1、农学硕士联考数学-10 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、B选择题/B(总题数：8，分数：32.00)1.设函数 在(-，+)上连续，且 （分数：4.00）A.B.C.D.2.已知 ， 为实数且 0，则 =_。 A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.3.设可微函数 f(x，y)在点(x 0，y 0)取得极小值，则下列结论正确的是_。 A.f(x0，y)在 y=y0处的导数等于零 B.f(x0，y)在 y=y0处的导数大于零 C.f(x0，y)在 y=y0处的导数小于零 D.f(x0，y)在 y=y0处的导数不存在（分数：4.00）A.B.C.D.4.函数 f
2、(x，y)=x 2+xy+y2-3x-6y_。 A.无极值 B.有极小值 C.有极大值 D.有无极值无法判断（分数：4.00）A.B.C.D.5.设 1=(1，4，3，-1) T， 2=(2，t，-1，-1) T， 3=(-2，3，1，t+1) T，则_。 A.对任意的 t， 1， 2， 3线性无关 B.仅当 t=-3 时， 1， 2， 3线性无关 C.当 t=0 时， 1， 2， 3线性相关 D.仅 t0 且 t-3 时， 1， 2， 3线性无关（分数：4.00）A.B.C.D.6.设 A 是 3 阶矩阵，其特征值是 1，3，-2，相应的特征向量依次为 1， 2， 3，若 P=( 1，2 3
3、，- 2)，则 P-1AP=_。ABCD （分数：4.00）A.B.C.D.7.设随机变量 X 服从正态分布 N(， 2)，则随着 的增大，概率 P|X-|将会_。 A.增大 B.减小 C.保持不变 D.增减不定（分数：4.00）A.B.C.D.8.设随机变量 XN(1，2)，YN(2，4)，且 X 与 Y 相互独立，则_。 A2X-YN(0，1) B C2X-Y+1N(1，9) D （分数：4.00）A.B.C.D.二、B填空题/B(总题数：6，分数：24.00)9.极限 （分数：4.00）填空项 1:_10.设 （分数：4.00）填空项 1:_11.设 a0，则 （分数：4.00）填空项
4、1:_12.二次积分 （分数：4.00）填空项 1:_13.设 n 阶矩阵 A 可逆，其每一行元素之和都等于 a，则 A-1的每一行元素之和为 1。（分数：4.00）填空项 1:_14.袋中有 a 只白球，b 只黑球，从中任意取一球，不放回也不看，再取第二次，则第二次取到白球的概率为_。（分数：4.00）填空项 1:_三、B解答题/B(总题数：9，分数：94.00)15.求极限 （分数：10.00）_16.设 ，试证明： （分数：10.00）_17.计算 （分数：10.00）_18.设 eabe 2，证明： （分数：10.00）_19.已知 f(x)是(0，+)上的连续函数，且满足 （分数：1
5、0.00）_20.设矩阵 （分数：10.00）_21.已知平面上三条不同直线的方程分别为l1：ax+2by+3c=0，l2：bx+2cy+3a=0，l3：cx+2ay+3b=0。试证这三条直线交于一点的充分必要条件为 a+b+c=0。（分数：10.00）_22.设随机变量 X 的概率密度函数为 ，求： ()常数 A； () （分数：10.00）_23.设 A，B 为随机事件，且 P(A)= ，P(B|A)= ，P(A|B)= ，令（分数：14.00）_农学硕士联考数学-10 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、B选择题/B(总题数：8，分数：32.00)1.设函数 在(-，
6、+)上连续，且 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 因函数*在(-，+)上连续，则必有 k-ecx0，于是 k0。要使*，必须有*，因此 c0，选 C。2.已知 ， 为实数且 0，则 =_。 A B C D （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 令*，由换元法得 *，故选 A。3.设可微函数 f(x，y)在点(x 0，y 0)取得极小值，则下列结论正确的是_。 A.f(x0，y)在 y=y0处的导数等于零 B.f(x0，y)在 y=y0处的导数大于零 C.f(x0，y)在 y=y0处的导数小于零 D.f(x0，y)在 y=y0处的导数不存在（分数：4.00）A. B.C.
7、D.解析：解析 可微函数 f(x，y)在点(x 0，y 0)取得极小值，根据取得极值的必要条件知 fy(x0，y 0)=0，即 f(x0，y)在 y=y0处的导数等于零，选 A。4.函数 f(x，y)=x 2+xy+y2-3x-6y_。 A.无极值 B.有极小值 C.有极大值 D.有无极值无法判断（分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 令*，得驻点(0，3)又 f“xy=2，f“ xy=1，f“ xy=2，在(0，3)处A=2，B=1，C=2B2-AC=-30，且 A0，所以在点(0，3)处 f(x，y)有极小值，故选 B。5.设 1=(1，4，3，-1) T， 2=(2，t，-1，-
8、1) T， 3=(-2，3，1，t+1) T，则_。 A.对任意的 t， 1， 2， 3线性无关 B.仅当 t=-3 时， 1， 2， 3线性无关 C.当 t=0 时， 1， 2， 3线性相关 D.仅 t0 且 t-3 时， 1， 2， 3线性无关（分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 矩阵*，因为 t 与 t+3 不能同时为 0，所以对任意 t，A 的秩为 3，故必有 1， 2， 3线性无关，故选 A。6.设 A 是 3 阶矩阵，其特征值是 1，3，-2，相应的特征向量依次为 1， 2， 3，若 P=( 1，2 3，- 2)，则 P-1AP=_。ABCD （分数：4.00）A.B.
9、C.D.解析：解析 2 3是 A 的属于特征值-2 的特征向量，- 2是 A 的属于特征值 3 的特征向量，故选 B。7.设随机变量 X 服从正态分布 N(， 2)，则随着 的增大，概率 P|X-|将会_。 A.增大 B.减小 C.保持不变 D.增减不定（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 P|X-|=*=(1)-(-1)，结果与 无关，故选 C。8.设随机变量 XN(1，2)，YN(2，4)，且 X 与 Y 相互独立，则_。 A2X-YN(0，1) B C2X-Y+1N(1，9) D （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 由于 X 与 Y 服从正态分布且相互独立，因此 2
10、X-Y，*，2X-Y+1，*都服从正态分布。而*4D(X)+D(Y)=1，故选 B。二、B填空题/B(总题数：6，分数：24.00)9.极限 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：3）解析：解析 利用等价无穷小的代换 *。10.设 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 *，于是 *。11.设 a0，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 * 由于*是奇函数，因此*。 由几何意义，*。所以 *。12.二次积分 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 交换积分次序 *。13.设 n 阶矩阵 A 可逆，其每一行元素之和都
11、等于 a，则 A-1的每一行元素之和为 1。（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 由于 A 的每一行元素之和都等于 a，即*，因此有*。在等式两边左乘 A-1，得*。又A 可逆，则 a0。于是有*。14.袋中有 a 只白球，b 只黑球，从中任意取一球，不放回也不看，再取第二次，则第二次取到白球的概率为_。（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 设 A=第一次取到白球，B=第二次取到白球。 因为*，所以 *三、B解答题/B(总题数：9，分数：94.00)15.求极限 （分数：10.00）_正确答案：(*)解析：16.设 ，试证明： （分数：10.00
12、）_正确答案：(令*，则 * *)解析：17.计算 （分数：10.00）_正确答案：(积分区域 D 在极坐标系下可以表示为 D：0，0r2sin。 于是 *。)解析：18.设 eabe 2，证明： （分数：10.00）_正确答案：(设*，则*当 xe 时，“(x)0，故 (x)单调减少。于是当 exe 2时，*，说明当 exe 2时，(x)单调增加。从而，当 exe 2时，(b)(a)，即*故*。)解析：19.已知 f(x)是(0，+)上的连续函数，且满足 （分数：10.00）_正确答案：(由 f(x)是(0，+)上的连续函数，可知*在(0，+)可导，方程*两端对 x 求导，得*整理得xf(x
13、)-f(x)=x2-1得一阶线性微分方程*，满足条件 f(1)=0故得初值问题*解之得通解 y=x2+1+Cx代入初始条件，得 C=-2，所求函数f(x)=x2+1-2x=(x-1)2，(x0)。)解析：20.设矩阵 （分数：10.00）_正确答案：(|A-E|=*=(2-)( 2-8+3a+18)若 =2 是特征方程的二重根，则有 22-16+3a+18=0，解得 a=-2。当 a=-2 时，由 2-8+12=0*=2，=6，即 A 的特征值为 2，2，6。而 R(A-2E)=1，所以 A 可以角化。当 =2 不是特征方程的二重根则 2-8+18+3a 为完全平方，即 2-8+18+3a=(
14、-4) 2，从而18+3a=16，解得*。当*时，A 的特征值为 2，4，4。而 R(A-4E)=2，故 =4 对应线性无关的特征向量只有一个，从而 A 不与对角矩阵相似。)解析：21.已知平面上三条不同直线的方程分别为l1：ax+2by+3c=0，l2：bx+2cy+3a=0，l3：cx+2ay+3b=0。试证这三条直线交于一点的充分必要条件为 a+b+c=0。（分数：10.00）_正确答案：(必要性：设三条直线 l1，l 2，l 3交于一点，则线性方程组*有唯一解，故系数矩阵*与增广矩阵*的秩均为2，于是*。而*=6(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-ac-bc)=3(a+b+c)(a
15、-b)2+(b-c)2+(c-a)2由于(a-b) 2+(b-c)2+(c-a)20，因此 a+b+c=0。充分性：由 a+b+c=0，则从必要性的证明可知，*，故*。由于*故*。于是，*。因此方程组*有唯一解，即三直线 l1，l 2，l 3交于一点。)解析：22.设随机变量 X 的概率密度函数为 ，求： ()常数 A； () （分数：10.00）_正确答案：()由*，得 *，所以*。 ()*。 ()分布函数*。)解析：23.设 A，B 为随机事件，且 P(A)= ，P(B|A)= ，P(A|B)= ，令（分数：14.00）_正确答案：()由于 P(AB)=P(A)P(B|A)=*，所以， PX=1，Y=1=P(AB)=*， pX=1，Y=0=*=P(A)-P(AB)=*， PX=0，Y=1=*=P(B)-P(AB)=*， PX=0，Y=0=*=1-P(AB)=1-P(A)-P(B)+P(AB)=* 故(X，Y)的联合概率分布为 * ()X，Y 的边缘分布律分别为 X 0 1P * *X 0 1P * *可求得* 故 Cov(X，Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=*，从而 *。)解析：
