1、排列、组合、二项式定理和古典概率(二)及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择(总题数：40，分数：100.00)1.图是我国古代的“杨辉三角形”，按其数字构成规律，图中第八行所有中所填数字和等于_。（分数：2.50）A.B.C.D.2.48 支足球队，等分为 8 组进行初赛，每组中的各队之间都要比赛一场，初赛中比赛的总场数为_。A288 B240 C120 D48（分数：2.50）A.B.C.D.3.A、B、c、D、E 五支篮球队相互进行循环赛，现知 A 队已赛过 4 场，B 队已赛过 3 场，C 队已赛过 2 场，D 队已赛过 1 场，则此时 E 队已赛过_。A1
2、 场 B2 场 C3 场 D4 场（分数：2.50）A.B.C.D.4.在分别写有 2，4，6，7，8，11，12，13 的八张卡片中任取两张，所取卡片上的两个数互质的概率为_。A B C D （分数：2.50）A.B.C.D.5.盒中有十张卡片，分别写有数码 1，2，3，4，5，6，7，8，9，10。若从中任取 3 张，则其中恰有一张卡片写的是质数的概率为_。A B C D （分数：2.50）A.B.C.D.6.有长为 1cm，2cm，3cm，4cm，5cm，6cm 的六根细木条，任取其中 3 根为边能构成一个三角形的概率为_。A B C D （分数：2.50）A.B.C.D.7.若从 1，
3、2，3，4，5，6，7，8，9，10 这十个数中任意取 3 个不同的数，则它们能构成公比大于 1 的等比数列的概率是_。A B C D （分数：2.50）A.B.C.D.8.甲盒中有 200 个螺杆，其中 A 型的有 160 个；乙盒中有 240 个螺母，其中 A 型的有 180 个，从甲、乙两盒中任取一个零件，能配成 A 型螺栓的概率为_。A B C D （分数：2.50）A.B.C.D.9.将 8 名乒乓球选手分为两组，每组 4 人，则甲、乙两位选手不在同一组的概率为_。A B C D （分数：2.50）A.B.C.D.10.桌上有中文书 6 本、英文书 6 本、俄文书 3 本。从中任取
4、3 本，其中恰有中文书、英文书、俄文书各1 本的概率是_。A B C D （分数：2.50）A.B.C.D.11.任取一个正整数，其平方数的末位数字是 4 的概率等于_。A0.1 B0.2 C0.3 D0.4（分数：2.50）A.B.C.D.12.将 5 个相同的球放入位于一排的 8 个格子中，每格至多放一个球，则 3 个空格相连的概率是_。-A B C D （分数：2.50）A.B.C.D.13.有两个独立的报警器，当紧急情况发生时，它们发出信号的概率分别是 0.95 和 0.92，则在紧急情况出现时，至少有一个报警器发出信号的概率是_。A0.920 B0.935C0.950 D0.996（
5、分数：2.50）A.B.C.D.14.(1+x)2+(1+x)3+(1+x)10展开式中含 x2项的系数为_。A B C D （分数：2.50）A.B.C.D.15. （分数：2.50）A.B.C.D.16.已知 （分数：2.50）A.B.C.D.17.设(3-x) 6=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6，则 a0+a2+a4+a6的值为_。A2040 B2080 C1096 D4160（分数：2.50）A.B.C.D.18.在 （分数：2.50）A.B.C.D.19.二项式 展开式中，x 7的系数是_。A B C （分数：2.50）A.B.C.D.20. （分数：
6、2.50）A.B.C.D.21. （分数：2.50）A.B.C.D.22. 展开式中 x9的系数是_。A B C D （分数：2.50）A.B.C.D.23.在(x-1)(x+1) 8的展开式中 x5的系数等于_。A-14 B14 C-28 D28（分数：2.50）A.B.C.D.24. （分数：2.50）A.B.C.D.25.二项式 （分数：2.50）A.B.C.D.26.若 （分数：2.50）A.B.C.D.27.若 （分数：2.50）A.B.C.D.28.从 12 个化学实验小组(每小组 4 人)中选 5 人，进行 5 种不同的化学实验，且每小组至多选 1 人，则不同的安排方法种数是_。
7、A BC D （分数：2.50）A.B.C.D.29.某学习小组男女生共有 8 人，现从男生中选 2 人，从女生中选 1 人，分别担任三种不同的工作，共有90 种不同的选法，则该学习小组男女生人数为_。A男 2 人，女 6 人 B男 3 人，女 5 人C男 5 人，女 3 人 D男 6 人，女 2 人（分数：2.50）A.B.C.D.30.从 4 名男生和 3 名女生中选出 4 人参加某个座谈会，若这 4 人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有_。A140 种 B120 种 C35 种 D34 种（分数：2.50）A.B.C.D.31.3 名医生和 6 名护士被分配到了 3 所学校为学生体
8、验，每校分配 1 名医生和 2 名护士，不同的分配方法共有_。A90 种 B180 种 C270 种 D540 种（分数：2.50）A.B.C.D.32.某电脑用户计划使用不超过 500 元的资金购买单价分别为 60 元，70 元的单片软件和盒装磁盘，根据需要，软件至少买 3 片，磁盘至少买 2 盒，则不同的选购方式共有_。A5 种 B6 种 C7 种 D8 种（分数：2.50）A.B.C.D.33.从正方体的 6 个面中选取 3 个面，其中有 2 个面不相邻的选法共有_。A8 种 B12 种 C16 种 D20 种（分数：2.50）A.B.C.D.34.5 本不同的书，全部分给 4 个学生，
9、每个学生至少 1 本，不同分法的种数为_。A480 种 B240 种 C120 种 D96 种（分数：2.50）A.B.C.D.35.在 10 支不同的笔中，有 8 支黑笔，2 支红笔，从中任取 3 支恰好都是黑笔的概率是_。A B C D （分数：2.50）A.B.C.D.36.在 100 件产品中有 5 件次品，从中任取 2 件检验，其中至少有 1 件次品的概率为_。A B C D （分数：2.50）A.B.C.D.37.一部 4 卷的文集，按任意次序放到书架上，则第一卷不出现在两旁的概率是_。A B C D （分数：2.50）A.B.C.D.38.甲口袋里有 6 个白球，4 个黑球，乙口
10、袋里有 3 个白球，5 个黑球。从这两个口袋里分别摸出 1 个球，它们都是白球的概率为_。A B C D （分数：2.50）A.B.C.D.39.在一段电路中并联着 3 个自动开关，只要其中有一个开关闭合，线路就能正常工作。已知在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是 0.7，则在这段时间内线路能正常工作的概率为_。A0.973 B0.982 C0.978 D0.985（分数：2.50）A.B.C.D.40.某气象站天气预报的准确率为 80%，则 5 次预报中至少有 4 次准确的概率约为_。A0.70 B0.71 C0.74 D0.78（分数：2.50）A.B.C.D.排列、组合、二项式定理和古
11、典概率(二)答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择(总题数：40，分数：100.00)1.图是我国古代的“杨辉三角形”，按其数字构成规律，图中第八行所有中所填数字和等于_。（分数：2.50）A.B. C.D.解析：解析 由二项式系数和公式 知，杨辉三角第 8 行的数字和等于 n=7 时的二项式系数和，故结果为 27=128，选择 B 选项。2.48 支足球队，等分为 8 组进行初赛，每组中的各队之间都要比赛一场，初赛中比赛的总场数为_。A288 B240 C120 D48（分数：2.50）A.B.C. D.解析：解析 48 支足球队，等分为 8 组，则每组 6 支足球
12、队。每组内部的比赛场次可用下述两种方法计算，一是先拿出 1 支球队，剩下的 5 支球队要与它比赛，共有 5 场；再选出 1 支，剩下的 4 支球队要与它比赛，共有 4 场，依次类推，总共场数为 5+4+3+2+1=15；二是排列组合方法选择，共有组合 种，并且不考虑选择的顺序，除以排列数 ，即3.A、B、c、D、E 五支篮球队相互进行循环赛，现知 A 队已赛过 4 场，B 队已赛过 3 场，C 队已赛过 2 场，D 队已赛过 1 场，则此时 E 队已赛过_。A1 场 B2 场 C3 场 D4 场（分数：2.50）A.B. C.D.解析：解析 由于 A 队已赛 4 场，故 A 必须与其他四队都赛
13、；D 队已赛 1 场，D 队只与 A 队赛；B 队已赛 3 场，B 队与 A、C、E 分别赛；C 队已赛 2 场，C 队与 A、B 分别赛。所以 E 队已赛 2 场。4.在分别写有 2，4，6，7，8，11，12，13 的八张卡片中任取两张，所取卡片上的两个数互质的概率为_。A B C D （分数：2.50）A. B.C.D.解析：解析 题设中的 8 个数可以分成两组，即2，4，6，8，10和7，11，13。显然第一组中任意两个数均不互质，第二组中任意两个数互质且与第一组中的数互质。故而所求概率=5.盒中有十张卡片，分别写有数码 1，2，3，4，5，6，7，8，9，10。若从中任取 3 张，则
14、其中恰有一张卡片写的是质数的概率为_。A B C D （分数：2.50）A. B.C.D.解析：解析 十张卡片中的质数有 2、3、5 和 7，共计 4 张卡片。故恰有一张卡片写的是质数的概率为6.有长为 1cm，2cm，3cm，4cm，5cm，6cm 的六根细木条，任取其中 3 根为边能构成一个三角形的概率为_。A B C D （分数：2.50）A.B.C.D. 解析：解析 从 6 根不同长度的木条中任选 3 根的方法有 种，能构成三角形的组合有(2，3，4)、(2，4，5)、(2，4，6)、(2，5，6)、(3，4，5)、(3，4，6)、(4，5，6)7 种，所以任取其中 3 根为边能构成一
15、个三角形的概率为7.若从 1，2，3，4，5，6，7，8，9，10 这十个数中任意取 3 个不同的数，则它们能构成公比大于 1 的等比数列的概率是_。A B C D （分数：2.50）A. B.C.D.解析：解析 本题可用穷举法，能构成公比大于 1 的等比数列有 1，2，4；1，3，9 和 2，4，8 三组。从十个数中任取 3 个不同的数可构成的组合数为 ，故所求概率为8.甲盒中有 200 个螺杆，其中 A 型的有 160 个；乙盒中有 240 个螺母，其中 A 型的有 180 个，从甲、乙两盒中任取一个零件，能配成 A 型螺栓的概率为_。A B C D （分数：2.50）A. B.C.D.解
16、析：解析 概率计算题目。由题知，能配成 A 型螺栓意味着从甲盒和乙盒中取出的均为 A 型，所以，概率为9.将 8 名乒乓球选手分为两组，每组 4 人，则甲、乙两位选手不在同一组的概率为_。A B C D （分数：2.50）A.B. C.D.解析：解析 将 8 名乒乓球选手分成两组，每组 4 人，共有 种分法。甲、乙两位选手不在同一组，即是将剩余 6 名选手分成两组，每组 3 人，共有 种分法。则所求概率为 =10.桌上有中文书 6 本、英文书 6 本、俄文书 3 本。从中任取 3 本，其中恰有中文书、英文书、俄文书各1 本的概率是_。A B C D （分数：2.50）A.B.C. D.解析：解
17、析 从桌上所有的书(共 15 本)中任取 3 本的取法有 种，3 本中每样各取一本的取法共有种，则所求概率为 。故应选 C。取法共有 种，则所求概率为11.任取一个正整数，其平方数的末位数字是 4 的概率等于_。A0.1 B0.2 C0.3 D0.4（分数：2.50）A.B. C.D.解析：解析 显然这些数都是由数字 09 组合成的，其中平方数的末位数为 4 的只有数字 2 和 8，故其概率为12.将 5 个相同的球放入位于一排的 8 个格子中，每格至多放一个球，则 3 个空格相连的概率是_。-A B C D （分数：2.50）A.B.C. D.解析：解析 3 个空格相连的放法有 (种)，又总
18、的放法有 (种)(由于是相同的球，故不是)，故 3 个空格相连的概率为13.有两个独立的报警器，当紧急情况发生时，它们发出信号的概率分别是 0.95 和 0.92，则在紧急情况出现时，至少有一个报警器发出信号的概率是_。A0.920 B0.935C0.950 D0.996（分数：2.50）A.B.C.D. 解析：解析 设事件 A 为“其中 1 个报警器发出信号”，事件 B 为“另一个报警器发出信号”，则 P(A)=0.95，P(B)=0.92。事件 A、B 至少有一个发生的对立事件为两个均不发生，至少有一个报警器发出信号的概率为：1-1-P(A)1-P(B)=1-(1-0.95)(1-0.92
19、)=0.996。故应选 D。14.(1+x)2+(1+x)3+(1+x)10展开式中含 x2项的系数为_。A B C D （分数：2.50）A.B.C.D. 解析：解析 将和式看成等比数列的前 n 项和，有所求系数即(1+x) 11展开式中含 x3项的系数，即 。本题也可从各项的系数分析，原式含 x2项的系数是：根据组合数的性质， ，它与第 3 项相加得 ，逐项加下去，最后得15. （分数：2.50）A. B.C.D.解析：解析 设所求项是第 r+1 项，则令 9-2r=3，得 r=3，x 3项的系数是16.已知 （分数：2.50）A. B.C.D.解析：解析 ，所以 n=9。因为为了求展开式
20、各项系数的和，只需求 x=1 即可，此时，等式右边就是各项系数的和，而等式左边为 29，即17.设(3-x) 6=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6，则 a0+a2+a4+a6的值为_。A2040 B2080 C1096 D4160（分数：2.50）A.B. C.D.解析：解析 把已知等式两端的 z 分别换为 1 和-1，则得下列两式(3-1)6=a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6(3+1)6=a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6+得 26+46=2(a0+a2+a4+a6)故18.在 （分数：2.50）A.B. C.D.解析：解析 设常数项为则 2n-5
21、r=0，19.二项式 展开式中，x 7的系数是_。A B C （分数：2.50）A.B. C.D.解析：解析 设展开式中 x7项为 Tr+1，令 16-3r=7，得 r=3，即第 4 项为 x7项，其系数为20. （分数：2.50）A.B. C.D.解析：解析 按多项式乘法的规则，x 4的系数为故正确答案为 B。21. （分数：2.50）A.B.C.D. 解析：解析 ，把其中的 看成一个整体，则通项为再写出 的展开式的通项，则有令 r-3k=0，得 r=3k 且 0kr，0r10。当 k=0 时，r=0，得 ；当 k=1 时，r=3，得 ；当 k=2 时，r=6，得 ；当 k=3 时，r=9，
22、得22. 展开式中 x9的系数是_。A B C D （分数：2.50）A. B.C.D.解析：解析 由通项公式故有 18-3r=9，r=3则 x9的系数为23.在(x-1)(x+1) 8的展开式中 x5的系数等于_。A-14 B14 C-28 D28（分数：2.50）A.B. C.D.解析：解析 当取(x-1)中的 x 时，则(x+1) 8中只需取 x4的系数即可，此时的系数是 =70，当取-1时，则(x+1) 8中取 x5的系数即可。此时的系数是24. （分数：2.50）A.B.C.D. 解析：解析 设第 r+1 项为有理项，则又因为 3 和 5 是互质的两数，故要求25.二项式 （分数：2
23、.50）A.B.C.D. 解析：解析 二项式 展开式的通项为若使系数26.若 （分数：2.50）A.B.C. D.解析：解析 若展开式中存在常数项，则 ，3n-5r=0，27.若 （分数：2.50）A. B.C.D.解析：解析 令 x=1，则 a0+a1+a2+a3+a4= ；令 x=-1，则 a0-a1+a2-a3+a4= 。故(a 0+a2+a4)2=(a1+a3)2=(a0+a1+a2+a3+a4)(a0-a1+a2-a3+a4)=28.从 12 个化学实验小组(每小组 4 人)中选 5 人，进行 5 种不同的化学实验，且每小组至多选 1 人，则不同的安排方法种数是_。A BC D （分
24、数：2.50）A.B. C.D.解析：解析 应先确定要选取人的化学实验小组有 种选法，再从选取的小组中每组选取 1 人共有：，可得选取人员的方法为 种，其次，把选取的 5 人安排到 5 个不同的实验中去，有 种方法，所以总的不同方法是29.某学习小组男女生共有 8 人，现从男生中选 2 人，从女生中选 1 人，分别担任三种不同的工作，共有90 种不同的选法，则该学习小组男女生人数为_。A男 2 人，女 6 人 B男 3 人，女 5 人C男 5 人，女 3 人 D男 6 人，女 2 人（分数：2.50）A.B. C.D.解析：解析 本题应分两步：首先，要选出所用的人，现设男生共有 x 人，则女生
25、为(8-x)人，由于男生只能从男生中取，故有 种，同理，女生的取法有 种，故选人的方法种数为 ；其次把选出的学生分配出去的方法有30.从 4 名男生和 3 名女生中选出 4 人参加某个座谈会，若这 4 人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有_。A140 种 B120 种 C35 种 D34 种（分数：2.50）A.B.C.D. 解析：解析 共有三类选法：1 男 3 女，有 种；2 男 2 女，有 种；3 男 1 女，有 种；所以不同的选法种数共有31.3 名医生和 6 名护士被分配到了 3 所学校为学生体验，每校分配 1 名医生和 2 名护士，不同的分配方法共有_。A90 种 B180 种
26、 C270 种 D540 种（分数：2.50）A.B.C.D. 解析：解析 设计让 3 所学校依次挑选，先由学校甲挑选，有 种，再由学校乙挑选，有 种，余下的到学校丙只有一种，于是不同的方法数共有32.某电脑用户计划使用不超过 500 元的资金购买单价分别为 60 元，70 元的单片软件和盒装磁盘，根据需要，软件至少买 3 片，磁盘至少买 2 盒，则不同的选购方式共有_。A5 种 B6 种 C7 种 D8 种（分数：2.50）A.B.C. D.解析：解析 解法 1：先买软件 3 片，磁盘 2 盒，共需 320 元，还有 180 元可用，按不再买磁盘、再买一盒磁盘、再买两盒磁盘三类，即可知正确答
27、案为 C。解法 2：360+2 x 70；460+270；560+270；660+270；360+370；460+370；360+470，共 7 种不同的选购方法，故正确答案为 C。33.从正方体的 6 个面中选取 3 个面，其中有 2 个面不相邻的选法共有_。A8 种 B12 种 C16 种 D20 种（分数：2.50）A.B. C.D.解析：解析 记正方体的 6 个面为上、下、左、右、前、后，那么，从中取 3 个面有两个不相邻者，可分为 3 类：第一类：选取的 3 个面不含前、后面，有 4 种不同取法；第二类：选取的 3 个面不含左、右面，也有 4 种不同取法；第三类：选取的 3 个面不含
28、上、下面，同样有 4 种不同取法。故应用加法原理，得不同取法数为 N=4+4+4=12。34.5 本不同的书，全部分给 4 个学生，每个学生至少 1 本，不同分法的种数为_。A480 种 B240 种 C120 种 D96 种（分数：2.50）A.B. C.D.解析：解析 一个学生 2 本，其他 3 个人每人 1 本，5 本书取 2 本捆在一起作为 1 本，有 种方法，然后将这捆在一起的书连同其他 3 本共 4 个元素分给 4 个学生，有 种分法，根据分步计数原理共有35.在 10 支不同的笔中，有 8 支黑笔，2 支红笔，从中任取 3 支恰好都是黑笔的概率是_。A B C D （分数：2.5
29、0）A.B.C.D. 解析：解析 从 10 支不同的笔中，任取 3 支，可能出现的不同结果共有 种，且这些结果出现的可能性相等。其中 3 支恰好都是黑笔的结果有 种，记“任取 3 支恰好都是黑笔”为事件 A，则事件 A的概率为36.在 100 件产品中有 5 件次品，从中任取 2 件检验，其中至少有 1 件次品的概率为_。A B C D （分数：2.50）A.B. C.D.解析：解析 解法 1：设“任取 2 件全是次品”为事件 A1，“任取 2 件有 1 件次品”为事件 A2，因为事件“任取 2 件至少有 1 次次品”为事件 A1+A2，且 A1和 A2是互斥事件，所以故应选 B。解法 2：设
30、“任取 2 件全是正品”为事件 A，则“任取 2 件至少有 1 件次品”为事件 ，因为 所以 37.一部 4 卷的文集，按任意次序放到书架上，则第一卷不出现在两旁的概率是_。A B C D （分数：2.50）A.B.C.D. 解析：解析 4 卷按任意次序放到书架上共有 种放法，即有 24 个基本事件，且它们为等可能事件。第一卷不在两旁的放法有 种，即事件“第一卷不在两旁”包含了 12 个基本事件，所以该事件的概率为38.甲口袋里有 6 个白球，4 个黑球，乙口袋里有 3 个白球，5 个黑球。从这两个口袋里分别摸出 1 个球，它们都是白球的概率为_。A B C D （分数：2.50）A.B.C.
31、 D.解析：解析 设“从甲口袋里摸出 1 个白球”为事件 A，“从乙口袋里摸出 1 个白球”为事件 B。显然这两个事件是相互独立事件，而“从这两个口袋里分别摸出 1 个球，它们都是白球”恰是事件 A 与事件 B 同时发生的事件，所以39.在一段电路中并联着 3 个自动开关，只要其中有一个开关闭合，线路就能正常工作。已知在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是 0.7，则在这段时间内线路能正常工作的概率为_。A0.973 B0.982 C0.978 D0.985（分数：2.50）A. B.C.D.解析：解析 设事件 A，B，C 分别为汶 3 个开关在这段时间内能够闭合。则官们的对立事件 应分别为这
32、 3 个开关在这段时间内不能够闭合，其中 为相互独立事件，所以在这段时间内 3 个开关均不能够闭合的概率是=1-P(A)1-P(B)1-P(C)=(1-0.7)(1-0.7)(1-0.7)=0.027在这段时间内线路能正常工作意味着：在这段时间内 3 个开关至少有 1 个开关闭合，此事件为在这段时间内 3 个开关均不能够闭合的对立事件，所以所求概率为40.某气象站天气预报的准确率为 80%，则 5 次预报中至少有 4 次准确的概率约为_。A0.70 B0.71 C0.74 D0.78（分数：2.50）A.B.C. D.解析：解析 5 次预报即为 5 次独立试验，其中准确预报出现 4 次的概率为P5(4)= 0.84(1-0.8)5-4=50.840.20.415 次预报都准确的概率为P5(5)=
