1、考研数学一-176 及答案解析(总分：150.02，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.极限 （分数：4.00）A.B.C.D.2.在曲线 （分数：4.00）A.B.C.D.3.设 其中（分数：4.00）A.B.C.D.4.设 f(x)在 x=0的邻域内有一阶连续导数，且 f(0)0，(0)0，当 h0 时，若 af(h)+bf(2h)-f(0)是比 h高阶的无穷小量. 则_Aa=-1，b=2 Ba=1，b=-2Ca=-2，b=1 Da=2，b=-1（分数：4.00）A.B.C.D.5.矩阵 （分数：4.00）A.B.C.D.6.已知 4阶矩阵 A=( 1， 2
2、， 3， 4). 其中 4维列向量 2， 3， 4线性无关，而 1=2 2- 3. 如果 = 1+ 2+ 3+ 4，则 AX= 的通解为_AX=(1，1，1，1) T+k(1，-2，1，0) T (k为任意常数)BX=(0，3，0，1) T+k(1，1，1，1) T (k为任意常数)CX=(1，1，1，1) T+k(0，3，0，1) T(k为任意常数)DX=(1，1，1，1) T+k1(1，0，0，0，0) T+k2(0，1，0，0) T(k1，k 2为任意常数)（分数：4.00）A.B.C.D.7.设 X是离散型随机变量，且 P(X=xn)=pn(n=1，2，)则 X的数学期望 E(X)存在
3、的充分条件是_A BC 收敛 D （分数：4.00）A.B.C.D.8.设 X1，X 2，X n是取自总体 X的一个简单随机样本，则 E(X2)的矩估计量是_A BC D （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 C为椭圆： ，它的周长为 l. 则 （分数：4.00）填空项 1:_10. （分数：4.00）填空项 1:_11.u=f(x，y，z)有连续的一阶偏导数，又 y=y(x)，z=z(x)分别由下列二式确定：e xy-xy=2， . 则（分数：4.00）填空项 1:_12.极限 （分数：4.00）填空项 1:_13.R4中基： 1=(1，2，-1
4、，0) T， 2=(1，-1，1，1) T， 3=(-1，2，1，1) T， 4=(-1，-1，0，1) T到基： 1=(2，1，0，1) T， 2=(0，1，2，2) T， 3=(-2，1，1，2) T， 4=(1，3，1，2) T的过渡矩阵为_.（分数：4.00）填空项 1:_14.设 X、Y 相互独立，都在0，1上服从均匀分布，区域 D=(x，y)|0x1，x 2y1，对(X，Y)进行 5次独立观测，则至少有一次落入 D内的概率为_.（分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 f(x)在 x=0的某个邻域有连续的二阶导数，且试证：级数 （分数：9.
5、00）_16.求 u=x+y+z在 x2+y2z1 上的最大值与最小值.（分数：10.00）_17.有三个变力 作用在点 P(x，y，z)上，且 ，方向分别为 ，其中 M1(1，0，0)，M2(0，1，0)，M 3(0，0，1). 若点 P在 作用下，从原点 O(0，0，0)沿直线移动到点 M(1，1，1)，求力 做的功.（分数：10.00）_18.设 f(x)在a，b连续，且 （分数：10.00）_19.设物体 A从点(0，1)出发沿 y轴正向运动，其速度大小为常数 v，质点 B从点(1，0)与 A同时出发，其速度大小为 2v，方向始终指向 A. 试建立质点 B的运动轨迹满足的微分方程，并写
6、出初始条件.（分数：11.00）_20.已知向量 1=(1，2，3，0) T， 2=(1，1，3，-a) T， 3=(3，5，8，-2) T，=(3，3，b，-6) T.()a，b 取何值时， 不能由 1， 2， 3线性表示；()a，b 取何值时， 能由 1， 2， 3线性表示，写出表示式.（分数：11.00）_设矩阵 （分数：11.00）(1).求 y的值；（分数：5.50）_(2).求使(AP) T(AP)为对角矩阵 的可逆矩阵 P及对角矩阵 .（分数：5.50）_设随机变量 X，Y 相互独立，且 XE()，YE().（分数：11.01）(1).求 P(XY)；（分数：3.67）_(2).
7、求 =min(X，Y)，=max(X，Y)的概率密度；（分数：3.67）_(3).求 E()，E().（分数：3.67）_设总体 X服从泊松分布 P(). 其中 0 为未知参数，X i(1in)为来自总体 X的简单随机样本.（分数：11.01）(1).求 的最大似然估计量；（分数：3.67）_(2).求 P(X=0)的最大似然估计量；（分数：3.67）_(3).讨论 的最大似然估计量的无偏性与相合性.（分数：3.67）_考研数学一-176 答案解析(总分：150.02，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.极限 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：考点 通过
8、左、右极限求极限解析 当 x0 -，x0 +时， 的趋限过程的解析式与极限的不同情形须注意，从而2.在曲线 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：考点 曲线切线与平面平行问题解析 曲线对应参数 t处的点，它的切向量 ，记平面 的法向量为 ，曲线 L的切线与平面平行的充要条件是 .即 11+(-5t)1+2t22=0，亦即 4t2-5t+1=(4t-1)(t-1)=0.得3.设 其中（分数：4.00）A. B.C.D.解析：考点 变上限积分定义的函数性质解析 函数 f(x)在0，2有界，且 f(1-0)=1f(1+0)=3ln 2，即 f(x)在0，2内只有一个第一类间断点 x=1，于是 f
9、(x)在0，2是可积函数，因此，4.设 f(x)在 x=0的邻域内有一阶连续导数，且 f(0)0，(0)0，当 h0 时，若 af(h)+bf(2h)-f(0)是比 h高阶的无穷小量. 则_Aa=-1，b=2 Ba=1，b=-2Ca=-2，b=1 Da=2，b=-1（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：考点 确定高阶无穷小解析式中的参数解析 因为 f(x)在 x=0邻域内可导，特别在 x=0处必连续，因此有既然是无穷小量，必有(a+b-1)f(0)=0，但 f(0)0，得a+b-1=0 又5.矩阵 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：考点 矩阵的秩解析 今知 r(A*)=1，故 r(
10、A)=23. 则有当 a=b时，r(A)=1 与 r(A)=2矛盾，故 C，D 不正确.当 时，|A|0，r(A)=3 与 r(A)=2矛盾，故 A不正确.当 时，A 有二阶子式6.已知 4阶矩阵 A=( 1， 2， 3， 4). 其中 4维列向量 2， 3， 4线性无关，而 1=2 2- 3. 如果 = 1+ 2+ 3+ 4，则 AX= 的通解为_AX=(1，1，1，1) T+k(1，-2，1，0) T (k为任意常数)BX=(0，3，0，1) T+k(1，1，1，1) T (k为任意常数)CX=(1，1，1，1) T+k(0，3，0，1) T(k为任意常数)DX=(1，1，1，1) T+k
11、1(1，0，0，0，0) T+k2(0，1，0，0) T(k1，k 2为任意常数)（分数：4.00）A. B.C.D.解析：考点 齐次线性方程组的通解解析 由 2， 3， 4线性无关且 1=2 2- 3+0 4知 r(A)=3，且 AX=0的基础解系含 4-r(A)=4-3=1个解向量，由 ，知 =(1，-2，1，0) T是 AX=0的基础解系；又由 AX= 知7.设 X是离散型随机变量，且 P(X=xn)=pn(n=1，2，)则 X的数学期望 E(X)存在的充分条件是_A BC 收敛 D （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：考点 离散型随机变量数学期望存在的充分条件解析 E(X)存在的
12、充分必要条件是 收敛.A，C 只是 E(X)存在的必要条件，并不充分.A的反例. 设 (c的选取使 )，则 (n). 但 发散，E(X)不存在.C的反例. 设 (a的选取使 )，则 xnpn= . 条件收敛， 发散. E(X)不存在.B的反例. 设 (b的选取使 )，则 ，但 发散. E(X)不存在.D正确，事实上， 收敛时，由 知 ，于是由 收敛知 收敛，E(X)存在. 选 D.8.设 X1，X 2，X n是取自总体 X的一个简单随机样本，则 E(X2)的矩估计量是_A BC D （分数：4.00）A.B.C. D.解析：考点 E(X 2)的矩估计量解析 因为 E(X2)是总体 X的二阶原点
13、矩. 其矩估计量应为样本的二阶原点矩 ，注意， ，故. 从而 E(X2)的矩估计量为二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 C为椭圆： ，它的周长为 l. 则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：20l）解析：考点 关于弧长的曲线积分的计算解析 上下半椭圆记为 C1，C 2，则 C=C1C 2. C1与 C2关于 x=0(y轴)对称 3xy是戈的奇函数， . 又注意到在 C上有 4x2+5y2=20，从而有10. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：考点 简单无界区域上二重积分的计算解析 ，则11.u=f(x，y，z)有连续的一阶偏导数，又 y=y(x)
14、，z=z(x)分别由下列二式确定：e xy-xy=2， . 则（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：考点 复合函数求导解析 在 exy-xy=2两边对 x求导，得即 在 两边对 x求导得 . 即于是12.极限 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：考点 用定积分求极限解析 记 ，x n可视作将0，2n 等分后，取 ，连续函数 f(x)=(2x)p的一个积分和. 由于 f(x)在0，1连续，故可积，从而有13.R4中基： 1=(1，2，-1，0) T， 2=(1，-1，1，1) T， 3=(-1，2，1，1) T， 4=(-1，-1，0，1) T到基： 1=(
15、2，1，0，1) T， 2=(0，1，2，2) T， 3=(-2，1，1，2) T， 4=(1，3，1，2) T的过渡矩阵为_.（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：考点 向量空间基的过渡矩阵解析 由 e1=(1，0，0，0) T，e 2=(0，1，0，0) T，e 3=(0，0，1，0) T，e 4=(0，0，0，1) T，到 1， 2， 3， 4与 1， 2， 3， 4的过渡矩阵分别为即( 1， 2， 3， 4)=(e1，e 2，e 3，e 4)A；( 1， 2， 3， 4)= (e1，e 2，e 3，e 4)B，故( 1， 2， 3， 4)=( 1， 2， 3， 4)A
16、-1B.，即14.设 X、Y 相互独立，都在0，1上服从均匀分布，区域 D=(x，y)|0x1，x 2y1，对(X，Y)进行 5次独立观测，则至少有一次落入 D内的概率为_.（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：0.996）解析：考点 与二维随机变量相关的随机事件的概率解析 ，又 X，Y 相互独立，故(X，Y)的概率密度为于是一次观测(X，Y)落入 D内的概率为.记 为 5次观测中(X，Y)落入 D内的次数，则 . 所求概率为P(1)=1-P(1)=1-P(=0)三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 f(x)在 x=0的某个邻域有连续的二阶导数，且试证：级数 （分数：9.
17、00）_正确答案：(由 及 f(x)连续知 ；还有 f(0)= ，依洛必达法则，有取 ，则 ，由 收敛，依正项级数比较判别法的极限形式知级数 )解析：考点 证明抽象的数项级数绝对收敛16.求 u=x+y+z在 x2+y2z1 上的最大值与最小值.（分数：10.00）_正确答案：(因为 ，所以 u=x+y+z在 x2+y2z1 内没有驻点. 因此连续函数 u=z+y+z的最值只能在闭区域的边界上达到，将边界方程视为约束条件.在边界 z=x2+y2(0z1)上，令 F1(x，y，z)=x+y+z+ 1(x2+y2-z).得 .此时， .在边界 z=1(x2+y21)上，令 F2(x，y，z)=x+
18、y+z+ 2(2-1)， 10， ，z=1. 故 F2(x，y，z)在无驻点.在边界 上，此时 u=x+y+1.令 F3(x，y)=x+y+1+ 3(x2+y2-1)，令 ，x 2+y2=1. 得驻点 . 此时有比较三个驻点处的函数值可知：)解析：考点 多元函数最值应用17.有三个变力 作用在点 P(x，y，z)上，且 ，方向分别为 ，其中 M1(1，0，0)，M2(0，1，0)，M 3(0，0，1). 若点 P在 作用下，从原点 O(0，0，0)沿直线移动到点 M(1，1，1)，求力 做的功.（分数：10.00）_正确答案：( ，则 ；，则 ；，则而位移 的参数方程，由 知为 (0t1).同
19、理于是)解析：考点 变力做功18.设 f(x)在a，b连续，且 （分数：10.00）_正确答案：(令 (xa，b)，则 F(x)在a，b连续，在(a，b)可导，由 F(a)=F(b)=0，依罗尔定理，存在 x1(a，b)，使 F(x 1)=f(x1)=0.以下证存在 x2(a，b)，x 2x 1，使 f(x2)=0，反证，设不然，仅有唯一的 x1(a，b)，使 f(x1)=0. 由于f(x)在 x=x1两侧符号相异(否则 f(x)0 或 f(x)0)，xa，b，再依 ，及 f(x)连续非负，则f(x)=0与 f(x)有唯一零点矛盾，于是(x-x 1)f(x)x(a，x 1)与(x-x 1)f(
20、x)x(x 1，b)必保持同号，而(x-x1)f(x)在a，x 1及x 1，b上连续，从而然而，另一方面)解析：考点 与积分相关联的函数零点的讨论19.设物体 A从点(0，1)出发沿 y轴正向运动，其速度大小为常数 v，质点 B从点(1，0)与 A同时出发，其速度大小为 2v，方向始终指向 A. 试建立质点 B的运动轨迹满足的微分方程，并写出初始条件.（分数：11.00）_正确答案：(设在时刻 t，B 点位于(x，y)=(x(t)，y(t)，而 A点位于(0，1+vt). 又设 B点运动轨迹方程为 y=f(x).B的速度方向指向 A，表明 BA沿曲线 y=f(x)的切线方向. 由导数几何意义，
21、(负号是由于切线的倾角大于 ). 两边对 x求导得注意在时刻内，点 B的行程为 OB的弧长，即有 (负号是由于 x1，而弧长恒正). 对 x求导，得，代入式得到运动轨迹满足的方程为 . 其初始条件为 )解析：考点 对物理问题列微分方程及写初始条件20.已知向量 1=(1，2，3，0) T， 2=(1，1，3，-a) T， 3=(3，5，8，-2) T，=(3，3，b，-6) T.()a，b 取何值时， 不能由 1， 2， 3线性表示；()a，b 取何值时， 能由 1， 2， 3线性表示，写出表示式.（分数：11.00）_正确答案：(设有一组数 x1，x 2，x 3使 x1 1+x2 2+x3
22、3= (*)则()当 时， ，此时方程组(*)无解，卢不能由 1， 2， 3线性表示.()当 a=2，b 为任意实数时， . 方程组有唯一解，此时即 亦即有 =(2b-18) 1+(b-6) 2+(9-b) 3.当 b=6，a 为任意实数时， ，方程组有唯一解，此时，即 )解析：考点 一个向量由一向量组线性表示问题设矩阵 （分数：11.00）(1).求 y的值；（分数：5.50）_正确答案：(3 为特征值，则)解析：(2).求使(AP) T(AP)为对角矩阵 的可逆矩阵 P及对角矩阵 .（分数：5.50）_正确答案：(将 A分块写成 ，其中 ，则 ， ，显然 A是实对称矩阵，而且由 知(A2)
23、T=A2，即 A2仍为实对称矩阵. (AP) T(AP)=PTATAP=PTA2P，问题化为以 A2为矩阵的相应二次型用可逆矩阵 P化为标准形的问题，与 A2相应的二次型为令 ，即 ，亦即 . 记 ，令 X=PY时，X TA2X=YT(AP)T(AP)Y=YTY.其中 ，亦即有)解析：考点 二次型化标准形的相关问题设随机变量 X，Y 相互独立，且 XE()，YE().（分数：11.01）(1).求 P(XY)；（分数：3.67）_正确答案：(已知 ，由于 X，Y 相互独立，(X，Y)的概率密度为)解析：考点 二维随机变量函数的概率密度、数学期望(2).求 =min(X，Y)，=max(X，Y)
24、的概率密度；（分数：3.67）_正确答案：(=min(X，Y)，对任意实数 z，F (z)=P(z)=Pmin(X，Y)z=1-Pmin(X，Y)z=1-P(Xz，Yz)=1-P(Xz)P(Yz)故=max(X，Y)，对任意实数 z，F (z)=P(z)=P(max(X，Y)z)=P(Xz，Yz)=P(Xz)P(Yz)故 )解析：(3).求 E()，E().（分数：3.67）_正确答案：()解析：设总体 X服从泊松分布 P(). 其中 0 为未知参数，X i(1in)为来自总体 X的简单随机样本.（分数：11.01）(1).求 的最大似然估计量；（分数：3.67）_正确答案：(XP(A)，则 (0；k=0，1，2，).设 x1，x 2，x n是一组样本值，则样本的似然函数为令 ，得 .故 的最大似然估计量为 )解析：考点 离散型随机变量的参数最大似然估计(2).求 P(X=0)的最大似然估计量；（分数：3.67）_正确答案：(. 由最大似然估计的性质知，P(X=0)的最大似然估计量为 . )解析：(3).讨论 的最大似然估计量的无偏性与相合性.（分数：3.67）_正确答案：(. 故 是 的无偏估计. 又 )故 是 的相合估计. )解析：
