1、考研数学一-150 及答案解析(总分：95.99，做题时间：90 分钟)一、B填空题/B(总题数：6，分数：13.00)1. （分数：1.00）填空项 1:_2. （分数：1.00）填空项 1:_3. （分数：1.00）填空项 1:_4.设 u=x2eyz3，其中 z=z(x，y)由方程 x3+y3+z3-3xyz=0所确定，则 du|x=-1，y=0| =_（分数：4.00）填空项 1:_5. （分数：4.00）填空项 1:_6.已知 a=i，b=j-2k，c=2i-2j+k，若有一单位向量 r，满足 rc，且 r与 a，b 共面，则 r=_（分数：2.00）填空项 1:_二、B选择题/B(
2、总题数：8，分数：23.00)7. （分数：4.00）A.B.C.D.8. （分数：4.00）A.B.C.D.9. （分数：1.00）A.B.C.D.10. （分数：1.00）A.B.C.D.11. （分数：1.00）A.B.C.D.12. （分数：4.00）A.B.C.D.13. （分数：4.00）A.B.C.D.14. （分数：4.00）A.B.C.D.三、B解答题/B(总题数：1，分数：60.00)设二次型 f(x1，x 2，x 3)=XTAX经过正交变换化为标准形 （分数：59.99）(1).求矩阵 A；（分数：8.57）_(2).求正交矩阵 Q，使得经过正交变换 X=QY，二次型 f
3、x1，x 2，x 3)=XTAX化为标准形（分数：8.57）_(3). （分数：8.57）_(4).设在-1，1上的连续函数 f(x)满足如下条件：对-1，1上的任意的连续偶函数 g(x)，积分（分数：8.57）_(5). （分数：8.57）_(6).设 XN(， 2)，其中 和 2均为未知参数从总体 x中抽取简单随机样本 X1，X 2，X 10,样本均值为 () 求 Y1=2X1-2X2与 Y2=3X2-3X3的相关系数 p； () 判断 是否为一个统计量； () 设 为已知，确定常数 k，使得 （分数：8.57）_(7). （分数：8.57）_考研数学一-150 答案解析(总分：95.9
4、9，做题时间：90 分钟)一、B填空题/B(总题数：6，分数：13.00)1. （分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：*2. （分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：4）解析：*3. （分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：*4.设 u=x2eyz3，其中 z=z(x，y)由方程 x3+y3+z3-3xyz=0所确定，则 du|x=-1，y=0| =_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：应填-5dx-2dy）解析：解析 由 x3+y3+z3-3xyz=0有 3x2dz+3y2dy+3z2dz-3yzdx-3xzdy-3xydz=0，再由 x=-
5、1，y=0 可得z=1将这些代入上述微分式中，得 dz=-dx-dy又因du=2xeyz3dx+x2eyz3dy+3x2eyz2dz，将 x=-1，y=0，z=1 及 dz=-dx-dy代入，得 du=2dx+dy+3dz=-5dx-2dy5. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：-1）解析：* *6.已知 a=i，b=j-2k，c=2i-2j+k，若有一单位向量 r，满足 rc，且 r与 a，b 共面，则 r=_（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 设 r=x，y，z，则由 rc 可得 rc=0，即 2x-2y+z=0， 由|r|=1 可得 x2+y2+z2
6、1， 由 r与 a，b 共面可得(ab)r=0，即 * 联立，可解得*二、B选择题/B(总题数：8，分数：23.00)7. （分数：4.00）A.B. C.D.解析：*8. （分数：4.00）A.B. C.D.解析：*9. （分数：1.00）A.B. C.D.解析：*10. （分数：1.00）A.B.C.D. 解析：*11. （分数：1.00）A.B.C.D. 解析：*12. （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：*13. （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：*14. （分数：4.00）A. B.C.D.解析：*三、B解答题/B(总题数：1，分数：60.00)设二次型 f(x1，x
7、 2，x 3)=XTAX经过正交变换化为标准形 （分数：59.99）(1).求矩阵 A；（分数：8.57）_正确答案：(显然 A的特征值为 1=2， 2=-1， 3=-1，|A|=2，伴随矩阵 A*的特征值为 1=1，=-2， 3=-2由 A*= 得 AA*=A，即 A=2，。即 =(1，1，-1) T是矩阵 A的对应于特征值 1=2的特征向量令 =(x 1，x 2，x 3)T为矩阵 A的对应于特征值 2=-1， 3=-1的特征向量，因为 A为实对称矩阵，所以 T=0，即 x1+x2-x3=0，于是 2=-1， 3=-1对应的线性无关的特征向量为*)解析：(2).求正交矩阵 Q，使得经过正交变
8、换 X=QY，二次型 f(x1，x 2，x 3)=XTAX化为标准形（分数：8.57）_正确答案：(*)解析：(3). （分数：8.57）_正确答案：(* *)解析：(4).设在-1，1上的连续函数 f(x)满足如下条件：对-1，1上的任意的连续偶函数 g(x)，积分（分数：8.57）_正确答案：(作变换 x=-t，则 * 令 h(x)=f(x)+f(-x)，则 h(x)是-1，1上的偶函数，由已知可得*从而有*所以 f(x)+f(-x)=0，f(x)是-1，1上的奇函数)解析：(5). （分数：8.57）_正确答案：(* *)解析：(6).设 XN(， 2)，其中 和 2均为未知参数从总体
9、x中抽取简单随机样本 X1，X 2，X 10,样本均值为 () 求 Y1=2X1-2X2与 Y2=3X2-3X3的相关系数 p； () 判断 是否为一个统计量； () 设 为已知，确定常数 k，使得 （分数：8.57）_正确答案：(由于 E(Y1)=E(2X1-2X2)=2E(X1)-2E(X2)=2-2=0， E(Y2)=E(3X2-3X3)=3E(X2)-3E(X3)=3-3=0， D(Y1)=D(2X1-2X2)=4D(X1)+4D(X2)=4 2+4 2=8 2， D(Y2)=D(3X2-3X3)=9D(X2)+9D(X3)=9 2+90 2=180 2， E(Y1Y2)=E(2X1-
10、2X2)(3X2-3X3)=E(6X1X2-6X1X3-6X22+6X2X3) =6E(X1)E(X2)-6E(X1)E(X3)-6(D(X2)+E(X2)2)+6E(X2)E(X3) =6 2-6 2-6 2-6 2+6 2=-6 2， Cov(Y1，Y 2)=E(Y1Y2)-E(Y1)E(Y2)=-6 2-0=-6 2， 因此 * ()因为 * 不含未知参数，因此 Y是一个统计量 ()由于 XN(， 2)，因此 X-N(0， 2)，X i-N(0， 2)， 为使 E*=，即 * 应有 *)解析：解析 根据 X1，X 2，X 10相互独立且服从同一正态分布 N(， 2)可算得 Y1，Y 2的数学期望、方差以及 E(Y1Y2)，从而得到 Cov(Y1，Y 2)和 p化简 Y的表达式，不含未知参数，可知 Y是一个统计量由E(*)= 解出 k(7). （分数：8.57）_正确答案：(*)解析：
