1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 163 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 曲线 的渐近线有( ) （A）1 条（B） 2 条（C） 3 条（D）4 条2 矩形闸门宽 a 米，高 h 米，垂直放在水中，上边与水面相齐，闸门压力为( )（A）g 0hahdh（B） g0aahdh（C） g0h ahdh（D）2g 0hahdh3 在曲线 x=t，y= 一 t2，z=t 3 的所有切线中，与平面 x+2y+z=4 平行的切线( )（A）只有 1 条（B）只有 2 条（C）至少 3 条（D）不存在4 若级数 n 收敛( n0)，则下列结论正确的是( )5 微
2、分方程 y一 4y=e2x+x 的特解形式为( )（A）ae 2x+bx+c（B） ax2e2x+bxc（C） axe2xbx 2cx（D）axe 2x+bxc6 下列命题成立的是( ) （A）若 f(x)在 x0 处连续，则存在 0，使得 f(x)在xx 0（B）若 f(x)在 x0 处可导，则存在 0，使得 f(x)在xx 0 内可导（C）若 f(x)在 x0 的去心邻域内可导，在 x0 处连续且 f(x)存在，则 f(x)在 x0 处可导，且 f(x0)= f(x)（D）若 f(x)在 x0 的去心邻域内可导，在 x0 处连续且 f(x)不存在，则 f(x)在 x0处不可导二、填空题7
3、8 =_9 I(x)=0x d 在区间 1，1 上的最大值为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 求 11 求 12 求 y=f(x)= 的渐近线13 设 k0，讨论常数 k 的取值，使 f(x)=xlnx+k 在其定义域内没有零点、有一个零点及两个零点14 求 15 求 11(2+sinx) dx16 讨论 f(x， y)= ，在点(0，0)处的连续性、可偏导性及可微性17 把二重积分 f(x，y)dxdy 写成极坐标下的累次积分的形式(先 r 后 )，其中 D由直线 x+y=1，x=1，y=1 围成18 设曲线积分 Lf(x)+2f(x)+exydx+f(x)-xd
4、y 与路径无关，且 f(0)=0，f (0)= ，其中 f(x)连续可导，求 f(x)19 求幂级数 的收敛域20 设 f(x)在a，+)上连续， f(a)0，而 f(x)存在且大于零，证明：f(x)在(a， +)内至少有一个零点21 证明：当 x0 时，(x 2 一 1)lnx(x 一 1)221 设 S(x)=0xcosxdt22 证明：当 nx(n+1) 时，2nS(x)2(n+1) ；23 求 24 设 f(x)在a，b上连续可导，且 f(a)=0证明： abf2(x)dx abf(x)2dx25 设 f(x，y)= ，讨论 f(x，y)在(0，0) 处的连续性、可偏导性与可微性26
5、设 ：x 2+y2+z21，证明： 27 若正项级数 收敛28 设函数 f(x，y)可微， =ecoty，求 f(x，y)考研数学一（高等数学）模拟试卷 163 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 由 为水平渐近线，显然该曲线没有斜渐近线，又因为 x1 及x2 时，函数值不趋于无穷大，故共有两条渐近线，应选(B)【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 A【试题解析】 取x，x+dx 0，h，dF=gxadx=gaxdx，则F=g0haxdx=g0hahdh，选(A)【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 B【试题解析】 在
6、t=t0 处曲线的切向量为 T=1，一 2t0，3t 02，切线与平面x+2y+z=4 平行的充分必要条件是 nT=0，即 14t0+3t02=0，解得 t0= 或t0=1，选(B)【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 C【试题解析】 令 Sn=1+2+ n，因为 =0令 Sn=(1+2)+(2+3)+( n+n1 )=2Sn 一 1+n1 ，于是 Sn 一 1，存在，选 (C)，(A)、(B)、(D) 都不对【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 D【试题解析】 y 一 4y=0 的特征方程为 2 一 4=0，特征值为 1=一 2， 2=2 y 一4y=e2x 的特解形式为 y1=axe2
7、x， y 一 4y=x 的特解形式为 y2=bx+c，故原方程特解形式为 axe2x+bx+c，应选(D)【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 C【试题解析】 设 f(x)= 显然 f(x)在 x=0 处连续，对任意的 x00，因为 不存在，所以 f(x)在 x0 处不连续，(A) 不对；同理 f(x)在 x=0 处可导，对任意的 x00，因为 f(x)在 x0 处不连续，所以 f(x)在 x0 处也不可导，(B) 不对；【知识模块】 高等数学二、填空题7 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 ln3【试题解
8、析】 【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 【正确答案】 【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 zf x(0，0)x 一 fy(0，0)y=f(x，y)一 fx(0，0)xf y(0，0)y=，因为 不存在，所以函数 f(x，y)在(0 ，0) 不可微【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 P(x，y
9、)=f (x)+2f(x)+exy， Q(x，y)=f (x)一 x， =f(x)1， =f(x)+2f(x)+ex，因为曲线积分与路径无关，所以 ，z 整理得 f(x)一 f(x)一2f(x)=ex+1，特征方程为 2 一 一 2=0，特征值为 1=一 1， 2=2，方程 f(x)一 f(x)一 2f(x)=0 的通解为 f(x)=C1ex +C2e2x；令方程 f(x)一 f(x)一 2f(x)=ex 的特解为 f1(x)=aex，代入得 ；方程 f(x)一 f(x)一 2f(x)=1 的特解为 f2(x)= ，方程 f(x)一f(x)一 2f(x)=ex+1 的特解为 f0(x)= (e
10、x+1)，方程 f(x)一 f(x)一 2f(x)=ex+1 的通解为 f(x)=C1x +C2e2x 一 (ex+1)，【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 令 =k0，所以存在 X00，当 xX0 时，有 ，特别地，f(X0)0，因为 f(x)在a， X0上连续，且 f(a)f(X0)0，所以存在 (a，X 0)，使得f()=0【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 令 (x)=(x2 一 1)lnx 一(x 一 1)2，(1)=0 故 x=1 为 (x)的极小值点，也为最小值点，而最小值为 (1)=0，所以 x0 时，(x)0，即(x 2
11、一 1)lnx(x 一 1)2【知识模块】 高等数学【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 当 nx(n+1) 时， 0ncost dt0cost dt 0(n1)costdt， 0ncostdt=n 0costdt= =2n， 0(n1) cost dt=2(n1)，则2nS(x)2(n+1) 【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 由 f(a)=0，得 f(x)一 f(a)=f(x)=axf(t)dt，由柯西不等式得 f2(x)=(axf(t)dt)2ax12dtaxf2(t)dt(xa) abf2(x)dx 积分得 abf2(x)dxab(x
12、 一 a)dx abf2(x)dx= abf2(x)dx【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 0f(x，y)xy，【知识模块】 高等数学26 【正确答案】 令 f(x，y，z)=x+2y 一 2z+5，因为 fx=10，f y=20，f z=-20，所以 f(x，y，z)在区域 的边界 x2+y2+z2=1 上取到最大值和最小值令F(x，y，z，)=x+2y 一 2z+5+(x2y 2+z21)，【知识模块】 高等数学27 【正确答案】 【知识模块】 高等数学28 【正确答案】 即 f(x，y)=(y)e x ，由 f(0，y)=siny，得 (y)=siny，所以f(x，y)=e x siny【知识模块】 高等数学
