1、考研数学一（高等数学）-试卷 148 及答案解析(总分：50.00，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：21，分数：50.00)1.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_计算下列三重积分或将三重积分化成累次积分（分数：12.00）(1).I x 3 y 2 zdV，其中 是由 x1，x2，y0，yx 2 ，z0 及 z （分数：2.00）_(2).I （分数：2.00）_(3).I （分数：2.00）_(4).I (xyz)dV，其中 ：x 2 y 2 z 2 2az， （分数：2.00）_(5).I （分数：2.00）_(6).将三重积分 （分数：2.00）_2.f(x，y，
2、z)dy，变成由 z 至 y 再至 x 的顺序 （分数：2.00）_3.f(x，y，z)dz，改换成先 y 最后 x 的顺序 （分数：2.00）_4.考虑柱坐标系下的三重累次积分，I （分数：2.00）_5. （分数：2.00）_6.(I)设 L 为抛物线 yx 2 上，从点 A(一 1，1)到 B(1，1)的一段，求 I (x 2 一 2xy)dx(y 2 一 2xy)dy ()求积分，I ，其中 C：y1，x4，y （分数：2.00）_7.设 L 为曲线 求积分 I （分数：2.00）_8.计算曲面积分，I （分数：2.00）_9.计算曲面积分 （分数：2.00）_10.设 S 为柱面 x
3、 2 y 2 a 2 (0zh)的外侧，满足 x0 的部分，求 I （分数：2.00）_11.求曲面积分 I （分数：2.00）_12.求曲线积分 I （分数：2.00）_13.求下列区域 的体积： (I)：x 2 y 2 a 2 ，z0，zmx(m0)； ()：由 y 2 a 2 一az，x 2 y 2 ax，z0(a0)围成； ()：由 zx 2 y 2 ，xyz1 所围成； ()：由曲面 zy 2 (y0)，z4y 2 (y0)，zx，z2x，z4 所围成（分数：2.00）_14.设曲面 S 是上半球面 x 2 y 2 z 2 a 2 (z0，a0)被柱面 x 2 y 2 ax 所割下部
4、分，求 S的面积（分数：2.00）_15.设曲面 z (x 2 y 2 )，其面密度 为常数，求该曲面在 0z （分数：2.00）_16.设质点 P 沿以 为直径的下半圆周，从点 A(1，2)运动到 B(3，4)的过程中，受变力 F 的作用，F的大小等于点 P 到原点 0 之距离，方向垂直于线段 ，与 y 轴正向的夹角小于 （分数：2.00）_17.设有平面光滑曲线 l：xx(t)，yy(t)，z0，t，以及空间光滑曲线 L：xx(t)，yy(t)，zf(x(t)，y(t)，t，t，t；分别是起点与终点的参数(I)试说明 l，L及曲面 S：zf(x，y)的关系；()若 P，Q，R 连续，f(x
5、，Y)有连续的偏导数，求证： P(x，y，z)dxQ(x，y，z)dyR(x，y，z)dx P(x，y，f(x，y) R(x，y，f(x，y)dxQ(x，y，f(x，y) （分数：2.00）_18.设 P(x，y，z)，Q(x，y，z)，R(x，y，z)在区域 连续，：xx(t)，yy(t)，zz(t)是 中一条光滑曲线，起点 A，终点 B 分别对应参数 t A 与 t B ，又设在 上存在函数 u(x，y，z)，使得 duPdxQdyRdz (称为 PdxQdyRdz 在 的原函数) 求证：I PdxQdyRdz （分数：2.00）_19.设 f(x)在区间0，1上连续，请用重积分方法证明：
6、 f(x)dx f(y)dy （分数：2.00）_20.设半径为 R 的球面的球心在定球面 x 2 y 2 z 2 a 2 (aO)上，问 R 为何值时球面在定球面内部的那部分面积最大?（分数：2.00）_考研数学一（高等数学）-试卷 148 答案解析(总分：50.00，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：21，分数：50.00)1.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：计算下列三重积分或将三重积分化成累次积分（分数：12.00）(1).I x 3 y 2 zdV，其中 是由 x1，x2，y0，yx 2 ，z0 及 z （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(I)区域
7、 由平面 x1，x2，y0，z0 及抛物柱面 yx 2 与双曲柱面 围成，易求出 在 xy 平面(或 zx 平面)上的投影 区域 D xy (或 D zx )D xy 由 x1，x2，y0，yx 2 围成， D xy (x，y) 1x2，0yx 2 ，见图 917 一(a) D zx 由 x1，x2，z0，z 围成，即 D zx (z，x) 1x2，0z ，见图 917 一(6). 于是 (x，y，z)0z ，(x，y)D xy ， 或 (x，y，z)0yx 2 ，(z，x)D zx ()根据 的表示，宜选择先对 z(或 y)积分后对 xy(或 zx)积分的 顺序 若先对 z 积分得 若先对
8、y 积分得 )解析：(2).I （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由变量的轮换对称性，可得 方法 1。用球坐标变换求 )解析：(3).I （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 是旋转体(如图 918)，选用柱坐标变换 先求交线由 选择先 z后 r， 的积分顺序， 的柱坐标表示： ：02，0r1， r 2 z ， )解析：(4).I (xyz)dV，其中 ：x 2 y 2 z 2 2az， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 关于 yz 平面与 zx 平面均对称 用球坐标变换，球面 x 2 y 2 z 2 2az 与锥面的球坐标方程分别为 2acos， 的球坐标表示：O2，
9、0 ，02acos，于是 )解析：(5).I （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：积分域 是球的一部分，球也可以看成是旋转体，所以使用球坐标系与柱坐标系都可以 利用球坐标系 使用柱坐标系 )解析：(6).将三重积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：使用柱坐标系 )解析：2.f(x，y，z)dy，变成由 z 至 y 再至 x 的顺序 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：3.f(x，y，z)dz，改换成先 y 最后 x 的顺序 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：I f(x，y，z)dV f(x，y，z)dydz 其中 D(x)：0y1，0zx 2 y 2 现
10、改为先 y 后 z 的顺序，将 D(x)分成两块：0zx 2 ，0y1；x 2 z1x 2 ， y1，如图 920则 )解析：4.考虑柱坐标系下的三重累次积分，I （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(I)积分区域 ： ， (x，y)D xy ， 其中 D xy (x，y)x 2 y 2 2于是 (II) 是由锥面 z (球坐标方程为 )与上半球面 z (球坐标方程是 2)围成 的球坐标表示是：02，0 ，02，于是 )解析：5. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 其中 ：1z1 (x，y)D xy ，如图 921 一(a) 它是由半球面：(z 一 1) 2 1 一 x 2 一
11、 y 2 (z1)与平面 z1 所围成的 y0 部分 作球坐标变换z1 对应 ，半球面对应 2cos 的球坐标表示(如图 921 一(b) ：0，0 2cos， )解析：6.(I)设 L 为抛物线 yx 2 上，从点 A(一 1，1)到 B(1，1)的一段，求 I (x 2 一 2xy)dx(y 2 一 2xy)dy ()求积分，I ，其中 C：y1，x4，y （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(I)L：yx 2 ，x一 1，1 I 1 1 (x 2 2x 3 )(x 4 2x 3 )2xdx 1 1 (x 2 4x 4 )dx0 () (直接计算) )解析：7.设 L 为曲线 求积分
12、 I （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：在 L 上 yz0 I L (x 2 3y3z)ds L x 2 ds3 L (yz)ds L x 2 ds 易写出 L 的参数方程： 又 )解析：8.计算曲面积分，I （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：关于 xy 平面，yz 平面对称(如图 923) 投影到 zx 平面，由 x 2 y 2 z 2 R 2 ， y0 投影区域 D zx ：x 2 z 2 R 2 ，于是 dxdzRR 2 R 3 )解析：9.计算曲面积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：r 2 x 2 y 2 z 2 关于 zx 平面，yz 平面均对称，则 ，如
13、图924 1 ：x 2 y 2 R 2 ，x，y0，投影区域 D zx ：0xR，0zH， )解析：10.设 S 为柱面 x 2 y 2 a 2 (0zh)的外侧，满足 x0 的部分，求 I （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：S 如图 925，S 垂直 xy 平面，于是 ydxdy0， I zdydzxyzdzdx 投影到 yz 平面直接计算较为方便S 表示为 x ，(y，z)D yz ， 其中D yz ：0zh，一 aya 代公式得 I yz(x y )dydz (zzy 2 )dydz (1y 2 )dy )解析：11.求曲面积分 I （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：I
14、xdydzydzdxzdxdy cosydydzcoszdzdxcosxdxdy I 1 I 2 平面 S 的单位法向量 n(cos，cos，cos) (1，1，1)，由第一、二类曲面积分的关系，可得 下面求 I 2 由变量的轮换对称性： cosydydz coszdzdx cosxdxdy S 在 xy 平面上投影区域为 D xy ，如图 926，则有 因此 II 1 I 2 6 )解析：12.求曲线积分 I （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：C 的参数方程为 )解析：13.求下列区域 的体积： (I)：x 2 y 2 a 2 ，z0，zmx(m0)； ()：由 y 2 a 2 一a
15、z，x 2 y 2 ax，z0(a0)围成； ()：由 zx 2 y 2 ，xyz1 所围成； ()：由曲面 zy 2 (y0)，z4y 2 (y0)，zx，z2x，z4 所围成（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(I)D xy ：x 2 y 2 a 2 ， x0， (x，y，z) 0zmx， (x，y)D xy ()由 消去 z 得 x 2 xy 2 y1，即 于是 在 Oxy 平面上的投影区域(如图 928)是 D(x，y) )，围成 区域的上曲面是 z1 一 xy，下曲面是 zx 2 y 2 ，因此 的体积 如图 929，(x，y，z) ， (z，x)D zx ， D zx (x，
16、y，z) xz，0z4. )解析：14.设曲面 S 是上半球面 x 2 y 2 z 2 a 2 (z0，a0)被柱面 x 2 y 2 ax 所割下部分，求 S的面积（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：15.设曲面 z (x 2 y 2 )，其面密度 为常数，求该曲面在 0z （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：质量 M ，其中 S：z (x 2 y 2 )， (x，y)D xy ：x 2 y 2 3 又 ，于是 )解析：16.设质点 P 沿以 为直径的下半圆周，从点 A(1，2)运动到 B(3，4)的过程中，受变力 F 的作用，F的大小等于点 P 到原点 0 之距离，方向
17、垂直于线段 ，与 y 轴正向的夹角小于 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：如图 932 (I)先求作用于 P(x，y)的力 F：F 与 x，y垂直的向量y，x，其中与 Y 轴正向成锐角的是 一 y，x，于是 ()F 对 P 所做的功 ()写出 的参数方程： )解析：17.设有平面光滑曲线 l：xx(t)，yy(t)，z0，t，以及空间光滑曲线 L：xx(t)，yy(t)，zf(x(t)，y(t)，t，t，t；分别是起点与终点的参数(I)试说明 l，L及曲面 S：zf(x，y)的关系；()若 P，Q，R 连续，f(x，Y)有连续的偏导数，求证： P(x，y，z)dxQ(x，y，z)dyR
18、(x，y，z)dx P(x，y，f(x，y) R(x，y，f(x，y)dxQ(x，y，f(x，y) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(I)l 是 L 在 xy 平面上的投影曲线，定向相同以 l 为准线，母线平行于 z 轴的柱面与曲面 S 相交得曲线 L ()按线积分化定积分公式得 )解析：18.设 P(x，y，z)，Q(x，y，z)，R(x，y，z)在区域 连续，：xx(t)，yy(t)，zz(t)是 中一条光滑曲线，起点 A，终点 B 分别对应参数 t A 与 t B ，又设在 上存在函数 u(x，y，z)，使得 duPdxQdyRdz (称为 PdxQdyRdz 在 的原函数)
19、求证：I PdxQdyRdz （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 duPdxQdyRdz 由曲线积分化定积分公式 再由复合函数求导公式得 )解析：19.设 f(x)在区间0，1上连续，请用重积分方法证明： f(x)dx f(y)dy （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先将累次积分表示成二重积分，则有 其中 D(x，y) 0z1，xy1，如图 933，它与 D(x，y) 0x1，0yx关于 yx 对称于是 )解析：20.设半径为 R 的球面的球心在定球面 x 2 y 2 z 2 a 2 (aO)上，问 R 为何值时球面在定球面内部的那部分面积最大?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：可设的球心为(0，0，a)，的方程是 x 2 y 2 (z 一 a) 2 R 2 ，与定球的交线为 a 2 一 z 2 R 2 一(z 一 a) 2 ，x 2 y 2 R 2 一(z 一 a) 2 ，即 在定球内部那部分在 Oxy 平面上的投影区域为 这部分球面的方程是 za 一 ，(x，y)D它的面积是 现计算 由 S(R)0 得 R 因 S(0)S(2a)0，所以 R 时 S(R)取最大值，即 R )解析：
