1、农学硕士联考数学-13 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、B选择题/B(总题数：8，分数：32.00)1.设 （分数：4.00）A.B.C.D.2.当 xa 时，f(x)是_时，必有 （分数：4.00）A.B.C.D.3.若函数 f(x)在点 x0连续，若 x0是 f(x)的极值点，则必有_。 A.f(x0)=0 B.f(x0)0 C.f(x0)=0或 f(x0)不存在 D.f(x0)不存在（分数：4.00）A.B.C.D.4.设 f(x)的一个原函数为 lnx，则 f(x)=_。ABe xCxlnxD （分数：4.00）A.B.C.D.5.设 A为 34矩阵，且 R(
2、A)=2，矩阵 （分数：4.00）A.B.C.D.6.设 n阶矩阵 A与 B相似，且 A+3E不可逆，则 B的一个特征值为_。 A B （分数：4.00）A.B.C.D.7.某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为 p(0p1)，则此人第 4次射击恰好第 2次击中目标的概率为_。 A.3p(1-p)2 B.6p(1-p)2 C.3p2(1-p)2 D.6p2(1-p)2（分数：4.00）A.B.C.D.8.设二维随机变量(X，Y)的概率分布为（分数：4.00）A.B.C.D.二、B填空题/B(总题数：6，分数：24.00)9.x=1是函数 （分数：4.00）填空项 1:_10.=
3、1。 （分数：4.00）填空项 1:_11.已知 f(x)的一个原函数是 （分数：4.00）填空项 1:_12.= 1。 （分数：4.00）填空项 1:_13.若 n阶下三角行列式 （分数：4.00）填空项 1:_14.从数 1，2，3，4 中任取一个数，记为 X，再从 1，2，X 中任取一个数，记为 Y，则 PY=2=_。（分数：4.00）填空项 1:_三、B解答题/B(总题数：9，分数：94.00)15.计算积分 （分数：10.00）_16.设函数 f(x)在(0，+)内连续， ，且对所有 x，t(0，+)满足条件 ，求 f(x)。（分数：10.00）_17.已知 （分数：10.00）_1
4、8.设函数 f(x)可导，f(0)=0，且有 ，求 （分数：10.00）_19.计算二重积分： （分数：10.00）_20.问 a，b 为何值时，线性方程组 （分数：10.00）_21.已知二次型 f(x1，x 2，x 3)=xTAx= （分数：10.00）_22.玻璃杯成箱出售，每箱 20只，假设各箱含 0、1、2 只次品的概率分别为 0.8，0.1，0.1。某顾客欲购一箱玻璃杯，售货员随机取一箱，顾客开箱任取 4只查看，若无次品则买此箱，否则退回，求顾客买下此箱的概率。（分数：10.00）_23.设随机变量 X的概率密度为 （分数：14.00）_农学硕士联考数学-13 答案解析(总分：15
5、0.00，做题时间：90 分钟)一、B选择题/B(总题数：8，分数：32.00)1.设 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 当|x|1 时，*，|x|1 时，*，由此可知 * 故 x=1为 f(x)的间断点，故选 B。2.当 xa 时，f(x)是_时，必有 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 因为*，故选 B。3.若函数 f(x)在点 x0连续，若 x0是 f(x)的极值点，则必有_。 A.f(x0)=0 B.f(x0)0 C.f(x0)=0或 f(x0)不存在 D.f(x0)不存在（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 因为函数 f(x)在点 x0处连续，若
6、x0是 f(x)的极值点，则只能 f(x0)=0或 f(x0)不存在，故选 C。4.设 f(x)的一个原函数为 lnx，则 f(x)=_。ABe xCxlnxD （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 因为 f(x)的一个原函数为 lnx，则*。故选 D。5.设 A为 34矩阵，且 R(A)=2，矩阵 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 因为 R(A)=2，矩阵 P可逆，所以 R(PA)=R(A)=2。6.设 n阶矩阵 A与 B相似，且 A+3E不可逆，则 B的一个特征值为_。 A B （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 因为 A+3E不可逆，所以|A+3E|=
7、0，因此-3 是矩阵 A的一个特征值。又 A与 B相似，所以-3也是矩阵 B的特征值。7.某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为 p(0p1)，则此人第 4次射击恰好第 2次击中目标的概率为_。 A.3p(1-p)2 B.6p(1-p)2 C.3p2(1-p)2 D.6p2(1-p)2（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 p=前三次仅有一次击中目标，第 4次击中目标=*p(1-p)2p=3p2(1-p)2，故选 C。8.设二维随机变量(X，Y)的概率分布为（分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 首先所有概率求和为 1，可得 a+b=0.5， 又事件X=0与X+Y
8、=1相互独立，于是有 PX=0，X+Y=1=PX=0PX+Y=1， 即 a=(0.4+a)(a+b)，由此可得 a=0.4，b=0.1，故应选 B。二、B填空题/B(总题数：6，分数：24.00)9.x=1是函数 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：x=1 中 f(x)的第一类间断点。）解析：解析 *，故 x=1是第一类间断点。10.= 1。 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：应填 e5）解析：解析 *。11.已知 f(x)的一个原函数是 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：应填*，其中 C为任意常数。）解析：解析 *。12.= 1。 （分数：4.00）填空项
9、1:_ （正确答案：应填 x-ln(1+ex)+C，其中 C为任意常数。）解析：解析 因为*13.若 n阶下三角行列式 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：1）解析：解析 由于改变某行(列)元素的值，不会改变该元素的代数余子式的值，故将 Dn的第一列元素替换为 1，根据行列式展开定理，知第一列元素的代数余子式之和为*；将 Dn的第二列元素替换为 1，得第二列元素的代数余子式之和为*(因为两列相同)；依此类推，其他列元素的代数余子式之和为皆为 0。因此，所有元素的代数余子式之和为 1。14.从数 1，2，3，4 中任取一个数，记为 X，再从 1，2，X 中任取一个数，记为 Y，则 PY
10、=2=_。（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：PY=2=PX=1PY=2|X=1+PX=2PY=2|X=2+PX=3PY=2|X=3+PX=4PY=2|X=4 *。）解析：三、B解答题/B(总题数：9，分数：94.00)15.计算积分 （分数：10.00）_正确答案：(*)解析：16.设函数 f(x)在(0，+)内连续， ，且对所有 x，t(0，+)满足条件 ，求 f(x)。（分数：10.00）_正确答案：(两端关于 x求导数，得：*。 由*，只需令 x=1，得到 * 当 t(0，+)时，由上式可见 f(t)为可导函数，将上式两端关于 t求导，得 f(t)+tf(t)=*+f(t)，
11、 解出*。 积分得到 f(t)=*lnt+c。 由*，解出*。所以 f(x)=*(lnx+1)。)解析：17.已知 （分数：10.00）_正确答案：(解法一：由已知*，故有*得到 a=1，b=4。 解法二：因为*，所以* 又*，则 a=1 故由已知*，则 b-1=3,b=4,即得 a=1，b=4。)解析：18.设函数 f(x)可导，f(0)=0，且有 ，求 （分数：10.00）_正确答案：(作变量替换：u=x n-tn，则 du=-ntn-1dt*，由洛必达法则，有*)解析：19.计算二重积分： （分数：10.00）_正确答案：(积分区域 D是一个矩形区域，如图所示。该区域被曲线 y=x2分成
12、 D1，D 2两部分，其中*在 D1上，|y-x 2|=x2-y，在 D2上，|y-x 2|=y-x2，利用重积分对区域的可加性得*。)解析：20.问 a，b 为何值时，线性方程组 （分数：10.00）_正确答案：(* 于是可知(其中记方程组的系数矩阵为 A) 当 a1 时，R(A)=R(B)=4，因而方程组有唯一解。 当 a=1且 b-1 时，R(A)=2，R(B)=3，故方程组无解。 当 a=1且 b=-1时，R(A)=R(B)=2，故方程组有无穷多解。此时，将 B进一步化成简化行阶梯形 * 故原方程组的用自由未知量表示的通解为* 用对应齐次线性方程组的基础解系表示的通解为 *。)解析：2
13、1.已知二次型 f(x1，x 2，x 3)=xTAx= （分数：10.00）_正确答案：()二次型 f的矩阵为*设 A的特征值为 i(i=1，2，3)。由题设条件，有 1+ 2+ 3=a+2+(-2)=1， 1 2 3=*=-4a-2b2=12，解得 a=1，b=2。()矩阵 A的特征多项式|A-E|=*=-(-2) 2(+3)，所以 A的特征值 1= 2=2， 3=-3。对于 1= 2=2，解齐次线性方程组(A-2E)x=0，得对应的特征向量 a1=(2，0，1) T，a 2=(0，1，0) T。对于 3=-3，解齐次线性方程组(A+3E)x=0，得对应的特征向量 a3=(1，0，-2) T
14、。由于 a1，a 2，a 3已是正交向量组，只需将 a1，a 2，a 3单位化，由此得*。令矩阵*则 Q为正交矩阵，在正交变换 X=QY下，有*且二次型 f的标准形为*。)解析：22.玻璃杯成箱出售，每箱 20只，假设各箱含 0、1、2 只次品的概率分别为 0.8，0.1，0.1。某顾客欲购一箱玻璃杯，售货员随机取一箱，顾客开箱任取 4只查看，若无次品则买此箱，否则退回，求顾客买下此箱的概率。（分数：10.00）_正确答案：(设 Ai表示箱中恰有 i个次品，B 表示买下此箱玻璃杯P(A0)=0.8，P(A 1)=0.1，P(A 2)=0.1，P(B/A0)=1，*由全概率公式得：*。)解析：23.设随机变量 X的概率密度为 （分数：14.00）_正确答案：()Y 的分布函数为 FY(y)，F Y(y)=P(Yy)=P(X 2y)，则当 y0 时，F Y(y)=0；当 0y1 时，*。当 1y4 时，*。当 y4，F Y(y)=1。()Y 的密度函数为*)解析：
