1、考研数学一-165 及答案解析(总分：166.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.当 x时，函数 与 （分数：4.00）A.B.C.D.2.设 f(x)=g(x)，x(a，b)，已知曲线 y=g(x)的图像如图所示，则曲线 y=f(x)的极值点为（分数：4.00）A.B.C.D.3.设 y=y(x)是二阶常系数微分方程 y“+py+qy=e2x满足初始条件 y(0)=y(0)=0 的特解，则当 x0 时，函数 （分数：4.00）A.B.C.D.4.利用变量 u=x， 可以把方程 化为新方程A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.5.设 1， 2，
2、 s是 Rn上一组线性相关的向量，但 1， 2， s中任意 s-1 个向量都线性无关，若存在常数 k1，k 2，k s，使得 （分数：4.00）A.B.C.D.6.设（分数：4.00）A.B.C.D.7.设随机变量(X，Y)的联合分布律为若 X 与 Y 独立，则 ， 的值为A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.8.设总体 XN(，4)，X i(i=1，2，n)(n2)是取自总体 X 的一个样本， 是样本均值，则有A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 ，则 （分数：4.00）填空项 1:_10.函数 在点 M(1，1，1)
3、处沿曲面 2z=x2+y2在点 M 处的外法线方向 l 的方向导数 （分数：4.00）填空项 1:_11.级数 （分数：4.00）填空项 1:_12.设 L 是顺时针方向的椭圆 ，其周长为 l，则 （分数：4.00）填空项 1:_13.设 1， 2， 3是非齐次 4 元线性方程组 (a，b 为常数)的不同解，若 （分数：4.00）填空项 1:_14.根据以往数据表明，当机器调整良好时，产品的合格率为 90%，而当机器发生某一故障时，其合格率为 p，每天早上机器开动时，机器调整良好的概率为 75%，若已知整批产品的合格率为 75%，则p=_（分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，
4、分数：110.00)15.已知 （分数：10.00）_16.设 在第一象限内具有连续的二阶导数， ，且 （分数：10.00）_17.设函数 f(x)在(a，b)内可导，x 1与 x2是(a，b)内的两点，g(x)由下式定义：（分数：10.00）_18.将函数 展开成 x 的幂级数，并求 （分数：10.00）_19.计算 （分数：10.00）_（分数：20.00）(1).设 1， 2， 1， 2均是三维列向量，且 1， 2线性无关， 1， 2线性无关，证明存在非零向量 ，使得 既可由 1， 2线性表出，又可由 1， 2线性表出；（分数：10.00）_(2).当*时，求所有既可由 1， 2线性表出
5、，又可由 1， 2线性表出的向量（分数：10.00）_设二次型 （分数：20.00）(1).求 c 的值；（分数：10.00）_(2).将二次型化为标准型，并写出正交变换矩阵（分数：10.00）_20.甲、乙、丙 3 个人进行一次射击比赛，赛前发现只带了两发子弹，因此，将比赛改为 1 人做射击表演，并且抽签确定表演者.设每次射击的命中率甲为 0.9，乙为 0.5，丙为 0.2，且已知射击结果为一次中靶一次未中，问表演者为甲、乙、丙的概率各为多少?（分数：10.00）_21.设 X1，X 2，X n为总体 X 的一个样本，X 的概率密度为（分数：10.00）_考研数学一-165 答案解析(总分：
6、166.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.当 x时，函数 与 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：详解 由题意可知2.设 f(x)=g(x)，x(a，b)，已知曲线 y=g(x)的图像如图所示，则曲线 y=f(x)的极值点为（分数：4.00）A. B.C.D.解析：详解 由题设及图可知，y=f(x)的极值点可能为 c1，c 3，c 5，且 f(x)=g(x)在 c1，c 3点左右异号，因此 c1，c 3是极值点；但 f(x)=g(x)在 c5两侧同号，所以 c5不是极值点，故应选(A)3.设 y=y(x)是二阶常系数微分方程 y“+py+qy=e2
7、x满足初始条件 y(0)=y(0)=0 的特解，则当 x0 时，函数 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：详解 题设方程的特解形式有三种可能：y=ae 2x，y=axe 2x和 y=ax2e2x前两种都不满足初始条件，因此特解形式为 y=ax2e2x，这说明 =2 是特征方程 2+p+q=0 的二重根，即 p=-4，q=4将 y=ax2e2x代入方程得2ae2x=e2x，于是 ，即 ，故4.利用变量 u=x， 可以把方程 化为新方程A B C D （分数：4.00）A. B.C.D.解析：详解 因为 ，将上式代入 可得，即5.设 1， 2， s是 Rn上一组线性相关的向量，但 1， 2，
8、 s中任意 s-1 个向量都线性无关，若存在常数 k1，k 2，k s，使得 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：详解 显然，k i全为零，可使 又因为 1， 2， s线性相关，则存在一组不全为零的数 ki(i=1，2，s)，使得 下列 ki全不为零若 ki中有为零的数，不妨设 k1=0，则6.设（分数：4.00）A. B.C.D.解析：详解 根据矩阵，作一次初等行(列)变换相当于矩阵左(右)乘相应类型的初等矩阵，故选(A)7.设随机变量(X，Y)的联合分布律为若 X 与 Y 独立，则 ， 的值为A B C D （分数：4.00）A. B.C.D.解析：详解 由联合分布律可得 X 与 Y
9、 的边缘分布律：若 X 与 Y 独立，则，可解得 ，可解得8.设总体 XN(，4)，X i(i=1，2，n)(n2)是取自总体 X 的一个样本， 是样本均值，则有A B C D （分数：4.00）A. B.C.D.解析：详解 因为 ，所以 ，由于 ，所以二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 ，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：ln 2x）解析：详解 由题设可知所以10.函数 在点 M(1，1，1)处沿曲面 2z=x2+y2在点 M 处的外法线方向 l 的方向导数 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：详解 曲面在点 M 处的外法线方向 l 的方向余
10、弦为所以11.级数 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：详解 又当 时，级数 满足交错收敛级数的条件，所以原级数在 处收敛；当 时，级数 发散故原级数的收敛域为12.设 L 是顺时针方向的椭圆 ，其周长为 l，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：4l）解析：详解 由对称性，第一项 xy 的积分为零，即 而故13.设 1， 2， 3是非齐次 4 元线性方程组 (a，b 为常数)的不同解，若 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：详解 由系数矩阵 A 中三阶子式 可得 A 的秩 r(A)3，又由题设知线性方程组的解不唯一可得 r(A)4，所以 r
11、(A)=3 1+2 2-3 3=( 1- 3)+2( 2- 3)是对应齐次方程组的基础解系，所以根据方程组解的结构可得通解为14.根据以往数据表明，当机器调整良好时，产品的合格率为 90%，而当机器发生某一故障时，其合格率为 p，每天早上机器开动时，机器调整良好的概率为 75%，若已知整批产品的合格率为 75%，则p=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：0.3）解析：详解 以 B 表示事件“产品合格”，A 表示事件“机器调整良好”已知 ，由题设，三、解答题(总题数：9，分数：110.00)15.已知 （分数：10.00）_正确答案：(则 将 a=3 代入原极限，有故 a=3， )解
12、析：16.设 在第一象限内具有连续的二阶导数， ，且 （分数：10.00）_正确答案：(先求出 f(x)的表达式，然后求其在1，2上的平均值令 ，则，同理， 将 代入 中可得，则rf(r)=0，积分可得f(r)=C1lnr+C2又由条件 知 f(1)=0，f(1)=2，代入 f(r)=C1lnr+C2可得C1=2，C 2=0故 f(r)=2lnr，即 f(x)=2lnx故 f(x)在区间1，2上的平均值为)解析：17.设函数 f(x)在(a，b)内可导，x 1与 x2是(a，b)内的两点，g(x)由下式定义：（分数：10.00）_正确答案：(不妨设 x1x 2，因为 ，可见 g(x)在x 1,
13、x2上连续，由介值定理知，存在 x 1，x 2，g()=又根据拉格朗日中值定理，有，使 )解析：18.将函数 展开成 x 的幂级数，并求 （分数：10.00）_正确答案：(设 g(x)=arctanx，则 ，于是 ，而 g(0)=0，所以 ，则 ，于是 ，而 h(0)=0，所以 将，代入表达式中可得于是 ，而所以 )解析：19.计算 （分数：10.00）_正确答案：(如图所示曲面不封闭，添加 ，取下侧，则+ *封闭P，Q，R 在它们所围的空间域有一阶连续的偏导数，故可用高斯公式)解析：（分数：20.00）(1).设 1， 2， 1， 2均是三维列向量，且 1， 2线性无关， 1， 2线性无关，
14、证明存在非零向量 ，使得 既可由 1， 2线性表出，又可由 1， 2线性表出；（分数：10.00）_正确答案：(四个三维向量 1， 2， 1， 2必线性相关，故存在不全为零的常数 k1，k 2， 1， 2，使得k1 1+k2 2+ 1 1+ 2 2=0，即 k1 1+k2 2=- 1 1- 2 2其中 k1，k 2不全为零(否则，由 )解析：(2).当*时，求所有既可由 1， 2线性表出，又可由 1， 2线性表出的向量（分数：10.00）_正确答案：(由()知，=k 1 1+k2 2=- 1 1- 2 2得 k1 1+k2 2+ 1 1+ 2 2=0解方程组可得方程通解为(k 1，k 2， 1
15、， 2)=k(1，0，-5，-3) T，故所求向量为 )解析：设二次型 （分数：20.00）(1).求 c 的值；（分数：10.00）_正确答案：(二次型对应的矩阵因为方程组 Ax=0 有非零解，所以 )解析：(2).将二次型化为标准型，并写出正交变换矩阵（分数：10.00）_正确答案：( 则特征值为 0，4，9将特征值分别代入(E-A)x=0，可求得=0 对应的特征向量为： ，单位化为=4 对应的特征向量为： ，单位化为=9 对应的特征向量为： ，单位化为故二次型的标准形为 ，所作正交变换矩阵为)解析：20.甲、乙、丙 3 个人进行一次射击比赛，赛前发现只带了两发子弹，因此，将比赛改为 1 人做射击表演，并且抽签确定表演者.设每次射击的命中率甲为 0.9，乙为 0.5，丙为 0.2，且已知射击结果为一次中靶一次未中，问表演者为甲、乙、丙的概率各为多少?（分数：10.00）_正确答案：(设 A1，A 2，A 3分别表示甲、乙、丙做射击表演的事件，B 表示一次中革一次未中的事件，则由题意可得由全概率公式得由贝叶斯公式得)解析：21.设 X1，X 2，X n为总体 X 的一个样本，X 的概率密度为（分数：10.00）_正确答案：(似然函数为取对数得，则 可见 所以当 =minx 1，x n时，lnL 取最大值由 可得 于是 ， 的最大似然估计量为：)解析：
