1、农学硕士联考数学-1 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、B选择题/B(总题数：8，分数：32.00)1.设函数 在(-，+)上连续，且 （分数：4.00）A.B.C.D.2.设 y=ln(lnx)+ln，则 y=_。 A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.3.若 f(x)为连续函数且满足关系式 ，则 f(9)=_。 A （分数：4.00）A.B.C.D.4.已知 （分数：4.00）A.B.C.D.5.设 A 是 mn 矩阵，B 是 nm 矩阵，则_。 A.当 mn 时，必有行列式|AB|0 B.当 mn 时，必有行列式|AB|=0 C.当 nm 时，必有行列
2、式|AB|0 D.当 nm 时，必有行列式|AB|=0（分数：4.00）A.B.C.D.6.若向量组 ， 线性无关， 线性相关，则_。 A. 必可由 ， 线性表示 B. 必不可由 ， 线性表示 C. 必可由 ， 线性表示 D. 必不可由 ， 线性表示（分数：4.00）A.B.C.D.7.设 A，B 为随机事件，且 P(B)0，P(A|B)=1，则必有_。 AA B BA （分数：4.00）A.B.C.D.8.设 X1，X 2，X n是来自总体 N(， 2)(0)的简单随机样本， 和 S2分别为样本均值和样本方差。若 +kS2为 +2 2的无偏估计量，则 k=_。A1B2C3D （分数：4.00
3、）A.B.C.D.二、B填空题/B(总题数：6，分数：24.00)9.设曲线 f(x)=xn在点(1，1)处的切线与 x 轴的交点为( n，0)，则 （分数：4.00）填空项 1:_10.函数 （分数：4.00）填空项 1:_11.若 z=z(x，y)是由方程 xey+yez+zex=0 确定的隐函数，则 dz=_。（分数：4.00）填空项 1:_12.设有抛物线 x=5y2与 x=1+y2，则这两条曲线所围成图形的面积 S 为 1。（分数：4.00）填空项 1:_13.设向量组 1， 2， 3， 4， 5满足如下条件：R( 1， 2， 3)=R( 1， 2， 3， 4)=3，R( 1， 2，
4、 3， 5)=4，则 R( 1， 2， 3， 4，- 5)=_。这里 R( 1， 2， 3)表示向量组 1， 2， 3的秩。（分数：4.00）填空项 1:_14.设随机变量 X 服从参数为 的泊松分布，且 E(X-1)(X-2)=1，则 EX2= 1。（分数：4.00）填空项 1:_三、B解答题/B(总题数：9，分数：94.00)15.计算极限 （分数：10.00）_16.设 （分数：10.00）_17.计算 （分数：10.00）_18.已知函数 f(x)在0，1上存在二阶导数，且 f(1)=0。令F(x)=(ex-1)2f(x)，证明：()在(0，1)内至少存在一点 ，使得 F()=0；()
5、在(0，1)内 F“(x)=0 至少存在一个根。（分数：10.00）_19.计算 n(n2)阶行列式 （分数：10.00）_20.已知二次型 （分数：10.00）_21.设二维随机变量(X，Y)的概率分布为（分数：10.00）_22.设随机变量 X 服从区间0，上的均匀分布，令 Y=sinX，求()Y 的概率密度 fY(y)；()P-1y1。（分数：12.00）_23.已知铁路线上 AB 段的距离为 100 千米，工厂 C 距 A 处 20 千米，ACAB(如图)，现要在 AB 段上选定一点 D 向工厂修筑一条公路，已知铁路上每千米货运的费用与公路货运的费用之比为 3:5，问 D 应选在何处，
6、货物从 B 运到工厂 C 的总运费最省。（分数：12.00）_农学硕士联考数学-1 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、B选择题/B(总题数：8，分数：32.00)1.设函数 在(-，+)上连续，且 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 由于*，所以*。在这种情况下，b0。可以看出 B、C 是错的。又函数*在 x=0 处连续，故 a0。选 D。2.设 y=ln(lnx)+ln，则 y=_。 A B C D （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 由复合函数求导公式知：*。但需注意：常数的导数为 0，故选 C。3.若 f(x)为连续函数且满足关系式 ，则 f
7、(9)=_。 A （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 由于 f(x)为连续函数，所以变上限积分*可导。对等式*两边求导得，3x 2f(x3+1)=2x。故 f(9)=*，选 A。4.已知 （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 这道题是高阶求导问题。一般情况下，先求出一阶、二阶等低阶导数，然后寻找规律。由 f(x)=(1-x)-1知：f(x)=-(1-x) -2=-(1-x)-2，f“(x)=-2!(1-x) -3，f (3)(x)=-6(1-x)-4=-3!(1-x)-4，故 f(n)(x)=-n!(1-x)-n，选 A。5.设 A 是 mn 矩阵，B 是 nm 矩阵，则
8、_。 A.当 mn 时，必有行列式|AB|0 B.当 mn 时，必有行列式|AB|=0 C.当 nm 时，必有行列式|AB|0 D.当 nm 时，必有行列式|AB|=0（分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 由于 R(AB)R(A)n，所以当 mn 时，mm 矩阵 AB 是降阶矩阵，故选 B。6.若向量组 ， 线性无关， 线性相关，则_。 A. 必可由 ， 线性表示 B. 必不可由 ， 线性表示 C. 必可由 ， 线性表示 D. 必不可由 ， 线性表示（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 由于 ， 线性相关，所以 可由 ， 线性表示，当然它可以由 ， 线性表示。故选 C。7.
9、设 A，B 为随机事件，且 P(B)0，P(A|B)=1，则必有_。 AA B BA （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 由已知条件 P(A|B)=1 知：*，即 P(AB)=P(B)。又*=P(B)-P(AB)=0，故选 C。8.设 X1，X 2，X n是来自总体 N(， 2)(0)的简单随机样本， 和 S2分别为样本均值和样本方差。若 +kS2为 +2 2的无偏估计量，则 k=_。A1B2C3D （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 由已知条件*+kS 2为 +2 2的无偏估计量知：E(*+kS 2)=+2 2。另一方面，E(*+kS2)=E(*)+kE(S2)=+k
10、 2，故 +k 2=+2 2，从而 k=2，故选 B。二、B填空题/B(总题数：6，分数：24.00)9.设曲线 f(x)=xn在点(1，1)处的切线与 x 轴的交点为( n，0)，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 由题设知：f(x)=x n在点(1，1)处的切线为 y-1=n(x-1)，故*。则*10.函数 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：0x1）解析：解析 函数*的定义域为(-，+)，并且*所以满足题设条件必须 x0 且 x2-10，故 0x1。11.若 z=z(x，y)是由方程 xey+yez+zex=0 确定的隐函数，则 dz=_。（分数：
11、4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 对方程 xey+yez+zex=0 两边分别对 x，y 求偏导得，*。于是*。12.设有抛物线 x=5y2与 x=1+y2，则这两条曲线所围成图形的面积 S 为 1。（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 *。13.设向量组 1， 2， 3， 4， 5满足如下条件：R( 1， 2， 3)=R( 1， 2， 3， 4)=3，R( 1， 2， 3， 5)=4，则 R( 1， 2， 3， 4，- 5)=_。这里 R( 1， 2， 3)表示向量组 1， 2， 3的秩。（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：R( 1， 2
12、， 3， 4，- 5)=4）解析：解析 由于 R( 1， 2， 3)=3，所以向量组 1， 2， 3线性无关。又 R( 1， 2， 3， 4)=3，R( 1， 2， 3， 5)=4，所以 4可以由向量组 1， 2， 3线性表示，并且 1， 2， 3， 5线性无关。因此，R( 1， 2， 3， 4，- 5)=4。14.设随机变量 X 服从参数为 的泊松分布，且 E(X-1)(X-2)=1，则 EX2= 1。（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：EX 2=2）解析：解析 由于 X 服从参数为 的泊松分布，所以 EX=，DX=。又由于 E(X-1)(X-2)=E(X2-3X+2)=EX2-3
13、EX+2=1 且 EX2=DX+(EX)2，所以 + 2-3+2=1，解得 =1。故 EX2=DX+(EX)2=1+12=2。三、B解答题/B(总题数：9，分数：94.00)15.计算极限 （分数：10.00）_正确答案：(由于*所以*。)解析：16.设 （分数：10.00）_正确答案：()由于*所以 f(x)在 x=0 处连续。 ()又* * 所以当 g(0)=0 时 f(x)在 x=0 处可导。)解析：17.计算 （分数：10.00）_正确答案：(记 D=(x，y)|0x1，0y1=D 1+D2，其中 D1=(x，y)|0x1，0yx 2，D 2=(x，y)|0x1，x 2y1，则*)解析
14、：18.已知函数 f(x)在0，1上存在二阶导数，且 f(1)=0。令F(x)=(ex-1)2f(x)，证明：()在(0，1)内至少存在一点 ，使得 F()=0；()在(0，1)内 F“(x)=0 至少存在一个根。（分数：10.00）_正确答案：()函数 F(x)=(ex-1)2f(x)在0，1上满足罗尔定理的条件，故在(0，1)内至少存在一点，使得 F()=0。()又由于 F(x)=2ex(ex-1)f(x)+(ex-1)2f(x)，所以 F(0)=0。令 G(x)=F(x)，则易知：G(x)在0，上满足罗尔定理的条件，故在(0，1)内 F“(x)=0 至少存在一个根。)解析：19.计算 n
15、(n2)阶行列式 （分数：10.00）_正确答案：(*)解析：20.已知二次型 （分数：10.00）_正确答案：()*，由 R(f)=R(A)=2 得|A|=0，即-8a=0，又即 a=0。()A 的特征值 1= 2=2， 3=0。A 的属于 1= 2=2 的线性无关的特征向量为 p1=(1，1，0) T，p 2=(0，0，1) T，A 的属于 3=0 的线性无关的特征向量为 p3=(-1，1，0) T。易见 p1，p 2，p 3两两正交，将 p1，p 2，p 3单位化，得*取*，则 Q 为正交矩阵。令 x=Qy，得 f(x1，x 2，x 3)=*。)解析：21.设二维随机变量(X，Y)的概率
16、分布为（分数：10.00）_正确答案：()由*知：0.4+a+b+0.1=1，即 a+b=0.5。由事件X=0与X+Y=1相互独立知：PX=0PX+Y=1=PX=0，X+Y=1依题意：PX=0=0.4+a，PX+Y=1=PX=0，Y=1+PX=1，Y=0=a+b=0.5，PX=0，X+Y=1=PX=0，Y=1=a，从而(0.4+a)0.5=a，联立方程组*解得 a=0.4，b=0.1。()(X，Y)以及 X，Y 的概率分布为*由此得 EX=0.2，EX 2=0.2，DX=EX 2-(EX)2=0.16，EY=0.5，EX 2=0.5，DY=EY 2-(EY)2=0.25，E(XY)=0.1，故
17、*。)解析：22.设随机变量 X 服从区间0，上的均匀分布，令 Y=sinX，求()Y 的概率密度 fY(y)；()P-1y1。（分数：12.00）_正确答案：()因为 X 服从区间0，上的均匀分布，所以*由 X 的取值范围0，知道 Y=sinX 的值域为0，1。记 Y 的分布函数为 FY(y)，则当 0y1 时，F Y(y)=PYy=PsinXy=P(0Xarcsiny)(-arcsinyX)*当 y0 时，F Y(y)=0；当 y1 时，F Y(y)=1。故 Y 的概率密度*()*)解析：23.已知铁路线上 AB 段的距离为 100 千米，工厂 C 距 A 处 20 千米，ACAB(如图)，现要在 AB 段上选定一点 D 向工厂修筑一条公路，已知铁路上每千米货运的费用与公路货运的费用之比为 3:5，问 D 应选在何处，货物从 B 运到工厂 C 的总运费最省。（分数：12.00）_正确答案：(如上图所示，设 D 点距 A 点的距离为 x 千米时总运费最省，则 DB=100-x，CD=*。又设铁路与公路每千米货运的费用之比例常数为 k，总运费为 s，则 s 是 x 的函数，由题意有 s=3k(100-x)+*，x0，100，*，令 sx=0，解得 x=15。根据实际问题的具体情况知，当 x=15 千米时运费最省。)解析：
