1、考研数学三（微积分）模拟试卷 176 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x) 0sinxsint2dt，g(x)x 3x 4，当 x0 时，f(x)是 g(x)的( )（A）等价无穷小（B）同阶但非等价无穷小（C）高阶无穷小（D）低阶无穷小2 f(x)在 x0 处可导，则f(x)在 x0 处( )（A）可导（B）不可导（C）连续但不一定可导（D）不连续3 设 f(x)在a，)上二阶可导，f(a) 0，f(a) 0 ，且 f(x)k(k0)，则 f(x)在(a，) 内的零点个数为( )（A）0 个（B） 1 个（C） 2 个（D）3 个4 设
2、D(x，y)0x ， 0y，则 sinxsinymaxx ，yd 等于( ).二、填空题5 _6 _7 若 f(x)2nx(1x) n，记 Mn _8 _9 设 ，则 a_10 设 f(x，y)在区域 D：x 2y 2t2 上连续且 f(0，0) 一 4，则_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 求 12 求极限 13 f(x) 求 f(x)的间断点并分类14 设 f(x)在( 1，1)内二阶连续可导，且 f(x)0证明：(1)对(1，1)内任一点x0，存在唯一的 (x)(0，1)，使得 f(x)f(0) xf(x)x；(2) 15 当 x0 时，证明： 16 设 f(x)是
3、在a，b上连续且严格单调的函数，在(a，b)内可导，且 f(a)abf(b)证明：存在 1(a，b)(i1，2，n)，使得 117 设 F(x)为 f(x)的原函数，且当 x0 时，f(x)F(x) ，又 F(0)1，F(x)0，求 f(x)18 设 f(x)在0，1 上连续且f(x) M证明： 01f(x)dx 19 设 f(x)在a，b上连续，且对任意的 t0，1 及任意的 x1，x 2a，b满足：ftx1(1t)x 2tf(x1)(1t)f(x 2)证明20 求 zx 2 12xy2y 2 在区域 4x2y 225 上的最值21 计算 dxdy，其中 D 为单位圆 x2y 21 所围成的
4、第一象限的部分22 设 an 01(1x) ndx，讨论级数 an 的敛散性，若收敛求其和23 求幂级数 24 设二阶常系数线性微分方程 yay byce x 有特解 ye 2x(1x)e x，确定常数 a， b，c，并求该方程的通解25 某湖泊水量为 V，每年排入湖泊中内含污染物 A 的污水量为 ，流入湖泊内不含 A 的水量为 ，流出湖的水量为 设 1999 年底湖中 A 的含量为 5m0，超过国家规定指标为了治理污染，从 2000 年初开始，限定排入湖中含 A 污水的浓度不超过 问至多经过多少年，湖中污染物 A 的含量降到 m0 以内(设湖中 A 的浓度是均匀的)?考研数学三（微积分）模拟
5、试卷 176 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 因为 ，所以正确答案为(B)【知识模块】 微积分2 【正确答案】 C【试题解析】 由 f(x)在 x0 处可导得f(x) 在 x0 处连续，但f(x) 在 x0 处不一定可导，如 f(x) x 在 x0 处可导，但f(x) x在 x0 处不可导，选(C)【知识模块】 微积分3 【正确答案】 B【试题解析】 因为 f(a) 0，且 f(x)k(k0)，所以 f(x)f(a)f(a)(xa)(xa) 2f(a) (xa) 2，其中 介于 a 与 x 之间而 (xa)2，故 f(x
6、) ，再由 f(a)0 得 f(x)在(a，)内至少有一个零点又因为 f(a)0，且 f(x)k(k0)，所以 f(x)0(xa)，即 f(x)在a，)单调增加，所以零点是唯一的，选(B)【知识模块】 微积分4 【正确答案】 B【试题解析】 根据对称性，令 D1(x，y) 0x，0yx)，sinxsiny maxx,yd2 xsinxsinyd2 0xsinxdx0xsinydy2 0xsinx(1cosx)dx2 0xsinxdx2 0xsinxcosxdx 0sinxdx 0xd(sin2x) 选(B)【知识模块】 微积分二、填空题5 【正确答案】 1【试题解析】 【知识模块】 微积分6
7、【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分7 【正确答案】 【试题解析】 由 f(x)2n(1x) n2n 2x(1x) n1 0 得 x ，当 x(0，)时，f(x)0；当 x( ，1)时，f(x) 0，则 x 为最大点，【知识模块】 微积分8 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分9 【正确答案】 ln2【试题解析】 【知识模块】 微积分10 【正确答案】 8【试题解析】 由 tln(1t)tt (t 2) t2(t0)，由积分中值定理得f(x，y)dxdyf(，)t 2，其中(，) D，于是f(，)2f(0，0)8【知识模块】 微积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程
8、或演算步骤。11 【正确答案】 【知识模块】 微积分12 【正确答案】 【知识模块】 微积分13 【正确答案】 xk(k0，1，2，)及 x1 为 f(x)的间断点f(0 0)0，因为 f(00)f(00) ，所以 x0 为跳跃间断点；由得 x2 为可去间断点；当xk(k 1，3，4，)时，由 f(x)得 xk(k1，3，4，)为第二类间断点；由 f(x)得 x1 为第二类间断点【知识模块】 微积分14 【正确答案】 (1)对任意 x(1，1)，根据微分中值定理，得 f(x)f(0)xf(x)x，其中 0(x)1因为 f(x)C(1，1)且 f(x)0，所以 f(x)在(1，1)内保号，不妨设
9、 f(x)0，则 f(x)在( 1，1)内单调增加，又由于 x0，所以 (x)是唯一的(2)由泰勒公式得 f(x)f(0)f(0)x x2，其中 介于 0 与 x 之间，而f(x)f(0)xf(x)x ，所以有令x0，再由二阶导数的连续性及非零性，得 【知识模块】 微积分15 【正确答案】 令 f(x)arctanx，F(x)ln(1x)，f(x)，显然 f(0)0，F(0)0由柯西中值定理，存在 (0,x)使得当x(0， 1)时，f(x)0；当 x( 1，)时，f(x)0，则 x 1 为(x)在(0，) 内的最大值点，最大值为 M ，所以【知识模块】 微积分16 【正确答案】 令 h ，因为
10、 f(x)在a ，b上连续且单调增加，且 f(a)abf(b)，所以 f(a) aaha(n1)hbf(b)，由端点介值定理和函数单调性，存在 ac 1 c2c n1 b，使得 f(c1)ah，f(c 2)a2h， ，f(c n1 )a(n1)h ，再由微分中值定理，得 f(c1)f(a)f( 1)(c1 a)， 1(a，c 1)，f(c 2)f(c 1)f()(c 2c 1)， 2(c1，c 1)，f(b)f(c n1 )f( n)(bc n1 )， n(cn1 ，b) ，【知识模块】 微积分17 【正确答案】 两边积分得 F2(x) dx，解得 F2(x) C，由F(0)1，F(x)0，得
11、 F(x)【知识模块】 微积分18 【正确答案】 【知识模块】 微积分19 【正确答案】 因为 abf(x)dx (ba) 01fat(1t)bdt (ba)f(a)tdtf(b) 01(1 t)dt(ba) ，【知识模块】 微积分20 【正确答案】 当 4x2y 225 时，由 得驻点为(x，y)(0， 0)当 4x2y 225 时，令 Fx 212xy2y 2(4x 2y 225)，因为z(0， 0)0， 所以目标函数的最大和最小值分别为 和50【知识模块】 微积分21 【正确答案】 【知识模块】 微积分22 【正确答案】 a n 01x2(1x) ndx 01(1t) 2tn(dt) 0
12、1(tn2 2t n1 t n)dt【知识模块】 微积分23 【正确答案】 0，得收敛半径 R，该幂级数的收敛区间为(， )，【知识模块】 微积分24 【正确答案】 将 ye 2x(1x)e x 代入原方程得 (42ab)e 2x(32ab)ex(1ab)xe xce x，则有 解得 a3，b2，c1，原方程为 y3y2ye x原方程的特征方程为 2320，特征值为11， 22，则 y3y2y0 的通解为 yC 1exC 2e2x，于是原方程的通解为yC 1exC 2e2xe 2x(1x)e x【知识模块】 微积分25 【正确答案】 设从 2000 年初开始，第 t 年湖中污染物 A 的总量为 m，则浓度为 ，任取时间元素t，tdt，排入湖中污染物 A 的含量为，流出湖的污染物 A 的含量为 ，则在此时间元素内污染物 A 的改变量为，于是 ，令 mm 0，得 t6ln3，即至多经过 7 年，湖中污染物 A 的含量不超过 m0【知识模块】 微积分
