60(1 t 73), S 乙 =20t(0 t 4),画出函数图象即可; (4)确定丙距 M 地的路程 S 丙与时间 t 的函数表达式为: S 丙 =-40t+80(0 t 2),根据 S 丙=-40t+80 与 S 甲 =60t-60 的图象交点的横坐标为 75,所以丙出发 57h 与甲相遇 . 答案: (1)直线 BC 的函数解析式为 y=kt+b, 把 (1.5, 0), (73, 1003)代入得: 1.5 07 10033kbkb ,解得: 4060kb,直线 BC 的

25、解析式为:y=40t-60; 设直线 CD 的函数解析式为 y1=k1t+b1, 把 (73, 1003), (4, 0)代入得: 11117 1 0 03340kbkb ,解得: 112080kb,直线 CD 的函数解析式为: y=-20t+80. (2)设甲的速度为 akm/h,乙的速度为 bkm/h, 根据题意得 : 0 .5 1 .57 7 1 0 013 3 3abab ,解得: 6020ab,甲的速度为 60km/h,乙的速度为 20km/h, OA 的函数解析式为: y=20t(0 t 1),所以点 A 的纵坐标为 20, 当 20 y 30 时,即 20 40t-60 30,或 20 -20t+80 30,解得: 2 t 94或 52 t 3. (3)根据题意得: S 甲 =60t-60(1 t 73), S 乙 =20t(0 t 4),所画图象如图 2 所示: (4)当 t=43时, S 乙 =803,丙距 M 地的路程 S 丙 与时间 t 的函数表达式为: S 丙 =-40t+80(0 t 2),如图 3, S 丙 =-40t+80 与 S 甲 =60t-60 的图象交点的横坐标为 75,所以丙出发 75h 与甲相遇 .

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