2015年黑龙江省大兴安岭市中考真题数学.docx

1、2015 年黑龙江省大兴安岭市中考真题数学 一、选择题 (本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分 ) 1.下列各式正确的是 ( ) A.-22=4 B.20=0 C. 42 D.| 2 | 2 解析：考查有理数的乘方，任何非零数的零次幂等于 1，算术平方根的定义，绝对值的性质，对各选项分析判断： A.因为 -22=-4，故本选项错误； B.因为 20=1，故本选项错误； C.因为 42 ，故本选项错误； D. 因为 | 2 | 2，故本选项正确 . 答案： D. 2. 下列汉字或字母中既是中心对称图形又是轴对称图形的是 ( ) A. B. C. D. 解析：考查中心对称图形和轴对称

2、图形，根据轴对称图形与中心对称图形的概念对各选项分析判断： A.是轴对称图形，不是中心对称图形 .故错误； B.是轴对称图形，不是中心对称图形 .故错误； C.是轴对称图形，也是中心对称图形 .故正确； D.不是轴对称图形，是中心对称图形 .故错误 . 答案： C. 3.下列是某校教学活动小组学生的年龄情况： 13， 15， 15， 16， 13， 15， 14， 15(单位：岁 ).这组数据的中位数和极差分别是 ( ) A.15， 3 B.14， 15 C.16， 16 D.14， 3 解析：考查极差、中位数 ， 根据中位数与极差的定义 分别求出这组数据的中位数和极差： 按从小到大的顺序排列

3、为： 13， 13， 14， 15， 15， 15， 15， 16，故中位数为 (15+15) 2=15，极差为 16-13=3. 答案： A. 4.如图，匀速地向此容器内注水，直到把容器注满，在注水过程中，下列图象能大致反映水面高度 h 随注水时间 t 变化规律的是 ( ) A. B. C. D. 解析：考查函数的图形，由于三个容器的高度相同，粗细不同，那么水面高度 h 随时间 t变化而分三个阶段：最下面的容器容器最小，用时最短，第二个容器最粗，那么第二个阶段的函数图象水面高度 h 随时间 t 的增大而增长缓慢，用时较长，最上面容器较粗，那么用时较短 . 答案： B. 5.如图，由一些完全相

4、同的小正方体搭成的几何体的俯视图和左视图，组成这个几何体的小正方体的个数是 ( ) A.5 或 6 或 7 B.6 或 7 C.6 或 7 或 8 D.7 或 8 或 9 解析：考查由三视图判断几何体，根据几何体的左视图，可得这个几何体共有 3 层，从俯视图可以可以看出最底层的个数是 4 个。 (1)当第一层有 1 个小正方体，第二层有 1 个小正方体时，组成这个几何体的小正方体的个数是： 1+1+4=6(个 )； (2)当第一层有 1 个小正方体，第二层有 2 个小正方体时，或当第一层有 2 个小正方体，第二层有 1 个小正方体时，组成这个几何体的小正方体的个数是： 1+2+4=7(个 )；

5、 (3)当第一层有 2 个小正方体，第二层有 2 个小正方体时，组成这个几何体的小正方体的个数是： 2+2+4=8(个 ). 综上所述： 组成这个几何体的小正方体的个数是 6 或 7 或 8. 答案： C. 6.如图，两个同心圆，大圆的半径为 5，小圆的半径为 3，若大圆的弦 AB 与小圆有公共点，则弦 AB 的取值范围是 ( ) A.8 AB 10 B.8 AB 10 C.4 AB 5 D.4 AB 5 解析 ： 考查 直线与圆的位置关系 ， 勾股定理 ， 垂径定理 .AB 最小取 与小圆相切的时候的弦长 ，最大取直径： 当 AB 与小圆相切，大圆半径为 5，小圆的半径为 3， 222853

6、AB . 大圆的弦 AB 与小圆有公共点，即相切或相交， 8 AB 10. 答案 ： A. 7.关于 x 的分式方程 52axx 有解，则字母 a 的取值范围是 ( ) A.a=5 或 a=0 B.a 0 C.a 5 D.a 5 且 a 0 解析：本题考查分式方程的解： 5 2axx ，去分母得： 5(x-2)=ax，去括号得： 5x-10=ax，移项，合并同类项得： (5-a)x=10，关于 x 的分式方程 52axx 有解， 5-a 0， x 0 且 x 2，即 a 5，系数化为 1 得：051x a ， 105 a 0 且 105 a 2，即 a 5， a 0， 综上所述：关于 x 的分

7、式方程 52axx 有解，则字母 a 的取值范围是 a 5， a 0， 答案 ： D. 8.为了开展阳光体育活动，某班计划购买毽子和跳绳两种体育用品，共花费 35 元，毽子单价 3 元，跳绳单价 5 元，购买方案有 ( ) A.1 种 B.2 种 C.3 种 D.4 种 解析：本题考查二元一次方程的应用： 设毽子能买 x 个，跳绳能买 y 根， 由题意得 ： 3 5 357 35xyyx， x、 y 都是正整数， x=5 时， y=4； x=10 时， y=1；购买方案有 2 种 . 答案： B. 9.抛物线 y=ax2+bx+c(a 0)的对称轴为直线 x=-1，与 x 轴的一个交点 A 在

8、点 (-3， 0)和 (-2，0)之间，其部分图象如图，则下列结论： 4ac-b2 0； 2a-b=0； a+b+c 0；点 M(x1，y1)、 N(x2， y2)在抛物线上，若 x1 x2，则 y1 y2，其中正确结论的个数是 ( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 解析：本题考查二次函数图象与系数的关系，根据函数与 x 中轴的交点的个数，以及对称轴的解析式，函数值的符号的确定进行判断：函数与 x 轴有两个交点，所以 b2-4ac 0，即 4ac-b2 0，故正确；函数的对称轴是 x=-1，即 12ba ，则 b=2a， 2a-b=0，故正确；当 x=1时，函数对应的点在 x

9、 轴下方，则 a+b+c 0，则正确；则 y1和 y2的大小无法判断，则错误 . 答案： C. 10.如图，在钝角 ABC 中，分别以 AB 和 AC 为斜边向 ABC 的外侧作等腰直角三角形 ABE和等腰直角三角形 ACF， EM 平分 AEB交 AB 于点 M，取 BC 中点 D， AC 中点 N，连接 DN、 DE、DF.下列结论： EM=DN； S CDN=13S 四边形 ABDN； DE=DF； DE DF.其中正确的结论的个数是( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 解析：本题考查全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形，三角形中位线定理，对各个小题分析判断： D 是

10、 BC 中点， N 是 AC 中点， DN 是 ABC的中位线， DN AB，且 DN=12AB； 三角形 ABE是等腰直角三角形， EM平分 AEB交 AB于点 M， M是 AB的中点， EM=12AB， 又 DN=12AB， EM=DN，结论正确； DN AB， CDN ABC， DN=12AB， S CDN=14S ABC， S CDN=13S 四边形 ABDN，结论正确； 如图 1，连接 MD、 FN D 是 BC 中点， M 是 AB 中点， DM 是 ABC的中位线， DM AC，且 DM=12AC； 三角形 ACF 是等腰直角三角形， N 是 AC 的中点， FN=12AC， 又

11、 DM=12AC， DM=FN， DM AC， DN AB，四边形 AMDN 是平行四边形， AMD= AND， 又 EMA= FNA=90， EMD= DNF， 在 EMD 和 DNF 中， E M D NE M D D N FM D N F, EMD DNF， DE=DF，结论正确； 如图 2，连接 MD， EF， NF， 三角形 ABE 是等腰直角三角形， EM 平分 AEB， M 是 AB 的中点， EM AB， EM=MA， EMA=90， AEM= EAM=45， 45 22EM s inEA ， D 是 BC 中点， M 是 AB 中点， DM 是 ABC的中位线， DM AC，

12、且 DM=12AC； 三角形 ACF是等腰直角三角形， N是 AC 的中点， FN=12AC， FNA=90， FAN= AFN=45， 又 DM=12AC， DM=FN= 22FA， EMD= EMA+ AMD=90 + AMD， EAF=360 - EAM- FAN- BAC=360 -45 -45-(180 - AMD)=90 + AMD， EMD= EAF， 在 EMD 和 EAF 中， 22E M D ME A F AE M D E A F EMD EAF， MED= AEF， MED+ AED=45， AED+ AEF=45，即 DEF=45， 又 DE=DF， DFE=45， E

13、DF=180 -45 -45 =90， DE DF，结论正确 . 正确的结论有 4 个： . 答案 ： D. 二、填空题 (共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分 ) 11.日前从省教育厅获悉，为改善农村义务教育办学条件，促进教育公平，去年我省共接收163400 名随迁子女就学，将 163400 用科学记数法表示为 解析：本题考查用科学记数法表示较大的数，科学记数法的表示形式为 a 10n 的形式，其中 1 |a| 10， n 为整数 .确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位， n的绝对值与小数点移动的位数相同 .当原数绝对值 1时， n是正数；当原数的绝对值 1时

14、，n 是负数：将 163400 用科学记数法表示为 1.634 105， 答案： 1.634 105. 12.在函数231yx x 中，自变量 x 的取值范围是 解析：本题考查 函数自变量的取值范围 ， 根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于 0，分母不等于 0，可以求出 x 的范围 ： 由题意得， x+3 0， x2 0，解得： x -3，且 x 0. 答案 ： x -3，且 x 0. 13.如图，点 B、 A、 D、 E 在同一直线上， BD=AE， BC EF，要使 ABC DEF，则只需添加一个适当的条件是 (只填一个即可 ) 解析：本题考查全等三角形的判定： BC=EF

15、或 BAC= EDF (1)若添加 BC=EF BC EF， B= E， BD=AE， BD-AD=AE-AD，即 BA=ED， 在 ABC 和 DEF 中， BC EFBEBA ED, ABC DEF(SAS)； (2)若添加 BAC= EDF， BC EF， B= E， BD=AE， BD-AD=AE-AD，即 BA=ED， 在 ABC 和 DEF 中， BEB A E DB A C E D F ABC DEF(ASA)， 答案： BC=EF 或 BAC= EDF 均可 . 14. ABC 的两边长分别为 2和 3，第三边的长是方程 x2-8x+15=0 的根，则 ABC 的周长是 解析：

16、一元二次方程的解法， 先求得方程的根，再根据三角形三边关系判断出第三边的长，可求得三角形的周长 ： 解方程 x2-8x+15=0 可得 x=3 或 x=5， ABC 的第三边为 3 或 5， 但当第三边为 5 时， 2+3=5，不满足三角形三边关系， ABC 的第三边长为 3， ABC 的周长为 2+3+3=8 答案 ： 8. 15.如图，点 A 是反比例函数图象上一点，过点 A 作 AB y 轴于点 B，点 C、 D在 x 轴上，且BC AD，四边形 ABCD 的面积为 3，则这个反比例函数的解析式为 解析：本题考查反比例函数系数 k 的几何意义，过 A 点向 x 轴作垂线，与坐标轴围成的四

17、边形的面积是定值 |k|，据此可以求得答案：过 A 点向 x 轴作垂线，如图 ： 根据反比例函数的几何意义可得：四边形 ABCD 的面积为 3，即 |k|=3， 又函数图象在二、四象限， k=-3，即函数解析式为： y= 3x. 答案： y= 3x. 16.底面周长为 10 cm，高为 12cm 的圆锥的侧面积为 解析：本题考查圆锥侧面积的计算，圆锥的侧面积公式： S=12al，代入数据即可求出答案： 设圆锥的底面半径为 r，母线为 a， 10 52r ， 225 1 2 1 3a ，圆锥的侧面积 = 32 1 0 6 51 1 (cm2)， 答案： 65 cm2. 17.从点 A(-2， 3

18、)、 B(1， -6)、 C(-2， -4)中任取一个点，在 y= 6x的图象上的概率是 解析：本题考查概率公式、反比例函数图象上点的坐标特征，先把三点分别代入反比例函数解析式，求出在此函数图象上的点，再利用概率公式即可求出答案： A、 B、 C 三个点，在函数 y=-2x 的图象上的点有 A 和 B 点， 随机抽取一张，该点在 y= 6x的图象上的概率是 23. 答案： 23. 18.菱形 ABCD 的对角线 AC=6cm， BD=4cm，以 AC 为边作正方形 ACEF，则 BF长为 解析：本题考查菱形的性质，正方形的性质 .根据题意，作出图形，根据菱形的对角线互相垂直平分求出 AO、 B

19、O，然后分正方形在 AC 的两边两种情况补成以 BF 为斜边的 Rt BGF，然后求出 BG、 FG，再利用勾股定理列式计算： AC=6cm， BD=4cm， AO=12AC=12 6=3cm， BO=12BD=12 4=2m， 如图 1，正方形 ACEF 在 AC 的上方时，过点 B 作 BG AF 交 FA 的延长线于 G， BG=AO=3cm， FG=AF+AG=6+2=8cm， 在 Rt BFG 中， 2 2 2 23 8 7 3B F B G F G cm， 如图 2，正方形 ACEF 在 AC 的下方时，过点 B 作 BG AF 于 G， BG=AO=3cm， FG=AF-AG=6

20、-2=4cm， 在 Rt BFG 中， 2 2 2 23 4 5B F B G F G cm， 综上所述， BF 长为 5cm 或 73 cm. 答案： 5cm 或 73 cm. 19. BD 为等腰 ABC 的腰 AC 上的高， BD=1， tan ABD= 3 ，则 CD 的长为 解析：本题考查 解直角三角形 ， 等腰三角形的性质 ， 勾股定理 .根据顶角的大小 分 三 种情况：如图 1， A 为钝角， AB=AC，在 Rt ABD 中，根据锐角三角函数的定义即可得到结果；如图 2， A 为锐角， AB=AC，在 Rt ABD 中根据锐角三角函数的定义即可得到结果；如图3， A 为底角，由

21、 tan ABD= 3 ，得到 ABD=60于是得到 A=30，求得 C=120，在 Rt BCD 中根据锐角三角函数的定义即可得到结果 ： 图 1， A 为钝角， AB=AC， 在 Rt ABD 中， BD=1， tan ABD= 3 ， AD= 3 ， AB=2， AC=2， CD=2+ 3 ， 如图 2， A 为锐角， AB=AC， 在 Rt ABD 中， BD=1， tan ABD= 3 ， AD= 3 ， AB=2， AC=2， CD=2- 3 ， 如图 3， A 为底角， tan ABD= 3 ， ABD=60， A=30， C=120， BCD=60 BD=1， CD=33 ；

22、综上所述 ,CD 的长为： 2+ 33或 2- 3 或 33， 答案 ： 2+ 33或 2- 3 或 33. 20.如图，正方形 ABCB1中， AB=1.AB 与直线 l 的夹角为 30，延长 CB1交直线 l 于点 A1，作正方形 A1B1C1B2，延长 C1B2交直线 l 于点 A2，作正方形 A2B2C2B3，延长 C2B3交直线 l 于点 A3，作正方形 A3B3C3B4，依此规律，则 A2014A2015= 解析：本题考查相似三角形的判定与性质， 正方形的性质 .因为 四边形 ABCB1 是正方形， 所以 AB=AB1， AB CB1， 可得 AB A1C，根据平行线的性质得到 C

23、A1A=30，解直角三角形得到A1B1= 3 ， AA1=2，同理： A2A3=2( 3 )2， A3A4=2( 3 )3，发现存在 规律 AnAn+1=2( 3 )n， 根据此规律，即可求出答案： 四边形 ABCB1是正方形， AB=AB1， AB CB1， AB A1C， CA1A=30， A1B1= 3 ， AA1=2， A1B2=A1B1= 3 ， A1A2=2 3 ， 同理： A2A3=2( 3 )2， A3A4=2( 3 )3， AnAn+1=2( 3 )n， A2014A2015=2( 3 )2014， 答案 ： 2( 3 )2014. 三、解答题 (本小题共 8 小题，共 60

24、 分 ) 21.先化简，再求值： 22 (1 )1 11xxx ，其中 x 是 5 的整数部分 . 解析：本题考查 分式的化简求值 ， 估算无理数的大小 .原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，求出 x 的值代入计算即可求出值 . 答案 ：原式 = 221 1 11 1 1 111x x x x xx x x xxxx ， x 是 5 的整数部分， x=2，则原式 =23. 22.如图，在边上为 1 个单位长度的小正方形网格中： (1)画出 ABC 向上平移 6 个单位长度，再向右平移 5 个单位长度后的 A1B1C1. 解析：考查平移的性质

25、，根据平移的性质画出图形即可 . 答案：如图所示： (2)以点 B 为位似中心，将 ABC 放大为原来的 2 倍，得到 A2B2C2，请在网格中画出 A2B2C2. 解析：考查位似图形的性质，根据位似的性质画出图形即可 . 答案：如图所示： (3)求 CC1C2的面积 . 解析： 考查三角形的面积公式，根据三角形的面积公式求出即可 . 答案： 如图所示： CC1C2的面积为 12 3 6=9. 23.如图，在平面直角坐标系中，正方形 OABC 的边长为 4，顶点 A、 C 分别在 x 轴、 y 轴的正半轴，抛物线 y=-12x2+bx+c 经过 B、 C 两点，点 D 为抛物线的顶点，连接 A

26、C、 BD、 CD. (1)求此抛物线的解析式 . 解析：考查待定系数法求二次函数解析式，根据题意和图形可以确定出 B 与 C 的坐标，代入抛物线解析式 y=-12x2+bx+c 即可求出 b 与 c 的值，进而确定抛物线解析式 . 答案：由已知得： C(0， 4)， B(4， 4)， 把 B 与 C 坐标代入 y=-12x2+bx+c 得： 4 124bcc，解得： 24bc则解析式为 y=-12x2+2x+4. (2)求此抛物线顶点 D 的坐标和四边形 ABCD 的面积 . 解析： 考查二次函数顶点坐标，把抛物线解析式化为顶点形式，找出顶点坐标，四边形 ABDC的面积 = ABC 的面积

27、+ BCD 的面积 . 答案： y=-12x2+2x+4=-12(x-2)2+6，抛物线顶点坐标为 (2， 6)， 则 S 四边形 ABDC=S ABC+S BCD=12 4 4+12 4 2=8+4=12. 24. 4 月 23 日是“世界读书日”，学校开展“让书香溢满校园”读书活动，以提升青少年的阅读兴趣，九年 (1)班数学活动小组对本年级 600 名学生每天阅读时间进行了统计，根据所得数据绘制了两幅不完整统计图 (每组包括最小值不包括最大值 ).九年 (1)班每天阅读时间在 0.5 小时以内的学生占全班人数的 8%.根据统计图解答下列问题： (1)九年 (1)班有 名学生； 解析：考查频

28、数 (率 )分布直方图的相关知识，利用条形统计图与扇形统计图中 1.5 2 小时的人数以及所占比例进而得出该班的人数 . 答案：由题意可得： 4 8%=50(人 )，所以九年 (1)班有 50 名学生 . (2)补全直方图； 解析：利用班级人数减去其他时间段的人数，得出 0.5 1 小时的人数，进而不全直方图 . 答案：由 (1)得： 0.5 1 小时的为： 50-4-18-8=20(人 )，如图所示： (3)除九年 (1)班外，九年级其他班级每天阅读时间在 1 1.5 小时的学生有 165 人，请你补全扇形统计图； 解析：九年级其他班级每天阅读时间在 1 1.5 小时的学生有 165 人，可

29、以求出 1 1.5 小时在扇形统计图中所占比例，进而得出 0.5 1 小时在扇形统计图中所占比例 . 答案：除九年 (1)班外，九年级其他班级总人数为 (600-50)人，九年级其他班级每天阅读时间在 1 1.5 小时的学生有 165 人 1 1.5 小时在扇形统计图中所占比例为： 165 (600-50) 100%=30%； 0.5 1 小时在扇形统计图中所占比例为： 1-30%-10%-12%=48%. 如图所示： (4)求该年级每天阅读时间不少于 1 小时 的学生有多少人？ 解析： 利用 该年级总人数和 扇形统计图 每天阅读时间不少于 1 小时的人数所占比例，求得 该年级每天阅读时间不少

30、于 1 小时的人数 . 答案： 该年级每天阅读时间不少于 1 小时的学生有： (600-50) (30%+10%)+18+8=246(人 ). 25.甲、乙两车分别从相距 480km 的 A、 B 两地相向而行，乙车比甲车先出发 1 小时，并以各自的速度匀速行驶，途径 C 地，甲车到达 C 地停留 1 小时，因有事按原路原速返回 A 地 .乙车从 B 地直达 A 地，两车同时到达 A 地 .甲、乙两车距各自出发地的路程 y(千米 )与甲车出发所用的时间 x(小时 )的关系如图，结合图象信息解答下列问题： (1)乙车的速度是 千米 /时， t= 小时； 解析：本题考查一次函数的应用 .根据图象，

31、可知乙车的速度是 60 千米 /时，根据时间 =路程速度，用两地之间的距离除以乙车的速度，求出乙车到达 A 地用的时间是多少；根据速度=路程时间，用两地之间的距离除以甲车往返 AC 两地用的时间，求出甲车的速度；再用AC 间的距离 360 除以甲车的速度，即可求出 t 的值 . 答案：根据图示，可得乙车的速度是 60 千米 /时， 甲车的速度是： (360 2) (480 60-1-1)=7206 =120(千米 /小时 ) t=360 120=3(小时 ). (2)求甲车距它出发地的路程 y与它出发的时间 x的函数关系式，并写出自变量的取值范围； 解析：根据题意，分 3 种情况：当 0 x

32、3 时；当 3 x 4 时； 4 x 7 时；对这三种情况分类讨论，求出甲车距它出发地的路程 y 与它出发的时间 x 的函数关系式，然后写出自变量的取值范围即可 . 答案：当 0 x 3 时，设 y=k1x，把 (3， 360)代入，可得 3k1=360，解得 k1=120， y=120x(0 x 3). 当 3 x 4 时， y=360. 4 x 7 时，设 y=k2x+b，把 (4， 360)和 (7， 0)代入，可得 224 36070kbkb，解得 2 120840kb， y=-120x+840(4 x 7). (3)直接写出乙车出发多长时间两车相距 120 千米 . 解析： 根据题意

33、，分 3 种情况：甲乙两车相遇之前相距 120 千米；当甲车停留在 C 地时；两车都朝 A 地行驶时； 根据 时间 =路程速度，分类讨论，求出两车相距 120 千米 时乙车出发多长时间 . 答案： (480-60-120) (120+60)+1=300180+1 =53+1=83(小时 ) 当甲车停留在 C 地时， (480-360+120) 60=2406 =4(小时 ) 两车都朝 A地行驶时，设乙车出发 x小时后两车相距 120千米，则 60x-120(x-1)-360=120， 所以 480-60x=120，所以 60x=360，解得 x=6.综上所述： 乙车出发 83小时、 4 小时、

34、 6 小时后两车相距 120 千米 . 26.如图 1 所示，在正方形 ABCD 和正方形 CGEF 中，点 B、 C、 G 在同一条直线上， M 是线段AE 的中点， DM 的延长线交 EF 于点 N，连接 FM，易证： DM=FM， DM FM(无需写证明过程 ) (1)如图 2，当点 B、 C、 F 在同一条直线上， DM 的延长线交 EG 于点 N，其余条件不变，试探究线段 DM 与 FM 有怎样的关系？请写出猜想，并给予证明； 解析：连接 DF， NF，因为四边形 ABCD 和 CGEF 是正方形，所以得出 AD BC， BC GE，于是得到 AD GE，进而求得 DAM= NEM，

35、证得 MAD MEN，得出 DM=MN， AD=EN，推出 MAD MEN，证出 DFN 是等腰直角三角形，进而证得结论 . 答案：如图 2， DM=FM， DM FM， 证明：如图所示，连接 DF， NF 四边形 ABCD 和 CGEF 是正方形， AD BC， BC GE， AD GE， DAM= NEM， M 是 AE 的中点， AM=EM， 在 MAD 与 MEN 中， A M D E M NA M E MD A M N E M ， MAD MEN， DM=MN， AD=EN， AD=CD， CD=NE， CF=EF， DCF= DCB=90， 在 DCF 与 NEF 中， 90C D

36、 E ND C F N E FC F E F ， MAD MEN， DF=NF， CFD= EFN， EFN+ NFC=90， DFC+ CFN=90， DFN=90， DM FM， DM=FM. (2)如图 3，当点 E、 B、 C 在同一条直线上， DM 的延长线交 CE 的延长线于点 N，其余条件不变 ，探究线段 DM 与 FM 有怎样的关系？请直接写出猜想 . 解析： 连接 DF， NF， 在正方形 ABCD 中 ， 有 AD BC， 因为 点 E、 B、 C 在同一条直线上， 所以AD CN，求得 DAM= NEM，证得 MAD MEN，得出 DM=MN， AD=EN， 进而 推出

37、MADMEN，证出 DFN 是等腰直角三角形， 证得结论 . 答案： 猜想： DM FM， DM=FM 证明 ： 如图所示 ，连接 DF， NF 四边形 ABCD 是正方形， AD BC，点 E、 B、 C 在同一条直线上， AD CN， ADN= MNE， 在 MAD 与 MEN 中， A M D E M NA M E MD A M N E M ， MAD MEN， DM=MN， AD=EN， AD=CD， CD=NE， CF=EF， DCF=90 +45 =135， NEF=180 -45 =135， DCF= NEF， 在 DCF 与 NEF 中， 135C D N ED C F N E

38、 FC F E F ， MAD MEN， DF=NF， CFD= EFN， CFD+ EFD=90， NFE+ EFD=90， DFN=90， DM FM， DM=FM. 27. 母亲节前夕，某淘宝店主从厂家购进 A、 B 两种礼盒，已知 A、 B 两种礼盒的单价比为 2：3，单价和为 200 元 . (1)求 A、 B 两种礼盒的单价分别是多少元？ 解析：根据 A、 B 两种礼盒的单价比为 2： 3，有知道两种礼盒单价和为 200 元，进而可以求得两种礼盒的单价 . 答案：设 A 种礼盒单价为 2x 元， B 种礼盒单价为 3x 元，依据题意得： 2x+3x=200 解得： x=40，则 2

39、x=80， 3x=120，答： A 种礼盒单价为 80 元， B 种礼盒单价为 120 元 . (2)该店主购进这两种礼盒恰好用去 9600 元，且购进 A 种礼盒最多 36 个， B 种礼盒的数量不超过 A 种礼盒数量的 2 倍，共有几种进货方案？ 解析：假设购买 A 种礼盒 a 盒， B 种礼盒 b 盒，结合 (1)中所求两种礼盒的单价，根据两种礼盒恰好用去 9600 元，列出相应关系式，进而求得两种礼盒的数量关系，再分情况讨论几种进货方案 . 答案：设购进 A 种礼盒 a 个， B 种礼盒 b 个，依据题意可得： 8 0 1 2 0 9 6 0 0362ababa ，解得： 30 a 3

40、6， a， b 的值均为整数， a、 b 的值为： 3060ab或 3358ab或 3656ab共有三种方案 . (3)根据市场行情，销售一个 A 种 礼盒可获利 10 元，销售一个 B 种礼盒可获利 18 元 .为奉献爱心，该店主决定每售出一个 B 种礼盒，为爱心公益基金捐款 m 元，每个 A 种礼盒的利润不变，在 (2)的条件下，要使礼盒全部售出后所有方案获利相同， m 值是多少？此时店主获利多少元？ 解析： 首先 求出 店主获利，进而利用 a， b 关系 ，探讨出 符合题意的答案 . 答案： 设店主获利为 w 元，则 w=10a+(18-m)b， 由 80a+120b=9600，得： a

41、=120-32b，则 w=(3-m)b+1200， 要使 (2)中方案获利都相同， 3-m=0， m=3， 此时店主获利 1200 元 . 28. 如图，在平面直角坐标系中，已知 Rt AOB 的两直角边 OA、 OB 分别在 x 轴的负半轴和y 轴的正半轴上，且 OA、 OB 的长满足 |OA-8|+(OB-6)2=0， ABO 的平分线交 x 轴于点 C， 过点 C 作 AB 的垂线，垂足为点 D，交 y 轴于点 E. (1)求线段 AB 的长； 解析： |OA-8|+(OB-6)2=0，根据非负数的性质求得 OA和 OB 的长，然后根据勾股定理求得 AB的长 . 答案： |OA-8|+(

42、OB-6)2=0， OA=8， OB=6， 在 Rt AOB 中， 2 2 2 28 6 1 0A B O A O B . (2)求直线 CE 的解析式； 解析：证明 ACD AOB，则 OC=CD，然后根据 ACD AOB，利用相似三角形的性质对应边的比相等，求得 OC 的长，从而求得 C 的坐标，根据 CD AB，求得 AB 的解析式，进而求得 CE 的解析式 . 答案：在 OBC 和 DBC 中， O B C D B CB C B CB O C B D C， OBC DBC， OC=CD， 设 OC=x，则 AC=8-x， CD=x. ACD 和 ABO 中， CAD= BAO， ADC

43、= AOB=90， ACD AOB， AC CDAB OB，即 810 6xx ，解得： x=3. 即 OC=3，则 C 的坐标是 (-3， 0). 设 AB 的解析式是 y=kx+b，根据题意得 680bkb，解得： 346bk，则直线 AB 的解析式是 y=34x+6， 设 CD 的解析式是 y=-34x+m，则 4+m=0，则 m=-4. 则直线 CE 的解析式是 y=-34x-4. (3)若 M 是射线 BC 上的一个动点，在坐标平面内是否存在点 P，使以 A、 B、 M、 P 为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 . 解析： 根据勾股定理求出

44、M 点的坐标， 根据中点坐标公式求出 P 点的坐标 . 答案： 当 AB 为矩形的边时，如图所示矩形 AM1P1B，易知 BC 的直线方程为 y=2x+6， 设 M1(m， 2m+6)， P1(x， y)，因为 A(-8， 0)， B(0， 6)，则 AM12=(m+8)2+(2m+6)2=5m2+40m+100， BM12=m2+(2m+6-6)2=5m2， AB=10， 根据 AB2+AM12=BM12得 100+5m2+40m+100=5m2， m=-5， M1(-5， -4)， BM1中点坐标为 (-52， 1)， BM1中点同时也是 AP1中点，则有 85220 12xy ，解得 P1(3， 2) 当 AB 为矩形的对角线时，此时有 AB2=AM12+BM12，即 100=5m2+40m+100+5m2， m=-4 或 m=0(舍去 )， M2(-4， -2)， AB 中点坐标为 (-4， 3)， AB 中点同时也是 P2M2中点，则有4 4222xy 3，解得 P2(-4， 8) 综上可得，满足条件的 P 点的坐标为 P1(3， 2)或 P2(-4， 8).