1、2015年浙江省衢州市中考真题数学 一、选择题 (本题有 10 小题，每小题 3 分，共 30 分 ) 1.-3 的相反数是 ( ) A.3 B.-3 C.13D.-13解析 ： -3 的相反数是 3. 答案： A 2.一个几何体零件如图所示，则它的俯视图是 ( ) A. B. C. D. 解析 ： 这个几何体零件的俯视图是一个正中间有一个小正方形的矩形，所以它的俯视图是选项 C 中的图形 . 答案： C 3. 下列运算正确的是 ( ) A.a3+a3=2a6 B.(x2)3=x5 C.2a6 a3=2a2 D.x3 x2=x5 解析 ： A、应为 a3+a3=2a3，故本选项错误； B、应为
2、 (x2)3=x6，故本选项错误； C、应为 2a6 a3=2a3，故本选项错误； D、 x3 x2=x5 正确 . 答案： D 4.如图，在 平行四边形 ABCD 中，已知 AD=12cm， AB=8cm， AE 平分 BAD 交 BC 边于点 E，则CE 的长等于 ( ) A.8cm B.6cm C.4cm D.2cm 解析 ： 四边形 ABCD 是平行四边形， BC=AD=12cm， AD BC， DAE= BEA， AE 平分 BAD， BAE= DAE， BEA= BAE， BE=AB=8cm， CE=BC-BE=4cm. 答案： C 5.某班七个兴趣小组人数分别为 4， 4， 5，
3、 x， 6， 6， 7.已知这组数据的平均数是 5，则这组数据的中位数是 ( ) A.7 B.6 C.5 D.4 解析 ： 某班七个兴趣小组人数分别为 4， 4， 5， x， 6， 6， 7.已知这组数据的平均数是 5， x=5 7-4-4-5-6-6-7=3， 这一组数从小到大排列为： 3， 4， 4， 5， 6， 6， 7， 这组数据的中位数是： 5. 答案： C. 6.下列四个函数图象中，当 x 0 时， y 随 x 的增大而减小的是 ( ) A. B. C. D. 解析 ： 当 x 0 时， y 随 x 的增大而减小的是 . 答案： B 7.数学课上，老师让学生尺规作图画 Rt ABC
4、，使其斜边 AB=c，一条直角边 BC=a.小明的作法如图所示，你认为这种作法中判断 ACB 是直角的依据是 ( ) A.勾股定理 B.直径所对的圆周角是直角 C.勾股定理的逆定理 D.90的圆周角所对的弦是直径 解析 ： 由作图痕迹可以看出 O 为 AB 的中点，以 O 为圆心， AB 为直径作圆，然后以 B 为圆心BC=a 为半径花弧与圆 O 交于一点 C，故 ACB 是直径所对的圆周角，所以这种作法中判断ACB 是直角的依据是：直径所对的圆心角是直角 . 答案： B 8.如图，已知某广场菱形花坛 ABCD 的周长是 24 米， BAD=60，则花坛对角线 AC 的长等于 ( ) A.6
5、3 米 B.6 米 C.3 3 米 D.3 米 解析 ： 四边形 ABCD 为菱形， AC BD， OA=OC， OB=OD， AB=BC=CD=AD=24 4=6(米 )， BAD=60， ABD 为等边三角形， BD=AB=6(米 )， OD=OB=3(米 )， 在 Rt AOB 中，根据勾股定理得： OA= 2263 =3 3 (米 )，则 AC=2OA=6 3 米 . 答案： A 9.如图，已知“人字梯”的 5 个踩档把梯子等分成 6 份，从上往下的第二个踩档与第三个踩档的正中间处有一条 60cm 长的绑绳 EF， tan =52，则“人字梯”的顶端离地面的高度 AD是 ( ) A.1
6、44cm B.180cm C.240cm D.360cm 解析 ： 如图： 根据题意可知： AFO ABD， OF=12EF=30cm， OF AFDC AC， 30 2.56DC， CD=72cm， tan =52， ADDC=52， AD=52 72=180cm. 答案： B 10.如图，已知 ABC， AB=BC，以 AB 为直径的圆交 AC 于点 D，过点 D 的 O 的切线交 BC 于点 E.若 CD=5， CE=4，则 O 的半径是 ( ) A.3 B.4 C.256D.258解析 ： 如图 1，连接 OD、 BD， DE BC， CD=5， CE=4， DE= 2254 =3，
7、AB 是 O 的直径， ADB=90， S BCD=BD CD 2=BC DE 2， 5BD=3BC， BD=35BC， BD2+CD2=BC2， (35BC)2+52=BC2，解得 BC=254， AB=BC， AB=254， O 的半径是； 254 2=258. 答案： D. 二、填空题 (本题有 6 小题，每小题 4 分，共 24 分 ) 11.从小明、小聪、小惠和小颖四人中随机选取 1 人参加学校组织的敬老活动，则小明被选中的概率是 . 解析 ： 从小明、小聪、小惠和小颖四人中随机选取 1 人参加学校组织的敬老活动，小明被选中的概率是： 14. 答案： 1412.如图，小聪与小慧玩跷跷
8、板，跷跷板支架高 EF 为 0.6 米， E 是 AB 的中点，那么小聪能将小慧翘起的最大高度 BC 等于 米 . 解析 ： EF AC， BC AC， EF BC， E 是 AB 的中点， F 为 AC 的中点， BC=2EF， EF=0.6 米， BC=1.2 米， 答案： 1.2 13.写出一个解集为 x 1 的一元一次不等式 . 解析 ： 移项，得 x-1 0(答案不唯一 ). 答案： x-1 0. 14.一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径 OA=1m，水面宽 AB=1.2m，某天下雨后，水管水面上升了 0.2m，则此时排水管水面宽 CD 等于 m. 解析 ： 如图： AB=1
9、.2m， OE AB， OA=1m， AE=0.8m， 水管水面上升了 0.2m， AF=0.8-0.2=0.6m， CF= 2 2 2 21 0 6C O F =0.8m， CD=1.6m. 答案： 1.6 15.已知，正六边形 ABCDEF 在直角坐标系内的位置如图所示， A(-2， 0)，点 B 在原点，把正六边形 ABCDEF 沿 x 轴正半轴作无滑动的连续翻转，每次翻转 60，经过 2015 次翻转之后，点 B 的坐标是 . 解析 ： 正六边形 ABCDEF 沿 x 轴正半轴作无滑动的连续翻转，每次翻转 60， 每 6 次翻转为一个循环组循环， 2015 6=335 余 5， 经过
10、2015 次翻转为第 336 循环组的第 5 次翻转，点 B在开始时点 C的位置， A(-2， 0)， AB=2，翻转前进的距离 =2 2015=4030， 如图，过点 B 作 BG x 于 G，则 BAG=60， 所以， AG=2 12=1， BG=2 32= 3 ， 所以， OG=4030+1=4031，所以，点 B 的坐标为 (4031， 3 ). 答案： (4031， 3 ) 16.如图，已知直线 y=-34x+3 分别交 x 轴、 y 轴于点 A、 B， P 是抛物线 y=-12x2+2x+5 的一个动点，其横坐标为 a，过点 P 且平行于 y 轴的直线交直线 y=-34x+3 于点
11、 Q，则当 PQ=BQ时， a 的值是 . 解析 ：设点 P 的坐标为 (a， -12a2+2a+5)，则点 Q 为 (a， -34a+3)，点 B 为 (0， 3)， 当点 P 在点 Q 上方时， BQ= 22 34aa=54a， PQ=-12a2+2a+5-(-34a+3)=-12a2+114a+2， PQ=BQ， 54a=-12a2+114a+2，整理得： a2-3a-4=0，解得： a=-1 或 a=4， 当点 P 在点 Q 下方时， BQ= 22 34aa=54a， PQ=-34a+3-(-12a2+2a+5)=12a2-114a-2， PQ=BQ， 54a=12a2-114a-2，
12、整理得： a2-8a-4=0，解得： a=4+2 5 或 a=4-2 5 . 综上所述， a 的值为： -1， 4， 4+2 5 ， 4-2 5 . 答案： -1， 4， 4+2 5 ， 4-2 5 . 三、解答题 (本题有 8 小题，第 17-19 小题每小题 6 分，第 20-21 小题每小题 6 分，第 22-23小题每小题 6 分，第 24 小题 12 分，共 66分。请务必写出解答过程 ) 17. 12 -|-2|+(1- 2 )0-4sin60 . 解析： 先化简二次根式，绝对值，计算 0 指数幂以及代入特殊角的三角函数值，再进一步计算加减即可 . 答案： 原式 =2 3 -2+1
13、-4 32=-1. 18.先化简，再求值： (x2-9) 3xx，其中 x=-1. 解析： 原式利用除法法则变形，约分得到最简结果，把 x 的值代入计算即可求出值 . 答案： 原式 =(x+3)(x-3) 3xx=x(x+3)=x2+3x，当 x=-1 时，原式 =1-3=-2. 19. 如图，已知点 A(a， 3)是一次函数 y1=x+b 图象与反比例函数 y2=6x图象的一个交点 . (1)求一次函数的解析式； (2)在 y 轴的右侧，当 y1 y2时，直接写出 x 的取值范围 . 解析： (1)将点 A 的坐标代入反比例函数的解析式，求得 a 值后代入一次函数求得 b 的值后即可确定一次
14、函数的解析式； (2)y1 y2时 y1的图象位于 y2的图象的上方，据此求解 . 答案： (1)将 A(a， 3)代入 y2=6x得 a=2， A(2， 3)， 将 A(2， 3)代入 y1=x+b 得 b=1， y1=x+1. (2) A(2， 3)，根据图象得在 y 轴的右侧，当 y1 y2时， x 2. 20.某校在开展读书交流活动中全体师生积极捐书 .为了解所捐书籍的种类，对部分书籍进行了抽样调查，李老师根据调查数据绘制了如图所示不完整统计图 .请根据统计图回答下面问题： (1)本次抽样调查的书籍有多少本？请补全条形统计图； (2)求出图 1 中表示文学类书籍的扇形圆心角度数； (3
15、)本次活动师生共捐书 1200 本，请估计有多少本科普类书籍？ 解析： (1)根据已知条件列式计算即可，如图 2 所示，先计算出其它类的频数，再画条形统计图即可； (2)根据已知条件列式计算即可； (3)根据已知条件列式计算即可 . 答案： (1)8 20%=40(本 )， 其它类； 40 15%=6(本 )， 补全条形统计图，如图所示： (2)文学类书籍的扇形圆心角度数为： 360 1440=126； (3)普类书籍有： 1240 1200=360(本 ). 21.如图 1，将矩形 ABCD沿 DE 折叠，使顶点 A 落在 DC 上的点 A处，然后将矩形展平，沿EF 折叠，使顶点 A 落在折
16、痕 DE 上的点 G 处 .再将矩形 ABCD沿 CE 折叠，此时顶点 B 恰好落在 DE 上的点 H 处 .如图 2. (1)求证： EG=CH； (2)已知 AF= 2 ，求 AD 和 AB 的长 . 解析： (1)由折叠的性质及矩形的性质可知 AE=AD=EG， BC=CH，再根据四边形 ABCD 是矩形，可得 AD=BC，等量代换即可证明 EG=CH； (2)由折叠的性质可知 ADE=45， FGE= A=90， AF= 2 ，那么 DG= 2 ，利用勾股定理求出 DF=2，于是可得 AD=AF+DF= 2 +2；再利用 AAS 证明 AEF BCE，得到 AF=BE，于是 AB=AE
17、+BE= 2 +2+ 2 =2 2 +2. 答案： (1)由折叠知 AE=AD=EG， BC=CH， 四边形 ABCD 是矩形， AD=BC， EG=CH； (2) ADE=45， FGE= A=90， AF= 2 ， DG= 2 ， DF=2， AD=AF+DF= 2 +2； 由折叠知 AEF= GEF， BEC= HEC， GEF+ HEC=90， AEF+ BEC=90， AEF+ AFE=90， BEC= AFE， 在 AEF 与 BCE 中， 90A F E B E CABA E B C ， AEF BCE(AAS)， AF=BE， AB=AE+BE= 2 +2+ 2 =2 2 +2
18、. 22.小明在课外学习时遇到这样一个问题： 定义：如果二次函数 y=a1x2+b1x+c1(a1 0， a1， b1， c1是常数 )与 y=a2x2+b2x+c2(a2 0， a2， b2，c2是常数 )满足 a1+a2=0， b1=b2， c1+c2=0，则称这两个函数互为“旋转函数” . 求函数 y=-x2+3x-2 的“旋转函数” . 小明是这样思考的：由函数 y=-x2+3x-2 可知， a1=-1， b1=3， c1=-2，根据 a1+a2=0， b1=b2， c1+c2=0，求出 a2， b2， c2，就能确定这个函数的“旋转函数” . 请参考小明的方法解决下面问题： (1)写
19、出函数 y=-x2+3x-2 的“旋转函数”； (2)若函数 y=-x2+43mx-2 与 y=x2-2nx+n 互为“旋转函数”，求 (m+n)2015的值； (3)已知函数 y=-12(x+1)(x-4)的图象与 x 轴交于点 A、 B 两点，与 y 轴交于点 C，点 A、 B、C 关于原点的对称点分布是 A1， B1， C1，试证明经过点 A1， B1， C1的二次函数与函数 y=-12(x+1)(x-4)互为“旋转函数 .” 解析： (1)根据“旋转函数”的定义求出 a2， b2， c2，从而得到原函数的“旋转函数”； (2)根据“旋转函数”的定义得到 43m=-2n， -2+n=0，
20、再解方程组求出 m 和 n 的值，然后根据乘方的意义计算； (3)先根据抛物线与坐标轴的交点问题确定 A(-1， 0)， B(4， 0)， C(0， 2)，再利用关于原点对称的点的坐标特征得到 A1(1， 0)， B1(-4， 0)， C1(0， -2)，则可利用交点式求出经过点 A1，B1， C1的二次函数解析式为 y=12(x-1)(x+4)=12x2+32x-2，再把 y=-12(x+1)(x-4)化为一般式，然后根据“旋转函数”的定义进行判断 . 答案： (1) a1=-1， b1=3， c1=-2， -1+a2=0， b2=3， -2+c2=0， a2=11， b2=3， c2=2，
21、 函数 y=-x2+3x-2 的“旋转函数”为 y=x2+3x+2. (2)根据题意得 43m=-2n， -2+n=0，解得 m=-3， n=2， (m+n)2015=(-3+2)2015=-1. (3)当 x=0 时， y=-12(x+1)(x-4)=2，则 C(0， 2)， 当 y=0 时， -12(x+1)(x-4)=0，解得 x1=-1， x2=4，则 A(-1， 0)， B(4， 0)， 点 A、 B、 C 关于原点的对称点分布是 A1， B1， C1， A1(1， 0)， B1(-4， 0)， C1(0， -2)， 设经过点 A1， B1， C1的二次函数解析式为 y=a2(x-1
22、)(x+4)， 把 C1(0， -2)代入得 a2 (-1) 4=-2，解得 a2=12， 经过点 A1， B1， C1的二次函数解析式为 y=12(x-1)(x+4)=12x2+32x-2， 而 y=-12(x+1)(x-4)=-12x2+32x+2， a1+a2=-12+12=0， b1=b2=32， c1+c2=2-2=0， 经过点 A1， B1， C1的二次函数与函数 y=-12(x+1)(x-4)互为“旋转函数 . 23.高铁的开通，给衢州市民出行带来了极大的方便，“五一”期间，乐乐和颖颖相约到杭州市的某游乐园游玩，乐乐乘私家车从衢州出发 1 小时后，颖颖乘坐高铁从衢州出发，先到杭州
23、火车站，然后再转车出租车取游乐园 (换车时间忽略不计 )，两人恰好同时到达游乐园，他们离开衢州的距离 y(千米 )与乘车时间 t(小时 )的关系如图所示 . 请结合图象解决下面问题： (1)高铁的平均速度是每小时多少千米？ (2)当颖颖达到杭州火车东站时，乐乐距离游乐园还有多少千米？ (3)若乐乐要提前 18 分钟到达游乐园，问私家车的速度必须达到多少千米 /小时？ 解析： (1)利用路程除以时间得出速度即可； (2)首先分别求出两函数解析式，进而求出 2 小时乐乐行驶的距离，进而得出距离游乐园的路程； (3)把 y=216 代入 y=80t，得 t=2.7，进而求出私家车的速度 . 答案：
24、(1)v= 24021=240. 答：高铁的平均速度是每小时 240 千米； (2)设 y=kt+b，当 t=1 时， y=0，当 t=2 时， y=240，得： 0240 2kbkb，解得： 240240kb，故把 t=1.5 代入 y=240t-240，得 y=120， 设 y=at，当 t=1.5， y=120，得 a=80， y=80t， 当 t=2， y=160， 216-160=56(千米 )，乐乐距离游乐园还有 56 千米 . (3)把 y=216 代入 y=80t，得 t=2.7， 2.7-1860=2.4(小时 )， 2162.4=90(千米 /时 ). 乐乐要提前 18 分
25、钟到达游乐园，私家车的速度必须达到 90 千米 /小时 . 24.如图，在 ABC 中， AB=5， AC=9， S ABC=272，动点 P 从 A 点出发，沿射线 AB 方向以每秒5 个单位的速度运动，动点 Q 从 C 点出发，以相同的速度在线段 AC 上由 C 向 A 运动，当 Q点运动到 A 点时， P、 Q 两点同时停止运动，以 PQ 为边作正方形 PQEF(P、 Q、 E、 F 按逆时针排序 )，以 CQ 为边在 AC 上方作正方形 QCGH. (1)求 tanA 的值； (2)设点 P 运动时间为 t，正方形 PQEF 的面积为 S，请探究 S 是否存在最小值？若存在，求出这个最
26、小值，若不存在，请说明理由； (3)当 t 为何值时，正方形 PQEF 的某个顶点 (Q 点除外 )落在正方形 QCGH 的边上，请直接写出 t 的值 . 解析： (1)如图 1，过点 B 作 BM AC 于点 M，利用面积法求得 BM 的长度，利用勾股定理得到AM 的长度，最后由锐角三角函数的定义进行解答； (2)如图 2，过点 P作 PN AC 于点 N.利用 (1)中的结论和勾股定理得到 PN2+NQ2=PQ2，所以由正方形的面积公式得到 S 关于 t 的二次函数，利用二次函数的顶点坐标公式和二次函数图象的性质来求其最值； (3)需要分类讨论：当点 E 在边 HG 上、点 F 在边 HG
27、 上、点 P 边 QH(或点 E 在 QC 上 )、点 F边 C 上时相对应的 t 的值 . 答案： (1)如图，过点 B 作 BM AC 于点 M， AC=9， S ABC=272， 12AC BM=272，即 12 9 BM=272，解得 BM=3. 由勾股定理，得 AM= 2 2 2 253A B B M =4，则 tanA= 34BMAM； (2)存在 .如图 2，过点 P 作 PN AC 于点 N. 依题意得 AP=CQ=5t. tanA=34， AN=4t， PN=3t. QN=AC-AN-CQ=9-9t. 根据勾股定理得到： PN2+NQ2=PQ2， S 正方形 PQEF=PQ2=(3t)2+(9-9t)2=90t2-162t+81(0 t 95). 1 6 2 92 2 9 0 1 0ba在 t 的取值范围之内， S 最小值 = 224 4 9 0 8 1 1 6 2 8 14 4 9 0 1 0a c ba ； (3) 如图 3，当点 E 在边 HG 上时， t1=914； 如图 4，当点 F 在边 HG 上时， t2=911； 如图 5，当点 P 边 QH(或点 E 在 QC上 )时， t3=1； 如图 6，当点 F 边 C 上时， t4=97.
