1、考研数学一-134 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 X1和 X2是任意两个相互独立的连续型随机变量，它们的概率密度分别为 f1(x)和 f2(x)，分布函数分别为 F1(x)和 F2(x)，则_（分数：4.00）A.f1(x)+f2(x)必为某一随机变量的概率密度B.f2(x)f2(x)必为某一随机变量的概率密度C.F1(x)+F2(x)必为某一随机变量的分布函数D.F1(x)F2(x)必为某一随机变量的分布函数2.设 X，Y 是相互独立的随机变量，它们的分布函数分别是 FX(x)，F Y(y)，则 Z=max(X，Y)的
2、分布函数是_（分数：4.00）A.FZ(x)=maxFX(x)，F Y(y)B.FZ(z)=FX(x)FY(y)C.FZ(z)=max|FX(x)|，F Y(y)|D.FZ(z)=FX(x)3.设 A 是 n 阶实对称矩阵，P 是 n 阶可逆矩阵，已知 n 维列向量 是 A 的属于特征值 的特征向量，则矩阵(P -1AP)T属于特征值 的特征向量是_（分数：4.00）A.P-1B.PTC.PD.(P-1)T4.已知 的收敛半径 R=1，则 （分数：4.00）A.B.C.D.5.设 f(x，y)为区域 D 内的函数，则下列各种说法中不正确的是_（分数：4.00）A.若在 D 内，有B.若在 D
3、内的任何一点处沿两个不共线方向的方向导数都为零，则 f(x，y)常数C.若在 D 内，有 df(x，y)0，则 f(x，y)常数D.若在 D 内，有6.已知函数 f(x)具有任意阶导数，且 f(x)=f(x)2，则当 n 为大于 2 的正整数时，f(x)的 n 阶导数 f(n)(x)是_（分数：4.00）A.n!f(x)n+1B.nf(x)n+1C.f(x)2nD.n!f(x)2n7.已知函数 f(x)在区间(1-，1+)内具有二阶导数，f“(x)0，且 f(1)=f(1)=1，则_（分数：4.00）A.在(1-，1)和(1，1+)内均有 f(x)xB.在(1-，1)和(1，1+)内均有 f(
4、x)xC.在(1-，1)内 f(x)x 在(1，1+)内，f(x)xD.在(1-，1)内 f(x)x，在(1，1+)内 f(x)x8.设 A 为三阶方阵，A 1，A 2，A 3表示 A 中三个列向量，则|A|_（分数：4.00）A.|A3，A 2，A 1|B.|A1+A2，A 2+A3，A 3+A1|C.|-A1，A 2，A 3|D.|A1，A 1+A2，A 1+A2+A3|二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设函数 y=y(x)由方程 ex+y+cos(xy)=0 确定，则 （分数：4.00）填空项 1:_10.微分方程 yy“+y2=0 满足方程初始条件 y|x=0=1，y| x
5、0= （分数：4.00）填空项 1:_11.平面曲线 L 为下半圆周 y=- 则曲线积分 （分数：4.00）填空项 1:_12.匀质半球面 z= （分数：4.00）填空项 1:_13. （分数：4.00）填空项 1:_14.设 X1，X 2，X 10是相互独立同分布的随机变量，E(X i)=，D(X i)=8(i=1，2，10)，对于其满足的切比雪夫不等式为 （分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.求微分方程 y“+2y-3y=e-3x的通解（分数：9.00）_16.设 ：x=x(t)，y=y(t)(t)是区域 D 内的光滑曲线，即 x(t)，y(t)
6、在区域(，)有连续的导数且 x2(t)+y2(t)0，f(x，y)在 D 内有连续的偏导数。若 P0 是 f(x，y)在 上的极值点，求证：f(x，y)在点 P0沿 的切线方向的方向导数为零。（分数：9.00）_17. (x2+y2+z)dV，其中 是由曲线 （分数：11.00）_18.设 f(x)=sinx- （分数：11.00）_19.计算曲面积分 dxdy，其中 S 是 z= （分数：10.00）_20.已知 4 阶方阵 A=( 1， 2， 3， 4)， 1， 2， 3， 4均为 4 维列向量，其中 2， 3， 4线性无关， 1=2 2- 3，如果 = 1+ 2+ 3+ 4，求线性方程组
7、 Ax= 的通解（分数：11.00）_21.设 A 是 n 阶正定阵，E 是 n 阶单位阵，证明 A+E 的行列式值大于 1（分数：11.00）_22.设总体 X 的分布函数为 F(x)，(X 1，X 2，X N)是取自此总体的一个子样，若 F(X)的二阶矩存在，为子样均值，试证(X i- 与(X i- 的相关系数 = （分数：11.00）_23.设二维随机变量(X，Y)的概率密度为（分数：11.00）_考研数学一-134 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 X1和 X2是任意两个相互独立的连续型随机变量，它们的概率密度分别为
8、f1(x)和 f2(x)，分布函数分别为 F1(x)和 F2(x)，则_（分数：4.00）A.f1(x)+f2(x)必为某一随机变量的概率密度B.f2(x)f2(x)必为某一随机变量的概率密度C.F1(x)+F2(x)必为某一随机变量的分布函数D.F1(x)F2(x)必为某一随机变量的分布函数 解析：考点提示 随机变量的概率密度以及分布函数解题分析 首先可否定选项 A 与 C，因*对于选项 B，若 f1(x)=*则对任何 x(-，+)，f 1(x)f2(x)0，*f 1(x)f2(x)dx=01，因此也应否定 C综上分析，用排除法应选 D进一步分析可知，若令 X=max(X1，X 2)，而 X
9、if i(x)，i=1，2，则 X 的分布函数 F(x)恰是 F1(x)F2(x)F(x)=Pmax(X1，X 2)x=PX 1x，X 2x=PX1xPX 2x=F 1(x)F2(x)2.设 X，Y 是相互独立的随机变量，它们的分布函数分别是 FX(x)，F Y(y)，则 Z=max(X，Y)的分布函数是_（分数：4.00）A.FZ(x)=maxFX(x)，F Y(y)B.FZ(z)=FX(x)FY(y) C.FZ(z)=max|FX(x)|，F Y(y)|D.FZ(z)=FX(x)解析：考点提示 随机变量的分布函数解题分析 F Z(z)=PZz=Pmax(X，Y)z=PXz，Yz)=PXzP
10、Yz=F X(x)FY(y)3.设 A 是 n 阶实对称矩阵，P 是 n 阶可逆矩阵，已知 n 维列向量 是 A 的属于特征值 的特征向量，则矩阵(P -1AP)T属于特征值 的特征向量是_（分数：4.00）A.P-1B.PT C.PD.(P-1)T解析：考点提示 矩阵的特征僧以及特征向量解题分析 因为 是 A 的属于特征值 的特征向量，所以 A=矩阵(P -1AP)T属于特征值 的特征向量 必满足(P -1AP)T=将 =P T 代入上式得(P-1AP)T、(P T)=P TAT(P-1)TPT=PTAT(PT)-1PT=PTA=(P T)故选 B4.已知 的收敛半径 R=1，则 （分数：4
11、00）A.B.C.D. 解析：考点提示 判断级数敛散性解题分析 由于*绝对收敛。故收敛域为(-，+)任取 x0(1，1)，由题设*收敛。于是，*=0，从而存在一个 M0，使得*而*绝对收敛可知应选 D5.设 f(x，y)为区域 D 内的函数，则下列各种说法中不正确的是_（分数：4.00）A.若在 D 内，有B.若在 D 内的任何一点处沿两个不共线方向的方向导数都为零，则 f(x，y)常数C.若在 D 内，有 df(x，y)0，则 f(x，y)常数D.若在 D 内，有 解析：考点提示 线性方程组共线问题解题分析 由排除法：A，B，C 正确，故选 D显然 A 是正确的，在区域 D，df(x，y)
12、所以 C 也是正确的现在考虑 B设(x 0，y 0)D 为任意一点，它存在两个不共线的方向li=(cos i，cos i)，(i=1，2)，使得*由于 l1，l 2不共线，所以*由线性方程组理论知*所以 f(x，y)常数故 B 正确，因此选 D6.已知函数 f(x)具有任意阶导数，且 f(x)=f(x)2，则当 n 为大于 2 的正整数时，f(x)的 n 阶导数 f(n)(x)是_（分数：4.00）A.n!f(x)n+1 B.nf(x)n+1C.f(x)2nD.n!f(x)2n解析：考点提示 函数求导问题解题分析 为方便，记 y=y(x)由 y=y2，逐次求导得：y“=2yy=2y 3，y“
13、3!y 2y=3!y4，归纳可证y(n)=n!yn+1应选 A7.已知函数 f(x)在区间(1-，1+)内具有二阶导数，f“(x)0，且 f(1)=f(1)=1，则_（分数：4.00）A.在(1-，1)和(1，1+)内均有 f(x)x B.在(1-，1)和(1，1+)内均有 f(x)xC.在(1-，1)内 f(x)x 在(1，1+)内，f(x)xD.在(1-，1)内 f(x)x，在(1，1+)内 f(x)x解析：考点提示 函数单调性的判定解题分析 设 (x)=f(x)-x，则 (x)=f(x)-1，“(x)=f“(x)由 f“(x)0得 “(x)0，故 (x)单调减少则当 x1 时，(x)(
14、1)=f(1)-1=0；当 x1，时 (x)(1)=0，则 (x)在 x=1 处取得极大值当 x(1-，1)(1，1+)时，(x)(1)=f(1)-1=0，即 f(x)x8.设 A 为三阶方阵，A 1，A 2，A 3表示 A 中三个列向量，则|A|_（分数：4.00）A.|A3，A 2，A 1|B.|A1+A2，A 2+A3，A 3+A1|C.|-A1，A 2，A 3|D.|A1，A 1+A2，A 1+A2+A3| 解析：考点提示 行列式性质的应用解题分析 由行列性质，用排除法设 A=(A1，A 2，A 3)，则|A|=|A 1，A 2，A 3|由行列式性质|A 3，A 2，A 1|=-|A1
15、A 2，A 3|，故 A 不对|-A1，-A 2，-A 3|=-|A1，A 2，A 3|，故 C 不对|A1+A2，A 2+A3，A 3+A1|=2|A1，A 2，A 3|，故 B 不对所以，此题正确答案应为 D二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设函数 y=y(x)由方程 ex+y+cos(xy)=0 确定，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：考点提示 求隐函数的导数解题分析 方程两边对 x 求导得ex+y(1+y)-sin(xy)(xy+y)=0解得*10.微分方程 yy“+y2=0 满足方程初始条件 y|x=0=1，y| x=0= （分数：4.00）填
16、空项 1:_ （正确答案： ）解析：考点提示 二阶的可降阶的方程解题分析 这是二阶的可降阶的方程方法 1 令 y=P(y)(以 y 为自变量)，则 y“=*分离变量得*积分得 ln|P|+ln|y|=c，即 P=*(P=0 对应 c1=0)；由 x=0 时 y=1，P=y=*，得 c1=*于是*又由 y|x=0=1 得 c2=1，所求特解为 y=*方法 2 不难看出方程可写成(yy)=0，积分便得 yy=c1以下过程与方法 1相同11.平面曲线 L 为下半圆周 y=- 则曲线积分 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：）解析：考点提示 曲线积分解题分析 L 的方程又可写成 x2+y2=
17、1(y0)被积函数在 L 上取值，于是原积分=*1ds=(半径为 1 的半圆周长)12.匀质半球面 z= （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：考点提示 二重积分解题分析 由对称性知*=0，得*13. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：1）解析：考点提示 求矩阵的秩解题分析 因为矩阵 A 中任何两行都成比例(第 i 行与第 j 列的比为*)，所以 A 中二阶子式全为 0，又因为 ai0，b i0，知 a1b10，A 中有一阶子式非零故知 r(A)=1注意，*的这种分解可用来计算 An14.设 X1，X 2，X 10是相互独立同分布的随机变量，E(X i)=，D(X
18、 i)=8(i=1，2，10)，对于其满足的切比雪夫不等式为 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：考点提示 切比雪夫不等式解题分析 *故*三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.求微分方程 y“+2y-3y=e-3x的通解（分数：9.00）_正确答案：(这是常系数的二阶线性非齐次方程特征方程 r2+2r-3=(r-1)(r+3)=0 的两个根为 r1=1，r 2=-3；由右边 ex ，=-3=r 2为单特征根，故非齐次方程有特解 Y=xae-3x，代入方程可得 a=- 因而所求通解为 y=c1ex+c2e-3x- )解析：考点提示 常系数的二阶线性非齐次方程的通解1
19、6.设 ：x=x(t)，y=y(t)(t)是区域 D 内的光滑曲线，即 x(t)，y(t)在区域(，)有连续的导数且 x2(t)+y2(t)0，f(x，y)在 D 内有连续的偏导数。若 P0 是 f(x，y)在 上的极值点，求证：f(x，y)在点 P0沿 的切线方向的方向导数为零。（分数：9.00）_正确答案：(主要基于 sin 的方向导数计算公式其中 ， 为切向量的方向角当(x，y) 时，f(x，y)变成 t 的一元函数 fx(t)，y(t)，记 P0对应的参数为 t0，即 P0为x(t0)，y(t 0)=(x0，y 0)P0是 f(x，y)在 的极值点，即 t0是 fx(t)，y(t)的极
20、值点，于是，由一元函数极值点的必要条件得fx(t)，y(t)是二元函数 f(x，y)与一元函数 x=x(t)，y=y(t)的复合，由复合函数求导法得其中：x=x(t)，y=y(t)注意曲线 在 P0点处的切向量是x(t 0)，y(t 0)，单位切向量因此，t=t 0时，由、式得由于 0 及方向导数的计算公式得)解析：考点提示 方向导数以及方向向量17. (x2+y2+z)dV，其中 是由曲线 （分数：11.00）_正确答案：(由曲线 绕 z 轴旋转一周而成的旋转面方程是 x2+y2=2z，于是， 是由旋转抛物面 z=(x2+y2)与平面 z=4 所围成曲面与平面的交线是x2+y2=8，z=4选
21、用柱坐标变换，令 x=rcos，y=rsin，z=z，并选取先 rz 后 的积分顺序极角为 的半平面与 相截得 D()，于是：02，(r，z)D()，D()：0z4，0r即 ：02，0z4，0r因此)解析：考点提示 求旋转曲面的方程18.设 f(x)=sinx- （分数：11.00）_正确答案：(所给方程是含有未知函数及其积分的方程先写成再两边求导，得再两边求导，得 f“(x)=sinx-f(x)因为、都是恒等式，由右边可导可知左边也可导，因而 f(x)，f“(x)是存在的，就是说，f(x)是微方程 y“+y=-sinx 的解特征方程 r2+1=0 的根为 r1，r 2=i，右边的 sinx
22、可看作 ex sinx；=0，=1；i=i 是特征值，因而非齐次方程有特解 Y=xasinx+xbcosx，代入方程并比较系数，得 a=0，b= ，故通解为又注意到由、，有 f(0)=0，f(0)=1由此初始条件可确定 c1=0，c 2= ，所求函数为 f(x)=sinx+)解析：考点提示 求微分方程19.计算曲面积分 dxdy，其中 S 是 z= （分数：10.00）_正确答案：(利用奥氏公式用柱坐标系，得)解析：考点提示 三重积分20.已知 4 阶方阵 A=( 1， 2， 3， 4)， 1， 2， 3， 4均为 4 维列向量，其中 2， 3， 4线性无关， 1=2 2- 3，如果 = 1+
23、 2+ 3+ 4，求线性方程组 Ax= 的通解（分数：11.00）_正确答案：(由 2， 3， 4线性无关及 1=2 2- 3可知，向量组的秩 r( 1， 2， 3， 4)=3，即矩阵 A 的秩为 3因此 Ax=0 的基础解系中只包含一个向量那么由可知，Ax=0 的基础解系是(1，-2，1，0) T再由 = 1+ 2+ 3+ 4= 1， 2， 3， 4 知，(1，1,1，1) T是 Ax= 的一个特解故 Ax= 的通解是 k )解析：考点提示 求向量组的通解问题21.设 A 是 n 阶正定阵，E 是 n 阶单位阵，证明 A+E 的行列式值大于 1（分数：11.00）_正确答案：(证法 1 因为
24、 A 是正定阵，故存在正交矩阵 Q，使)解析：考点提示 矩阵的特征值22.设总体 X 的分布函数为 F(x)，(X 1，X 2，X N)是取自此总体的一个子样，若 F(X)的二阶矩存在，为子样均值，试证(X i- 与(X i- 的相关系数 = （分数：11.00）_正确答案：(由于二阶矩存在，不妨设 E(X)=，D(X)= 2，因而)解析：考点提示 求分布函数相关系数问题23.设二维随机变量(X，Y)的概率密度为（分数：11.00）_正确答案：(F(z)=PZz=PX+2Yz= f(x，y)dxdy当 z0 时，F(z)=0当 z0 时，F(z)= (e-x-e-z)dx=1-e-z-ze-z所以 Z=X+2Y 的分布函数 F(z)= )解析：考点提示 求分布函数
