1、考研数学一-123 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.若对一切 x(0，+)，函数 f(x)的一、二阶导数均存在，且有 f“(x)=0则对任意正常数 a，必有_（分数：4.00）A.B.C.D.2.在曲线 z=t，y=-t 2，z=t 3的所有切线中，与平面 x+2y+z=4 平行的切线_（分数：4.00）A.只有 1 条B.只有 2 条C.至少有 3 条D.不存在3.设函数 f(x)连续，则下列函数中，必为偶函数的是_（分数：4.00）A.B.C.D.4.设函数 f(x)=x2，0x1，而 S(x)= -x+，其中：b n=
2、f(x)sinndx，n=1，2，3，则 等于_（分数：4.00）A.B.C.D.5.设 1， 2是 n 阶矩阵 A 的特征值， 1， 2分别是 A 的属于 1， 2的特征向量，则_（分数：4.00）A. 1= 2时， 1与 2必成比例B. 1= 2时， 1与 2必不成比例C. 1 2时， 1与 2必成比例D. 1 2时， 1与 2必不成比例6.设 y 是由方程 sintdt=0 所确定的 x 的函数，则 _（分数：4.00）A.B.C.D.7.如果向量 b 可以由向量组 1， 2， s线性表示，则_（分数：4.00）A.存在一组不全为零的数是 k1，k 2，k s，使 b=k1 1+k2 2
3、+ks s成立B.存在一组全为零的数 k1，k 2，k s，使 b=k1 1+k2 2+ks s成立C.存在一组数 k1，k 2，k s，使 b=k1 1+k2 2+ks s成立D.对 b 的线性表达式唯一8.设 f(x)=2x4+x3|x|，则使函数 f(n)(0)存在的最高阶导数的阶数 n 是_（分数：4.00）A.1B.2C.3D.0二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.通过直线 （分数：4.00）填空项 1:_10.设幂级数 的收敛半径为 2，则级数 （分数：4.00）填空项 1:_11.已知实二次型 f(x1，x 2，x 3)=a +4x1x2+4x1x3+4x2x3，经正交
4、变换 x=Py 可化成标准形 f= （分数：4.00）填空项 1:_12.X，Y 相互独立，同服从(0，2)，即在(0，2)上的均匀分布Z=min(X，Y)，则 P(0Z1)=_（分数：4.00）填空项 1:_13.设 F(x)= （分数：4.00）填空项 1:_14.设 X1，X 2，X n是相互独立的随机变量，且 Xi(i=1，2，n)服从于参数为 的泊松分布，则（分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设函数 f(x)连续，且关于 x=T 对称，aTb证明：（分数：9.00）_16.设函数 f(x)在0，1上连续，并设（分数：9.00）_17.设 A
5、 为 n 阶方阵，A *为 A 的伴随矩阵，且 A110证明：方程组 Ax=b(b0)有无穷多解的充要条件中b 为 A*x=0 的解（分数：11.00）_18.设 y(x)0，y(0)=1，y(0)=1，又曲线 y=y(x)是单调的，凹凸性不变，且其上任意点处的切线及 y 轴和 y=y(x)所围成的平面图形的面积等于切点处横坐标的三次方求 L 的方程（分数：11.00）_19.设 u1=1，u 2=2，当 n3 时，u n=un-2+un-1，判别 （分数：10.00）_20.已知 1=(1，0，2，3)， 2=(1，1，3，5)， 3=(1，1，a+2，1)， 4=(1，2，4，a+8)，及
6、=(1，1，b+3，5)(1) a，b 为何值时， 不能表示成 1， 2， 3， 4的线性组合?(2) a，b 为何值时， 有 1， 2， 3， 4的唯一的线性表示式?并写出该表示式（分数：11.00）_21.设其中 aia j （分数：11.00）_22.设二维随机变量(X，Y)的分布密度为（分数：11.00）_23.设总体 X 在区间a，b上均匀分布，求：(1)来自 X 的简单随机样本(X 1，X 2，X n)的密度f(x1，x 2，x n)；(2)Y=maxX 1，X 2，X n的密度 fY(x)；Z=minX 1，X 2，X n的密度 fZ(x)（分数：11.00）_考研数学一-123
7、 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.若对一切 x(0，+)，函数 f(x)的一、二阶导数均存在，且有 f“(x)=0则对任意正常数 a，必有_（分数：4.00）A.B. C.D.解析：考点提示 求函数的极限解题分析*因*故*即*2.在曲线 z=t，y=-t 2，z=t 3的所有切线中，与平面 x+2y+z=4 平行的切线_（分数：4.00）A.只有 1 条B.只有 2 条 C.至少有 3 条D.不存在解析：考点提示 曲线的法向量与切向量解题分析 求曲线上的点，使该点处的切向量 与平面 x+2y+z=4 的法向量 n=1，2，1垂直
8、曲线在*点处的切向量=x(t)，y(t)，z(t)=1，-2t，3t 2n*n=0，即1-4t+3t2=0解得 f=1，t=*(对应于曲线上的点均不在给定的平面上)因此，只有两条这种切线应选 B3.设函数 f(x)连续，则下列函数中，必为偶函数的是_（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：考点提示 关于函数奇偶性的问题解题分析 奇函数的原函数必为偶函数对任一函数 f(x)，f(t)+f(-t)是偶函数，f(t)-f(-t)为奇函数由此即可得到正确的结论设*则*即 F(x)是偶函数D 是正确的4.设函数 f(x)=x2，0x1，而 S(x)= -x+，其中：b n= f(x)sinndx，n=
9、1，2，3，则 等于_（分数：4.00）A.B. C.D.解析：考点提示 级数的和函数解题分析 S(x)是函数 f(x)先作奇延拓再作周期为 2 的周期延拓后的函数的傅氏级数的和由于 S(x)是奇函数，于是：*当 x=*时，f(x)连续，由傅氏级数的收敛性定理可知*因此*应选 B5.设 1， 2是 n 阶矩阵 A 的特征值， 1， 2分别是 A 的属于 1， 2的特征向量，则_（分数：4.00）A. 1= 2时， 1与 2必成比例B. 1= 2时， 1与 2必不成比例C. 1 2时， 1与 2必成比例D. 1 2时， 1与 2必不成比例 解析：考点提示 矩阵的特征值与特征向量解题分析 当 1=
10、 2时，它们为 A 的重数大于或等于 2 的特征值，其对应的线性无关的特征向量的个数可能大于 1，也可能等于 1，所以不能选 A 和 B当 1 2时，由于不同特征值的特征向量必线性无关，所以 1与 2必不成比例故选 D6.设 y 是由方程 sintdt=0 所确定的 x 的函数，则 _（分数：4.00）A.B. C.D.解析：考点提示 隐函数的导数解题分析 方程两边对 x 求导得 eyy+sinx=0，故 y=-*又由*得*故 ey=1-cosx=0*ey=1+cosx，则 y=-*7.如果向量 b 可以由向量组 1， 2， s线性表示，则_（分数：4.00）A.存在一组不全为零的数是 k1，
11、k 2，k s，使 b=k1 1+k2 2+ks s成立B.存在一组全为零的数 k1，k 2，k s，使 b=k1 1+k2 2+ks s成立C.存在一组数 k1，k 2，k s，使 b=k1 1+k2 2+ks s成立 D.对 b 的线性表达式唯一解析：考点提示 向量的线性表示解题分析 由向量线性表示的定义而得 C 正确8.设 f(x)=2x4+x3|x|，则使函数 f(n)(0)存在的最高阶导数的阶数 n 是_（分数：4.00）A.1B.2C.3 D.0解析：考点提示 函数的高阶导数解题分析 逐阶求导，由定义判知四阶导数不存在由题设*得*而 f(4)(0)不存在(由定义易知)故 n=3，应
12、选 C二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.通过直线 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：z=2）解析：考点提示 求直线的平面方程解题分析 过直线的平面束方程为(2x+y)+(4x+2y+3z-6)=0，即 (2+4)x+(1+2)y+3z-6=0 假定 = 0时，由方程所确定的平面与球面相切，则点 O(0，0，0)到此平面的距离为 2，即*解得 0=*故所求平面的方程为 z=210.设幂级数 的收敛半径为 2，则级数 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：-3x1）解析：考点提示 级数的收敛区间解题分析*故当|x+1|2 时级数*(x+1) n收敛，即-3x1 时收
13、敛11.已知实二次型 f(x1，x 2，x 3)=a +4x1x2+4x1x3+4x2x3，经正交变换 x=Py 可化成标准形 f= （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：2）解析：考点提示 二次型的正交变换解题分析 因为二次型 xTAx 经正交变换化为标准形时，标准形中平方项的系数就是二次型矩阵 A 的特征值，所以 6，0，0 是 A 的特征值又因*a+a+a=6+0+0，可推出 a=2由于经正交变换化二次型为标准形时，二次型矩阵与标准形矩阵不仅合同而且还相似，亦可由*来求 a12.X，Y 相互独立，同服从(0，2)，即在(0，2)上的均匀分布Z=min(X，Y)，则 P(0Z1)=
14、_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：考点提示 随机变量的分布计算问题解题分析 实际上Pmin(x，y)1=Px1，y1=P(X1)P(Y1)，P0Z1=F Z(1)-FZ(0)=FZ(1)，FZ(1)=PZ1=1-PZ1)=1-Pmin(X，Y)1*13.设 F(x)= （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：考点提示 变限积分求导数解题分析 可直接由变限积分求导计算由变限积分求导公式，得*14.设 X1，X 2，X n是相互独立的随机变量，且 Xi(i=1，2，n)服从于参数为 的泊松分布，则（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：(略)）解析：考
15、点提示 中心极限定理解题分析 由中心极限定理(林德伯格列维定理)即可得结论三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设函数 f(x)连续，且关于 x=T 对称，aTb证明：（分数：9.00）_正确答案：(f(x)关于 x=T 对称，是指 f(x+T)=f(T-x)可知要证命题成立，只需证即需证比较左右两端的积分限，可知应作代换 x=2T-u以下作此证明：于是等式两边同加上 (x)dx，得)解析：考点提示 定积分的证明16.设函数 f(x)在0，1上连续，并设（分数：9.00）_正确答案：(因为其中 不能直接计算出来，所以必须考虑更换积分次序为此先画出积分域 D 的草图(见下图)于是故)解
16、析：考点提示 利用更换积分顺序求定积分17.设 A 为 n 阶方阵，A *为 A 的伴随矩阵，且 A110证明：方程组 Ax=b(b0)有无穷多解的充要条件中b 为 A*x=0 的解（分数：11.00）_正确答案：(必要性：因为 Ax=b 有无穷多解，所以 r(A)n，即|A|=0有 A *b=A*Ax=|A|x=0，即 b 是 A*x=0 的解充分性：因为 b 为 A*x=0 的解，即 A*x=0 有非零解，所以 r(A*)n又 A110，所以 r(A*)=1，r(A)=n-1同时有 A*A=|A|E=0，A *b=0，令 A=( 1， 2， n)， 则 1， 2， n是 A*x=0 的解因
17、为 A110，所以 2， n线性无关，所以 2， 3， n，是方程组 A*x=0 的基础解系b 可由 2， 3， n线性表示，即 b 可由 1， 2， 3， n线性表示因为 Ax=b 有解，又 r(A)=n-1，所以 Ax=6 有无穷多解)解析：考点提示 求方程组的解18.设 y(x)0，y(0)=1，y(0)=1，又曲线 y=y(x)是单调的，凹凸性不变，且其上任意点处的切线及 y 轴和 y=y(x)所围成的平面图形的面积等于切点处横坐标的三次方求 L 的方程（分数：11.00）_正确答案：(此题是基于积分给出数量关系的微分方程的求解问题，应特别注意由曲边梯形面积确定数量关系的正确性任意点
18、P 的坐标为(x，y)，如图其切线方程为曲边三角形的面积根据题设，有两边对 x 求导，得y“=6，y=3x2+c1x+c2由初始条件：y(0)=1，y(0)=1，得 c2=1，c 1=1L 的方程为y=3x2+x+1当曲边三角形的面积)解析：考点提示 曲面积分问题19.设 u1=1，u 2=2，当 n3 时，u n=un-2+un-1，判别 （分数：10.00）_正确答案：(显然 un递增，即 un-2u n-1，于是亦有因之收敛，故 )解析：考点提示 级数敛散性的判定20.已知 1=(1，0，2，3)， 2=(1，1，3，5)， 3=(1，1，a+2，1)， 4=(1，2，4，a+8)，及=
19、(1，1，b+3，5)(1) a，b 为何值时， 不能表示成 1， 2， 3， 4的线性组合?(2) a，b 为何值时， 有 1， 2， 3， 4的唯一的线性表示式?并写出该表示式（分数：11.00）_正确答案：(设 x1 1+x2 2+x3 3+x4 4=，按分量写出，则有对增广矩阵高斯消元，有所以当 a=-1，b0 时，方程组无解， 不能表示成 1， 2， 3， 4的线性组合；当 a-1 时，方程组有唯一解 故 有唯一表示式，且)解析：考点提示 矩阵的线性表示21.设其中 aia j （分数：11.00）_正确答案：(由于矩阵 A 的列向量为 s 个 n 维向量，如果 sn，则 A 的列向
20、量组必线性相关，故存在X0，使 AX=0，那么XTBX=(AX)T(AX)=0，与 B 正定相矛盾如果 s=n，则因|A|是范德蒙行列式，由)解析：考点提示 正定矩阵22.设二维随机变量(X，Y)的分布密度为（分数：11.00）_正确答案：(1) 因为所以 C=(2) 当 R=2 时，于是)解析：考点提示 随机变量的分布密度23.设总体 X 在区间a，b上均匀分布，求：(1)来自 X 的简单随机样本(X 1，X 2，X n)的密度f(x1，x 2，x n)；(2)Y=maxX 1，X 2，X n的密度 fY(x)；Z=minX 1，X 2，X n的密度 fZ(x)（分数：11.00）_正确答案：(1) X 的密度为 F(x)=由于 X1，X 2，X n独立且与 X 同分布，所以有(2) 由题设 x 在a，b上服从均匀分布，其分布函数为由 Y=maxX1，X 2，X n)及 Z=minX1，X 2，X n)分布函数的定义，可知FY(x)=F(x)n，FZ(x)=1-1-F(x)n于是有)解析：考点提示 分布函数的密度问题
