1、考研数学一-125 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 f(x)= （分数：4.00）A.B.C.D.2.下列说法错误的是_（分数：4.00）A.若(X，Y)服从二维正态分布，则 X-Y 服从一维正态分布B.若(X，Y)都服从正态分布，则 X-Y 也服从正态分布C.若(X，Y，Z)服从多维正态分布，则 X，Y，Z 相互独立与它们两两不相关等价D.若 X，Y 相互独立且都服从于正态分布，则 X+Y 也服从正态分布3.下列说法中错误的是_(设 D(X)0，D(Y)0)（分数：4.00）A.若 X，Y 相互独立，则 X，Y 不相关B
2、.若 X，Y 不相关，则 Cov(X，Y)=0C.Cov(X，Y)=0，则 X，Y 不相关D.若 X，Y 不相关，则 X，Y 相互独立4.设 1， 2， 3， 4是四维非零列向量组，A=( 1， 2， 3， 4)，A *为 A 的伴随矩阵已知方程组Ax=0 的通解为 X=k(0，1，1，0) T，则方程组 A*x=0 的基础解系为_（分数：4.00）A. 1， 2， 3B. 2， 3， 4C. 1， 3， 4D. 1+ 2， 2+ 3， 1+ 35.可微函数 f(x，y)在点(x 0，y 0)取得极小值，下列结论正确的是_（分数：4.00）A.f(x0，y)在 y=y0处的导数等于零B.f(x
3、0，y)在 y=y0处的导数大于零C.f(x0，y)在 y=y0处的导数小于零D.f(x0，y)在 y=y0处的导数不存在6.设函数 f(u)可导，y=f(x 2)当自变量 x 在 x=-1 处取得增量x=-0.1 时，相应的函数增量y 的线性主部为 0.1，则 f(1)=_（分数：4.00）A.-1B.0.1C.1D.0.57.微分方程 2yy“=(y)2的通解为_（分数：4.00）A.y=(x-c)2B.y=c1(x-1)2C.y=c1+(x-c)2D.y=c1(x-c2)28.设有齐次线性方程组 Ax=0 和 Bx=0，其中 A，B 均为 mn 矩阵，现有 4 个命题：若 Ax=0 的解
4、均是 Bx=0 的解，则秩(A)秩(B)；若秩(A)秩(B)，则 Ax=0 的解均是 Bx=0 的解；若 Ax=0 与 Bx=0 同解，则秩(A)=秩(B)；若秩(A)=秩(B)，则 Ax=0 与 Bx=0 同解以上命题中正确的是_（分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）填空项 1:_10.函数 I(x)= （分数：4.00）填空项 1:_11.设 f(x)= （分数：4.00）填空项 1:_12.由椭圆抛物面 z=x2+2y2与抛物柱面 z=2-x2所围立体的体积为_（分数：4.00）填空项 1:_13.设 n 阶可逆矩阵 A 满足
5、 2|A|=|kA|，k0，则 k=_（分数：4.00）填空项 1:_14.设随机变量 X 与 Y 的联合分布函数为（分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 z=f(2x-y，ysinx)，其中 f(u，v)具有连续的二阶偏导数，求 （分数：9.00）_16.已知平面区域 D=(x，y)|0x，0y，L 为 D 的正向边界试证：（分数：9.00）_17.设准线方程为（分数：11.00）_18.设函数 f(x)在0，+上连续，且 f(0)0，已知在0，x上的平均值等于 f(0)与 f(x)的几何平均值，求 f(x)（分数：11.00）_19.计算 （分数
6、：10.00）_20.设 1= （分数：11.00）_21.已知 4 阶方阵 A=( 1， 2， 3， 4)， 1， 2， 3， 4均为 4 维列向量，其中 2， 3， 4线性无关， 1=2 2- 3如果 = 1+ 2+ 3+ 4，求线性方程组 Ax= 的通解（分数：11.00）_22.假设一厂家生产的每台仪器，以概率 0.70 可以直接出厂，以概率 0.30 需进一步调试，经调试后以概率 0.80 可以出厂，以概率 0.20 定为不合格品不能出厂。现该厂新生产了 n(n2)台仪器(假设各台仪器的生产过程相互独立)求：(1)全部能出厂的概率 (2)其中恰有两台不能出厂的概率 (3)其中至少有两
7、台不能出厂的概率 （分数：11.00）_23.设 X1，X 2，X n(n2)为来自总体 N(0，1)的简单随机样本， 为样本均值，记 Yi=Xi-（分数：11.00）_考研数学一-125 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 f(x)= （分数：4.00）A.B. C.D.解析：考点提示 函数间断点的判定解题分析由题设得极限为*可知 x=-1，x=1 为函数的分段点，作函数图形可知 x=1 为 f(x)的间断点，x=-1 为 f(x)的连续点，因此应选 B2.下列说法错误的是_（分数：4.00）A.若(X，Y)服从二维正态分布，
8、则 X-Y 服从一维正态分布B.若(X，Y)都服从正态分布，则 X-Y 也服从正态分布C.若(X，Y，Z)服从多维正态分布，则 X，Y，Z 相互独立与它们两两不相关等价D.若 X，Y 相互独立且都服从于正态分布，则 X+Y 也服从正态分布 解析：考点提示 随机变量的正态分布解题分析 根据正态分布的性质：“多维随机变量服从于多维正态分布的充要条件是它的任一线性组合服从于一维正态分布”及“多维正态分布随机变量相互独立与不相关等价”，知 A，C 正确设XN( 1，*)YN( 2，*)，则当 X 与 Y 相互独立时X+YN( 1+ 2，*)，因此选项 D 正确3.下列说法中错误的是_(设 D(X)0，
9、D(Y)0)（分数：4.00）A.若 X，Y 相互独立，则 X，Y 不相关B.若 X，Y 不相关，则 Cov(X，Y)=0C.Cov(X，Y)=0，则 X，Y 不相关 D.若 X，Y 不相关，则 X，Y 相互独立解析：考点提示 随机变量的独立分布解题分析 X，Y 相互独立则 Cov(X，Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=E(X)E(Y)-E(X)E(Y)=0， XY=0从而 X，Y 不相关，故排除 A若 X，Y 不相关，则*Cov(X，Y)=0，故排除 B*即 X，Y 不相关，故排除 C4.设 1， 2， 3， 4是四维非零列向量组，A=( 1， 2， 3， 4)，A *为 A 的伴随矩阵已
10、知方程组Ax=0 的通解为 X=k(0，1，1，0) T，则方程组 A*x=0 的基础解系为_（分数：4.00）A. 1， 2， 3B. 2， 3， 4C. 1， 3， 4 D. 1+ 2， 2+ 3， 1+ 3解析：考点提示 方程组的基础解系解题分析 AX=0 的基础解系只含一个解向量R(A)=3，而 A 为四阶矩阵，R(A *)=1方程组 A*X=0 的基础解系含三个解向量* 2十 3=0故只要同时含有 2， 3，或含 2+ 3的向量组都线性相关，故排除 A，B，D 选项(含零向量)5.可微函数 f(x，y)在点(x 0，y 0)取得极小值，下列结论正确的是_（分数：4.00）A.f(x0
11、，y)在 y=y0处的导数等于零 B.f(x0，y)在 y=y0处的导数大于零C.f(x0，y)在 y=y0处的导数小于零D.f(x0，y)在 y=y0处的导数不存在解析：考点提示 函数的极值解题分析 由题设知 f(x，y)可微且 f(x，y)在(x 0，y 0)处取得极小值，所以 fx(x0，y 0)=fy(x0，y 0)=0对该二元可微函数固定 x=x0，则 f(x0，y)是一元可导函数且它在 y=y0处取得极小值，故 f(x0，y)在y=y0处的导数等于零因此选 A6.设函数 f(u)可导，y=f(x 2)当自变量 x 在 x=-1 处取得增量x=-0.1 时，相应的函数增量y 的线性主
12、部为 0.1，则 f(1)=_（分数：4.00）A.-1B.0.1C.1D.0.5 解析：考点提示 关于函数的导数问题解题分析 已知函数微分的函数增量的线性主部，所以本题就是已知微分值、自变量 x 的增量反过来求函数的导数值 f(1)因为 dy=f(x2)dx2=2xf(x2)dx，所以得 0.1=-2f(1)(-0.1)，即 f(1)=0.5D 是正确的7.微分方程 2yy“=(y)2的通解为_（分数：4.00）A.y=(x-c)2B.y=c1(x-1)2C.y=c1+(x-c)2 D.y=c1(x-c2)2解析：考点提示 微分方程的通解解题分析 因为此方程为二阶微分方程，故其通解中应含有
13、2 个自由常数，故可排除 A，B又 y=c1+(x-c)2不是方程的解，故排除 C8.设有齐次线性方程组 Ax=0 和 Bx=0，其中 A，B 均为 mn 矩阵，现有 4 个命题：若 Ax=0 的解均是 Bx=0 的解，则秩(A)秩(B)；若秩(A)秩(B)，则 Ax=0 的解均是 Bx=0 的解；若 Ax=0 与 Bx=0 同解，则秩(A)=秩(B)；若秩(A)=秩(B)，则 Ax=0 与 Bx=0 同解以上命题中正确的是_（分数：4.00）A.B. C.D.解析：考点提示 矩阵秩的问题解题分析 显然命题错误，因此排除 C，D对于 A 与 B 其中必有一个正确，因此命题必正确，那么与哪一个命
14、题正确呢?由命题，“若 Ax=0 的解均是 Bx=0 的解，则秩(A)秩(B)”正确，知“若 Bx=0 的解均是 Ax=0 的解，则秩(B)秩(A)”正确，可见“若 Ax=0 与 Bx=0 同解，则秩(A)=秩(B)”正确，即命题正确，所以应当选B二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：考点提示 不定积分计算10.函数 I(x)= （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：in3）解析：考点提示 求函数的最大值解题分析令*故得 I(x)的最大值为 ln311.设 f(x)= （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解
15、析：考点提示 傅里叶级数的敛散性解题分析 x= 是-，区间的端点，由收敛性定理知，该傅氏级数在 x= 处收敛于*12.由椭圆抛物面 z=x2+2y2与抛物柱面 z=2-x2所围立体的体积为_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：）解析：考点提示 二重积分解题分析 积分区域如图所示*联立*解得此曲线在 xOy 平面上的投影为*设 D：x 2+y21，则*13.设 n 阶可逆矩阵 A 满足 2|A|=|kA|，k0，则 k=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：考点提示 可逆矩阵解题分析 因为 n 阶矩阵 A 可逆，所以|A|0又|kA|=k n|A|=2|A|，故 k
16、n=2，k=*14.设随机变量 X 与 Y 的联合分布函数为（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：考点提示 随机变量的分布函数解题分析 因为 F(x)是 F(x，y)的边缘分布函数，F(x)=F(x+)=F(x，1)所以*三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 z=f(2x-y，ysinx)，其中 f(u，v)具有连续的二阶偏导数，求 （分数：9.00）_正确答案：(这是求带抽象函数记号的复合函数的二阶混合偏导数先求 ，由复合函数求导法得再求)解析：考点提示 复合函数的导数16.已知平面区域 D=(x，y)|0x，0y，L 为 D 的正向边界试证：（分数：9.00
17、）_正确答案：(用格林公式把第二类曲线积分转化为二重积分(1)由格林公式，有左边曲线积分=右边曲线积分=因为区域 D 关于 y=x 对称，所以有因此(2)由(1)的结论，有)解析：考点提示 二重积分17.设准线方程为（分数：11.00）_正确答案：(柱面的母线方程可表示为：令将其代入准线方程，有)解析：考点提示 柱面方程18.设函数 f(x)在0，+上连续，且 f(0)0，已知在0，x上的平均值等于 f(0)与 f(x)的几何平均值，求 f(x)（分数：11.00）_正确答案：(由题意得两边求导，得即令可求得 z=Cx+ 即 )解析：考点提示 函数的平均值19.计算 （分数：10.00）_正确
18、答案：(令 F(x)= f(t)dt(因为 f(u)连续，所以 F(x)存在)，)解析：考点提示 函数奇偶性的运用20.设 1= （分数：11.00）_正确答案：(设所求向量为 x= ，因为正交，所以 xT 1=0即 x1+x2+x3=0，亦即 x1=-x2-x3取 b1=有 2=b1= 3=b2- )解析：考点提示 向量正交的计算问题21.已知 4 阶方阵 A=( 1， 2， 3， 4)， 1， 2， 3， 4均为 4 维列向量，其中 2， 3， 4线性无关， 1=2 2- 3如果 = 1+ 2+ 3+ 4，求线性方程组 Ax= 的通解（分数：11.00）_正确答案：(令 x=(x1，x 2
19、，x 3，x 4)T，则由 Ax=( 1， 2， 3， 4) =，得x1 1+x2 2+x3 3+x4 4= 1+ 2+ 3+ 4，将 1=2 2- 3代入上式，整理后得(2x1+x2-3) 2+(-x1+x3) 3+(x4-1) 4=0由 2， 3， 4线性无关，知：解此方程组得 x= )解析：考点提示 线性方程组求解22.假设一厂家生产的每台仪器，以概率 0.70 可以直接出厂，以概率 0.30 需进一步调试，经调试后以概率 0.80 可以出厂，以概率 0.20 定为不合格品不能出厂。现该厂新生产了 n(n2)台仪器(假设各台仪器的生产过程相互独立)求：(1)全部能出厂的概率 (2)其中恰
20、有两台不能出厂的概率 (3)其中至少有两台不能出厂的概率 （分数：11.00）_正确答案：(对于新生产的每台仪器，设事件 A=仪器需要进一步调试，B=仪器能出厂，则 =仪器直接出厂，AB=仪器经调试后能出厂，且 B= +AB， 与 AB 互不相容由已知条件，有 P(A)=0.3，P(B|A)=0.8于是 P(AB)=P(A)P(B|A)=0.30.8=0.24，P(B)=P( +AB)=P( )+P(AB)=1-0.3+0.24=0.94设 x 为该厂家新生产的 n(n2)台仪器中能出厂的台数，则 x 作为 n 次独立重复试验中成功(仪器能出厂)的次数，服从参数为(n，0.94)的二项分布，因
21、此=Px=n=0.94 n，=Px=n-2= 0.0620.94n-2，=Pxn-2=1-Px= n-1-px=n=1- )解析：考点提示 本题是贝努利概率模型，关键是求出每次试验(生产)仪器能够出厂的概率评注 本题主要考查随机事件的表示、运算性质及二项分布的概率计算23.设 X1，X 2，X n(n2)为来自总体 N(0，1)的简单随机样本， 为样本均值，记 Yi=Xi-（分数：11.00）_正确答案：(根据简单随机样本的性质，X 1，X 2，X n相互独立，且都服从分布N(0，1)，EX i=0，DX i=1，i=1，2，n(2) 因 X1，X 2，X n相互独立，而独立的两个随机变量协方差等于零，于是有而 又因 所以有)解析：考点提示 简单随机样本的性质的计算
