1、考研数学一-163 及答案解析(总分：156.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.对于函数 （分数：4.00）A.B.C.D.2.设 是实数， （分数：4.00）A.B.C.D.3.已知函数 y=f(x)对一切 x 满足 xf“(x)+3xf(x)2=1-e-x，若 f(x0)=0(x00)，则Af(x 0)是 f(x)的极大值B(x 0,f(x0)是曲线 y=f(x)的拐点Cf(x 0)是 f(x)的极小值Df(x 0)不是 f(x)的极值，(x 0，f(x 0)不是曲线 y=f(x)的拐点（分数：4.00）A.B.C.D.4.若 （分数：4.00）A.
2、B.C.D.5.若 P，Q 均为 n 阶方阵，且 P2=P，Q 2=Q又 E-(P+Q)非奇异，则Ar(P)r(Q) Br(P)r(Q)Cr(P)=r(Q) Dr(P)，r(Q)无法比较（分数：4.00）A.B.C.D.6.已知实二次型f=(a11x1+a12x2+a13x3)2+(a21x1+a22x2+a23x3)2+(a31x1+a32x2+a33x3)2正定，矩阵 A=(aij)33，则AA 是正定矩阵 BA 是可逆矩阵CA 是不可逆矩阵 D以上结论都不对（分数：4.00）A.B.C.D.7.设二维随机变量(X，Y)服从二维正态分布 N(0，-1；1，4；0)，则下列结论中不正确的是A
3、X 与 Y 相互独立(B)aX+bY 服从正态分布C D （分数：4.00）A.B.C.D.8.设 X1，X 2，X n为来自总体 XN(0， 2)的简单随机样本，则 2的无偏估计量为A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）填空项 1:_10. （分数：4.00）填空项 1:_11.如果曲线 y=ax6+bx4+cx2在拐点(1，1)处有水平切线，则 a=_，b=_（分数：4.00）填空项 1:_12.设函数 f，g 都具有一阶连续偏导数，且 ，则 =_.（分数：4.00）填空项 1:_13.设 n 阶矩阵 A 满足
4、AAT=E(E 是 n 阶单位矩阵，A T是 A 的转置)，则|A+E|=（分数：4.00）填空项 1:_14.同时掷两颗骰子，观察它们出现的点数，设 X 表示两颗骰子出现的最大点数，则 EX=_（分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：100.00)15.计算 （分数：10.00）_16.设函数 f(x)满足 f(0)=1， ，以及 （分数：10.00）_17.计算 ，其中 D：x 2+y2ax(a0)，()求 I(a)；()求 （分数：10.00）_设 a0=4，a 1=1，a n-2=n(n-1)an,n2（分数：20.00）(1).求幂级数*的和函数 S(x)；（分
5、数：10.00）_(2).求 S(x)的极值（分数：10.00）_18.已知点 A(1，0，0)与点 B(1，1，1)， 是由直线 AB 绕 Oz 轴旋转一周而成的旋转曲面介于平面 z=0与 z=1 之间部分的外侧，函数 f(u)在(-，+)内具有连续导数，计算曲面积分（分数：10.00）_19.设 A，B 为三阶相似非零实矩阵，矩阵 A=(aij)满足 aij=Aij(i，j=1，2，3)，A ij为 aij的代数余子式，矩阵 B 满足|E+2B|=|E+3B|=0，计算行列式|A *B-A*+B-E|（分数：10.00）_20.设 (X)=XAX T，(X)=XAX T是正定二次型，其中
6、A=(aij)，B=(b ij)，令 cij=aijbij，以 C=(cij)作二次型f(X)=XCXT证明：f 是正定的（分数：10.00）_21.一袋中装有 20 个大小相同的三种颜色的球，其中第一种为红球，有 16 个，第二种为黄球，有 3 个，第三种为绿球，有 1 个现在随机地从中任取一球，如果记（分数：10.00）_22.某商品一周的需求量 X 是随机变量，已知 X 的概率密度为（分数：10.00）_考研数学一-163 答案解析(总分：156.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.对于函数 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：详解 2.设 是
7、实数， （分数：4.00）A. B.C.D.解析：详解 由导数定义，有，则当 +10，即 -1 时， 存在，且 而 ，所以若 f(x)在 x=1 处可导，即3.已知函数 y=f(x)对一切 x 满足 xf“(x)+3xf(x)2=1-e-x，若 f(x0)=0(x00)，则Af(x 0)是 f(x)的极大值B(x 0,f(x0)是曲线 y=f(x)的拐点Cf(x 0)是 f(x)的极小值Df(x 0)不是 f(x)的极值，(x 0，f(x 0)不是曲线 y=f(x)的拐点（分数：4.00）A.B.C. D.解析：详解 由题设可得4.若 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：详解 应用二元函
8、数在某点极限存在、连续与可偏导之间的结论可知，(A)，(B)(C)均错，故选(D)5.若 P，Q 均为 n 阶方阵，且 P2=P，Q 2=Q又 E-(P+Q)非奇异，则Ar(P)r(Q) Br(P)r(Q)Cr(P)=r(Q) Dr(P)，r(Q)无法比较（分数：4.00）A.B.C. D.解析：详解 因为 E-(P+Q)非奇异，所以6.已知实二次型f=(a11x1+a12x2+a13x3)2+(a21x1+a22x2+a23x3)2+(a31x1+a32x2+a33x3)2正定，矩阵 A=(aij)33，则AA 是正定矩阵 BA 是可逆矩阵CA 是不可逆矩阵 D以上结论都不对（分数：4.00
9、）A.B. C.D.解析：详解 令 x=(x1，x 2，x 3)T，则 f=xTATAx=(Ax)TAx 正定7.设二维随机变量(X，Y)服从二维正态分布 N(0，-1；1，4；0)，则下列结论中不正确的是AX 与 Y 相互独立(B)aX+bY 服从正态分布C D （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：详解 由题设可知 与 Y 独立(因为(X，Y)服从二维正态分布)由二维正态分布的性质可知 aX+bY 仍服从正态分布，且 E(X-Y)=1，E(X+Y)=-1，根据正态分布的图形可知，其数学期望左右两侧取值的概率为8.设 X1，X 2，X n为来自总体 XN(0， 2)的简单随机样本，则 2
10、的无偏估计量为A B C D （分数：4.00）A.B. C.D.解析：因为 ，所以二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：e -2）解析：详解 10. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：0）解析：详解 而 ，所以11.如果曲线 y=ax6+bx4+cx2在拐点(1，1)处有水平切线，则 a=_，b=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：1，-3）解析：详解 由题意可得 y(1)=a+b+c=1，y(1)=6a+4b+2c=0，y“(1)=30a+12b+2=0解上述方程组可得 a=1，b=-3，c=312.设函数 f
11、，g 都具有一阶连续偏导数，且 ，则 =_.（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：详解 ，所以13.设 n 阶矩阵 A 满足 AAT=E(E 是 n 阶单位矩阵，A T是 A 的转置)，则|A+E|=（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：0）解析：详解 因为|A+E|=|A+AA T|=|A|E+AT|=|A|(E+A)T|=|A|E+A|，所以(1-|A|)|A+E|=0，又因为|A|0，即 1-|A|0，所以|A+E|=014.同时掷两颗骰子，观察它们出现的点数，设 X 表示两颗骰子出现的最大点数，则 EX=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析
12、：详解 X 的可能取值为 1，2，3，4，5，6则于是 三、解答题(总题数：9，分数：100.00)15.计算 （分数：10.00）_正确答案：(令 ，对于 x0，a1，有，当 x+时， ，故 lnf(x)lna对于 x0，0a1，有当 x+时，故 lnf(x)0由于 exp 是连续函数，所以)解析：16.设函数 f(x)满足 f(0)=1， ，以及 （分数：10.00）_正确答案：(由 可知 f(x)0，所以当 x0 时，有f(x)f(0)=1于是 ，所以)解析：17.计算 ，其中 D：x 2+y2ax(a0)，()求 I(a)；()求 （分数：10.00）_正确答案：(D 关于 x 轴对称
13、，于是()() )解析：设 a0=4，a 1=1，a n-2=n(n-1)an,n2（分数：20.00）(1).求幂级数*的和函数 S(x)；（分数：10.00）_正确答案：(设幂级数 的收敛区间为(-R，R)，逐项求导得，又 a n-2=n(n-1)an，n2，所以 ，即 S“(x)-S(x)=0，解之得 S(x)=C1ex+C2e-x，代入 S(0)=a0=4，S(1)=a 1=1 可解得 ，所以 )解析：(2).求 S(x)的极值（分数：10.00）_正确答案：(令 ，又 ，所以 S(x)在 处取得极小值， )解析：18.已知点 A(1，0，0)与点 B(1，1，1)， 是由直线 AB
14、绕 Oz 轴旋转一周而成的旋转曲面介于平面 z=0与 z=1 之间部分的外侧，函数 f(u)在(-，+)内具有连续导数，计算曲面积分（分数：10.00）_正确答案：(直线 AB 的方程为则直线 绕 Oz 轴旋转一周而成的旋转曲面方程为x2+y2=1+z2，即 x2+y2-z2=1记 P=xf(xy)-2x，Q=y 2-yf(xy)，R=(z+1) 2，则，于是补面 1：z=0(x 2+y21)，下侧， 2：z=1(x 2+y22)，上侧由高斯公式得由对称性知 ，利用截面法可得故 又 ，所以， )解析：19.设 A，B 为三阶相似非零实矩阵，矩阵 A=(aij)满足 aij=Aij(i，j=1，
15、2，3)，A ij为 aij的代数余子式，矩阵 B 满足|E+2B|=|E+3B|=0，计算行列式|A *B-A*+B-E|（分数：10.00）_正确答案：(|A *B-A*+B-E|=|A*(B-E)+(B-E)|=|(A*+E)(B-E)|=|A*+E|B-E|，由 aij=Aij(i，j=1，2，3)可知，A T=A*，于是或|A|=1因为 AO，不妨假定 a110，所以，故|A|=1又由题设可知，A，B 相似，所以 A，B 有相同的特征值，且|B|=|A|=1由|E+2B|=|E+3B|=0 可知，B 有特征值 ，设另外一个特征值为 3，则有 ，所以 A，B 的特征值为 于是|A *+
16、E|=|AT+E|=|A+E|=( 1+1)( 2+1)( 3+1) ，故 )解析：20.设 (X)=XAX T，(X)=XAX T是正定二次型，其中 A=(aij)，B=(b ij)，令 cij=aijbij，以 C=(cij)作二次型f(X)=XCXT证明：f 是正定的（分数：10.00）_正确答案：(对于正定矩阵 B=(bij)，存在满秩矩阵 P=(pij)，使得，于是)解析：21.一袋中装有 20 个大小相同的三种颜色的球，其中第一种为红球，有 16 个，第二种为黄球，有 3 个，第三种为绿球，有 1 个现在随机地从中任取一球，如果记（分数：10.00）_正确答案：(设事件 Ai=取到
17、第 i 种球，i=1，2，3()由题设知，A 1，A 2，A 3两两互不相容P(A1)=0.8，P(A 2)=0.15，P(A 3)=0.05于是PX1=0，X 2=0=P(A3)=0.05，PX1=1，X 2=0=P(A1)=0.8，PX1=0，X 2=1)=P(A2)=0.15，故 X1，X 2的联合概率分别如下表所示)解析：22.某商品一周的需求量 X 是随机变量，已知 X 的概率密度为（分数：10.00）_正确答案：(以 Xi(i=1，2，3)表示第 i 周的需求量，则 Xi的概率密度均为 f(x)而U2=X1+X2，U 3=U2+X3连续三周中的周最大需求量为 X(3)=maxX1，X 2，X 3()当 x0 时，f 2(x)=f3(x)=0；对于 x0，由卷积公式有于是，两周和三周的总需求量 U2和 U3的概率密度分别为()设 F(x)是随机变量 X 的分布函数，则连续三周中的周最大需求量 X(3)的分布函数为 G(x)=F(x)3于是，有f(3)(x)=G(x)=3F(x)2f(x) )解析：
