1、考研数学（数学一）-试卷 176 及答案解析(总分：50.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设函数 f(x)在(-，+)内有定义，x 0 0 是函数 f(x)的极大值点，则( )（分数：2.00）A.x 0 必是函数 f(x)的驻点B.-x 0 必是函数-f(-x)的最小值点C.-x 0 必是函数-f(-x)的极小值点D.对一切 x 0 都有 f(x)f(x 0 )3.如下图，连续函数 y=f(x)在区间-3，-2、2，3上图形分别是直径为 1 的上、下半圆周，在区间-2，
2、0，0，2上的图形分别是直径为 2 的上、下半圆周，设 F(x)= 0 x f(t)dt，则下列结论正确的是( ) （分数：2.00）A.B.C.D.4.设 ，则下列命题正确的是( ) （分数：2.00）A.B.C.D.5.具有特解 y 1 =e -x ，y 2 =2xe -x ，y 3 =3e x 的三阶常系数齐次线性微分方程是( )（分数：2.00）A.y “ -y “ -y “ +y=0B.y “ +yy “ -yy “ -y=0C.y “ -6y “ +11y “ -6y=0D.y “ -2y “ -y “ +2y=06.设 A 为 mn 矩阵，齐次线性方程组 Ax=0 仅有零解的充分
3、条件是( )（分数：2.00）A.A 的列向量线性无关B.A 的列向量线性相关C.A 的行向量线性无关D.A 的行向量线性相关7.设 A 为 n 阶实矩阵，A T 为 A 的转置矩阵，则对于线性方程组()AX=0 和()A T AX= 0 必有( )（分数：2.00）A.()的解是()的解，但()的解不是()的解B.()的解是()的解，()的解也是()的解C.()的解不是()的解，()的解也不是()的解D.()的解是()的解，但()的解不是()的解8.设二维随机变量 X 和 Y 相互独立，其概率分布为 （分数：2.00）A.X=YB.PX=Y=0C.PX=Y=1/2D.PX=Y=19.设二随机
4、变量(X，Y)服从二维正态分布，则随机变量 U=X+Y 与 V=X-Y 不相关的充分必要条件为( )（分数：2.00）A.E(X)=E(Y)B.E(X 2 )-E(X) 2 =E(Y 2 )-E(Y) 2C.E(X 2 )=E(Y 2 )D.E(X 2 )+E(Y 2 ) 2 =E(Y 2 )+E(Y) 2二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10.向量场 u(x，y，z)=xy 2 i+ye z j+xln(1+z 2 )k 在点 P(1，1，0)处的散度 divu= 1（分数：2.00）填空项 1:_11.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_12.函数 f(u，v)由关系式 fxg
5、(y)，Y=x+g(y)确定，其中函数 g(y)可微，且 g(y)0，则 （分数：2.00）填空项 1:_13.交换积分次序： （分数：2.00）填空项 1:_14.设矩阵 （分数：2.00）填空项 1:_15.设随机变量 X 与 Y 相互独立，且均服从区间0,3上的均匀分布，则 PmaxX，Y1= 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：10，分数：20.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_17. （分数：2.00）_18.设函数 f(x)在0，+)上连续、单调不减且 f(0)0，试证函数 （分数：2.00）_19. （分数：2.00）
6、_20. （分数：2.00）_21.设曲线积分 C xy 2 dx+y(x)dy 与路径无关，其中 (x)具有连续的导数，具 (0)=0，计算 （分数：2.00）_22. ()证明：若 a 1 ，a 2 ，a 3 ，a 4 两两不相等，则此线性方程组无解； ()设 a 1 =a 3 =k，a 2 =a 4 =-k(k0)，且已知 1 ， 2 是该方程组的两个解，其中 （分数：2.00）_23.设 （分数：2.00）_24.设 A，B 是二随机事件；随机变量 （分数：2.00）_25.设随机变量 X 与 Y 独立，其中 X 的概率分布为 X （分数：2.00）_考研数学（数学一）-试卷 176
7、答案解析(总分：50.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设函数 f(x)在(-，+)内有定义，x 0 0 是函数 f(x)的极大值点，则( )（分数：2.00）A.x 0 必是函数 f(x)的驻点B.-x 0 必是函数-f(-x)的最小值点C.-x 0 必是函数-f(-x)的极小值点 D.对一切 x 0 都有 f(x)f(x 0 )解析：解析：因为“函数 f(x)的极值点不一定是函数 f(x)的驻点”，如 f(x)=3-x-1 在 x 0 =1 点处取得极大值 f(1
8、)=3，但 x 0 =1 点还并不是函数 f(x)的驻点(A)不对 又“函数 f(x)的极值点不一定是函数 f(x)的最值点”，如 f(x)=x 3 -6x 2 +9x-1，因为 f(x)在(-，+)内没有最大值，但却在 x 0 =1点处取得极大值 f(1)=3而当 x4 时，都有 f(x)f(x 0 )(D)不对，至于(B)，我们在否定(D)时，实际上已经得到结论了仍然可举(D)中用过的例子为反例因此选(C)3.如下图，连续函数 y=f(x)在区间-3，-2、2，3上图形分别是直径为 1 的上、下半圆周，在区间-2，0，0，2上的图形分别是直径为 2 的上、下半圆周，设 F(x)= 0 x
9、f(t)dt，则下列结论正确的是( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：F(x)= 0 x f(t)dt 的大小与曲线 f(x)与 x 轴所围面积的大小有关因为 4.设 ，则下列命题正确的是( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：本题考查条件收敛与绝对收敛的定义，由题设，5.具有特解 y 1 =e -x ，y 2 =2xe -x ，y 3 =3e x 的三阶常系数齐次线性微分方程是( )（分数：2.00）A.y “ -y “ -y “ +y=0B.y “ +yy “ -yy “ -y=0 C.y “ -6y “ +11y “ -6y=0D.y “ -2y “ -
10、y “ +2y=0解析：解析：由题设条件，可知该微分方程存在的特征根为 1 =-l， 2 =-1， 3 =1，即 特征方程为(+1) 2 (-1)=0，展开得 3 + 2 -1=0，因此所求微分方程必为 y “ +y “ -y “ -y=0， 所以选(B)6.设 A 为 mn 矩阵，齐次线性方程组 Ax=0 仅有零解的充分条件是( )（分数：2.00）A.A 的列向量线性无关 B.A 的列向量线性相关C.A 的行向量线性无关D.A 的行向量线性相关解析：解析：由解的判定定理知 Ax=0 仅有零解7.设 A 为 n 阶实矩阵，A T 为 A 的转置矩阵，则对于线性方程组()AX=0 和()A T
11、 AX= 0 必有( )（分数：2.00）A.()的解是()的解，但()的解不是()的解B.()的解是()的解，()的解也是()的解 C.()的解不是()的解，()的解也不是()的解D.()的解是()的解，但()的解不是()的解解析：解析：若 x i 是 AX=0 的解，即 Ax i =0，显然 A T Ax i =0； 若 x i 是 A T AX=0 的解，即 A T Ax i =0，则 x i T A T Ax i =0，即(Axi i ) T (Ax i )=0 若 Ax i 0，不妨设 Ax i =(b 1 ，b 2 ，b n ) T ，b0，则(Ax i ) T (Ax i )=
12、8.设二维随机变量 X 和 Y 相互独立，其概率分布为 （分数：2.00）A.X=YB.PX=Y=0C.PX=Y=1/2 D.PX=Y=1解析：解析：由 X 与 Y 相互独立知 PX=Y=PX=-1，Y=-1+PX=1，Y=1=PX=-1*PX=-1+PX=1*PY=1=9.设二随机变量(X，Y)服从二维正态分布，则随机变量 U=X+Y 与 V=X-Y 不相关的充分必要条件为( )（分数：2.00）A.E(X)=E(Y)B.E(X 2 )-E(X) 2 =E(Y 2 )-E(Y) 2 C.E(X 2 )=E(Y 2 )D.E(X 2 )+E(Y 2 ) 2 =E(Y 2 )+E(Y) 2解析：
13、解析：因为 U 与 V 不相关的充要条件是 cov(U，V)=0 即 cov(X+Y，X-Y)=cov(X，X)-cov(X，Y)+cov(Y，X)-cov(Y，Y)=D(X)-D(Y)=E(X 2 )-E 2 (X)-E(Y 2 )-E 2 (Y)=0 故(B)正确二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10.向量场 u(x，y，z)=xy 2 i+ye z j+xln(1+z 2 )k 在点 P(1，1，0)处的散度 divu= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：11.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：ln3）解析：解
14、析：12.函数 f(u，v)由关系式 fxg(y)，Y=x+g(y)确定，其中函数 g(y)可微，且 g(y)0，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由已知关系式 fxg(y)，y=x+g(y)两边对 x 求二次偏导，有 f u “ g(y)=1， (1) f uu “ g(y) 2 =0 (2) 由已知 g(y)0，所以 f”。=0，在(1)式两边对 Y 求一次偏导，有 u “ *g “ (y)+f uu “ *x*g “ (y)+f uu “ *1g(y)=0 将 f uu “ =0 代入上式，得 f u “ *g “ (y)+f uu “ *g(y
15、)=0， 13.交换积分次序： （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由题设，设原积分中两部分的积分区域分别如图所示，则14.设矩阵 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：15.设随机变量 X 与 Y 相互独立，且均服从区间0,3上的均匀分布，则 PmaxX，Y1= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1/9）解析：解析：由题设有 Pmax(x，y)1=PX1，Y1=PX1PY1=1/9三、解答题(总题数：10，分数：20.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析
16、：17. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：18.设函数 f(x)在0，+)上连续、单调不减且 f(0)0，试证函数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设知 f(x)在0，+)上连续、单调不减且 f(0)0，此外 F(0)=0。 而当x0 时， 所以 当 x0 时， 由积分中值定理知，存在一点 因此 )解析：19. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：20. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：21.设曲线积分 C xy 2 dx+y(x)dy 与路径无关，其中 (x)具有连续的导数，具 (0)=0，计算 （分数：2.00）_正确答
17、案：(正确答案：先求出 (x)，设 P(x，y)，Q(x，y)有连续偏导数，在所给的单连通区域 D 上， L Pdx+Qdy 与路径无关 用于此题即 y “ (x)=2xy即 “ (x)=2x，(x)=x 2 +C 由 (0)=0 得 C=0，即 (x)=x 2 )解析：22. ()证明：若 a 1 ，a 2 ，a 3 ，a 4 两两不相等，则此线性方程组无解； ()设 a 1 =a 3 =k，a 2 =a 4 =-k(k0)，且已知 1 ， 2 是该方程组的两个解，其中 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：23.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：特征方程为E-A=
18、 3 - 2 -+1=(-1)(+1)=0，即特征值 1 =1(二重)， 2 =-1 欲使 A，=l 有两个线性无关的特征向量，矩阵 E-A= )解析：24.设 A，B 是二随机事件；随机变量 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设，记 P(A)=p 1 ，则 P(x=1)=p 1 从而 P(X=-1)=1-p 1 记 P(B)=p 2 ，则P(Y=1)=p 2 ，且 P(Y=-1)=1-p 2 因此有 E(X)=p 1 -(1-p 1 )=2p 1 -1，E(Y)=p 2 -(1-p 2 )=2p 2 -1 由于 X，Y 的取值只能为 1 和-1，从而 P(XY=1)=P(X=1，
19、Y=1)+P(X=-1，Y=-1)=P(AB)=P =2P(AB)-P 1 -p 2 +1，P(XY=-1)=1-2P(AB)-p 1 -p 2 +1=1-2P(AB)+p 1 +p 2 -1=p 1 +p 2 -2P(AB) 所以 E(XY)=2P(AB)-p 1 -p 2 +1-P 1 +p 2 -2P(AB) =2P(AB)-p 1 -p 2 +1-P 1 -p 2 +2P(AB)=4P(AB)-2p 1 -2p 2 +1，因此 cov(X，Y)=E(XY)-E(X)*E(Y)=4P(AB)-2p 1 +2p 2 +1-(2p 1 -1)(2p 2 -1)=4P(AB)-2p 1 -2p
20、 2 +1-4p 1 p 2 +2p 1 +2p 2 -1=4P(AB)-4p 1 p 2 =4P(AB)-P(A)P(B)，显然 cov(XY)= )解析：25.设随机变量 X 与 Y 独立，其中 X 的概率分布为 X （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设，设 F Y (y)是 Y 的分布函数，则由全概率公式，得 U=X+Y 的分布函数为G(u)=PX+Yu=03PX+YuX=1+07PX+YuX=2 =03PYu-1X=1+07PYu-2X=2 由已知 X 与 Y 独立，则 PYu-1X=1=PYu-1 且 PYu-2X=2=PYu-2 所以 G(u)=03PYu-1+07PYu-2=03F(u-1)+07F(u-2)， 因此 U=X+Y 的概率密度为 g(u)=G “ (u)=03f(u-1)+07f(u-2)解析：
