1、考研数学二-176 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设函数 f(x)=xtanxesinx，则 f(x)是_A偶函数 B无界函数 C周期函数 D单调函数（分数：4.00）A.B.C.D.2.设对任意的 x，总有 (x)f(x)g(x)，且 ，则 （分数：4.00）A.B.C.D.3.下列各式中正确的是_A BC D （分数：4.00）A.B.C.D.4.曲线 y=x(x-1)(2-x)与 x 轴所围成的图形的面积可表示为_ABCD （分数：4.00）A.B.C.D.5.设 ， （分数：4.00）A.B.C.D.6.二元函数 （
2、分数：4.00）A.B.C.D.7.齐次方程组 （分数：4.00）A.B.C.D.8.设 A，B 皆为 n 阶矩阵，则下列结论正确的是_AAB=O 的充分必要条件是 A=O 或 B=OBABO 的充分必要条件是 AO 或 BOCAB=O 且 r(A)=n，则 B=OD若 ABO，则|A|O 或|B|O（分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.极限 （分数：4.00）填空项 1:_10.已知 xy=yx，则 y=_（分数：4.00）填空项 1:_11.设 ，且 （分数：4.00）填空项 1:_12.设 f(x)二阶连续可导，且 f(0)=1，f(2)=3，f
3、(2)=5，则 （分数：4.00）填空项 1:_13. （分数：4.00）填空项 1:_14.设向量组 1， 2， 3线性无关，且 1+a 2+4 3，2 1+ 2- 3， 2+ 3线性相关，则a=_（分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.求极限 （分数：10.00）_16.计算 （分数：10.00）_17.已知函数 f(x)在(0，+)内可导，f(x)0， ，且满足 （分数：10.00）_18.设 =(x)是抛物线 上任一点 M(x，y)(x1)的曲率半径，s=s(x)是该抛物线上介于点 A(1，1)与 M 之间的弧长，计算 的值(在直角坐标系下曲率公
4、式为 （分数：11.00）_19.计算 （分数：10.00）_20.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内二阶可导，f(a)=f(b)=0，且 f+(a)0，证明：存在 (a，b)，使得 f“(a)0（分数：11.00）_21.设 z=f(u，v，x)，u=(x，y)，v=(y)，求复合函数 z=f(x，y)，(y)，x)的偏导数 （分数：10.00）_22.设齐次线性方程组 （分数：11.00）_23.设二次型 ，经正交变换 x=Py 化成 （分数：11.00）_考研数学二-176 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设函数
5、f(x)=xtanxesinx，则 f(x)是_A偶函数 B无界函数 C周期函数 D单调函数（分数：4.00）A.B. C.D.解析：考点 函数的奇偶性解析 令 ，则2.设对任意的 x，总有 (x)f(x)g(x)，且 ，则 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：考点 函数的极限解析 本题可采取举反例的方法一一排除干扰项令 ，f(x)=x， ，则 (x)f(x)g(x)， ，但 不存在，从而可排除(A)、(B)；又令 (x)=arctan(|x|-1)，f(x)=arctan|x|，g(x)=arctan(|x|+1)，则 (x)f(x)g(x)， ， ，因此(C)也可排除综上，3.下列各
6、式中正确的是_A BC D （分数：4.00）A. B.C.D.解析：考点 分别求四个极限即可，注意它们所属的未定式极限类型解析 因为4.曲线 y=x(x-1)(2-x)与 x 轴所围成的图形的面积可表示为_ABCD （分数：4.00）A.B.C. D.解析：考点 用定积分求平面曲线的面积解析 曲线 y=x(x-1)(2-x)与 x 轴的三个交点为 x=0，x=1，x=2，当 0x1 时，y0；当 1x2 时，y0，所以围成的面积可表示为(C)的形式，故选(C)5.设 ， （分数：4.00）A. B.C.D.解析：考点 二重积分的性质解析 在区域 D 中，6.二元函数 （分数：4.00）A.B
7、.C. D.解析：考点 多元函数微分学解析 所以 不存在，所以 f(x，y)在点(0，0)处不连续，排除(A)、(B)；7.齐次方程组 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：考点 齐次线性方程组解析 由已知 AB=O 且 BO，则 Ax=0 有非零解，从而|A|=0，即8.设 A，B 皆为 n 阶矩阵，则下列结论正确的是_AAB=O 的充分必要条件是 A=O 或 B=OBABO 的充分必要条件是 AO 或 BOCAB=O 且 r(A)=n，则 B=OD若 ABO，则|A|O 或|B|O（分数：4.00）A.B.C. D.解析：考点 矩阵的性质及矩阵的秩解析 取 ，显然 AB=O，故(A)、
8、(B)都不对，取 ，显然二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.极限 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：0）解析：考点 求极限解析 因 ，且 sinx 和 cosx 均为有界函数，故10.已知 xy=yx，则 y=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：考点 隐函数的导数解析 由 xy=yx，得 ylnx=xlny，两边求导数得 ，解得11.设 ，且 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：考点 可分离变量微分方程的解法解析 由 ，得 ，再由 ，得 C=1，所以12.设 f(x)二阶连续可导，且 f(0)=1，f(2)=3，f(2)=5，则
9、（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：2）解析：考点 定积分的计算解析 13. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：1）解析：考点 本题是无穷限广义积分，用分部积分法和形式上的牛顿-莱布尼兹公式即可解析 14.设向量组 1， 2， 3线性无关，且 1+a 2+4 3，2 1+ 2- 3， 2+ 3线性相关，则a=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：5）解析：考点 向量的相美性解析 ，因为 1， 2， 3线性无关，而 1+a 2+4 3，2 1+ 2- 3， 2+ 3线性相关，所以，即三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.求极限 （分数：10.00）_正确
10、答案：(原式= ，于是原式= )解析：考点 先化为指数函数，再用洛必达法则16.计算 （分数：10.00）_正确答案：()解析：考点 被积分函数为反三角函数与幂级数的乘积，因此采用分部积分法，将反三角函数看作u也可先变量代换 ex=t，再用分部积分法17.已知函数 f(x)在(0，+)内可导，f(x)0， ，且满足 （分数：10.00）_正确答案：(本题考查由重要极限 导出微分方程，再求解微分方程，由题设，因此 ，分离变量得 ，两边积分得 ，即 ，又由已知 ，可求出 C=1，所以 )解析：考点 极限、微分方程18.设 =(x)是抛物线 上任一点 M(x，y)(x1)的曲率半径，s=s(x)是该
11、抛物线上介于点 A(1，1)与 M 之间的弧长，计算 的值(在直角坐标系下曲率公式为 （分数：11.00）_正确答案：(由题设， ，且抛物线在点 M(x，y)处的曲率半径为抛物线上 的弧长为 ，因此得到 (x)与 S(x)都是 x 的函数，从而由知 ，且 ，因此 )解析：考点 曲率、弧长公式、参数方程求导19.计算 （分数：10.00）_正确答案：(所以 )解析：考点 二重积分20.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内二阶可导，f(a)=f(b)=0，且 f+(a)0，证明：存在 (a，b)，使得 f“(a)0（分数：11.00）_正确答案：(因为 ，所以存在 0，当 0x-a 时，有
12、，从而 f(x)f(a)，于是存在 c(a，b)，使得 f(c)f(a)=0由微分中值定理，存在 1(a，c)， 2(c，b)，使得再由微分中值定理及 f(x)的二阶可导性，存在 ( 1， 2) (a，b)，使得)解析：考点 中值定理的应用21.设 z=f(u，v，x)，u=(x，y)，v=(y)，求复合函数 z=f(x，y)，(y)，x)的偏导数 （分数：10.00）_正确答案：(由复合函数求导法，得)解析：考点 多元复合函数的偏导数22.设齐次线性方程组 （分数：11.00）_正确答案：(由题设，方程组的系数矩阵为 ，则 当 ab 且 a+(n-1)b0，即 a(1-n)b 时，方程组仅有
13、零解当 a=b 时，对 A 可作初等行变换化为阶梯形，则不难求得原方程组的基础解系为 ，因此方程组的全部解是 x=k1 1+k2 2+kn-1 n-1，其中 k1，k 2，k n-1为任意常数当 a=(1-n)b 时，同样对 A 作初等行变换化为阶梯形 ，则可得此时基础解系为 )解析：考点 线性齐次方程组23.设二次型 ，经正交变换 x=Py 化成 （分数：11.00）_正确答案：(变换前后二次型的矩阵分别为 ，二次型可以写成 f=xTAx 和 f=yTBy，由于 PTAP=B，P 为正交矩阵，故 P-1AP=B，因此|E-A|=|E-B|，即 )解析：考点 经正交变换(注意不是非退化线性变换)化二次型为标准型，前后二次型所对应的矩阵必相似，从而有相同的特征多项式，由此可确定参数 ，
