1、考研数学一（高等数学）-试卷 14 及答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：3，分数：6.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2. （分数：2.00）A.等于 0B.大于 0C.小于 0D.不能确定3.若由曲线 y= ，曲线上某点处的切线以及 x=1，x=3 围成的平面区域的面积最小，则该切线是( )（分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：7，分数：14.00)4.设函数 y=y(x)满足y= （分数：2.00）填空项 1:_5.设 （分数：2.00）填空项 1:_6.= 1 （分数：2.00）填
2、空项 1:_7.设连续非负函数 f(x)满足 f(x)f(一 x)=1，则 （分数：2.00）填空项 1:_8.I(x)= （分数：2.00）填空项 1:_9.设 f(x)的一个原函数为 （分数：2.00）填空项 1:_10.y= （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：18，分数：36.00)11.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_12.设 f(x)在a，b上连续可导，证明： （分数：2.00）_13.设 f(x)在0，1上二阶可导，且 f(x)0证明： 0 1 f(x 2 )dxf( （分数：2.00）_14.设 f(x)在区间a，b上二阶可导且
3、 f“(x)0证明： （分数：2.00）_15.设 f(x)C0，1，f(x)0证明积分不等式：ln 0 1 f(x)dx 0 1 lnf(x)dx（分数：2.00）_16.设直线 y=ax 与抛物线 y=x 2 所围成的图形面积为 S 1 ，它们与直线 x=1 所围成的图形面积为 S 2 ，且 a1 (1)确定 a，使 S 1 +S 2 达到最小，并求出最小值； (2)求该最小值所对应的平面图形绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积（分数：2.00）_17.求曲线 y=3 一x 2 一 1与 x 轴围成的封闭区域绕直线 y=3 旋转所得的旋转体的体积（分数：2.00）_18.求椭圆 （分数：2.
4、00）_19.设点 A(1，0，0)，B(0，1，1)，线段 AB 绕 x 轴一周所得旋转曲面为 S (1)求旋转曲面的方程； (2)求曲面 S 介于平面 z=0 与 z=1 之间的体积（分数：2.00）_20.计算 I= （分数：2.00）_21.计算 （分数：2.00）_22.计算定积分 （分数：2.00）_23.证明： （分数：2.00）_24.证明：当 x0 时，f(x)= 0 x (t 一 t 2 )sin 2n dt 的最大值不超过 （分数：2.00）_25.设 f(x)在a，b上连续，且对任意的 t0，1及任意的 x 1 ，x 2 a，b满足： ftx 1 +(1一 t)x 2
5、tf(x 1 )+(1 一 t)f(x 2 ) 证明： （分数：2.00）_26.设 f(x)Ca，b，在(a，b)内二阶可导，且 f“(x)0，(x)是区间a，b上的非负连续函数，且 a b (x)dx=1 证明： a b f(x)(x)dxf a b x(x)dx（分数：2.00）_27.令 f(x)=xx，求极限 （分数：2.00）_28.为清除井底污泥，用缆绳将抓斗放入井底，抓起污泥提出井口，设井深 30 m，抓斗自重 400 N，缆绳每米重 50 N，抓斗盛污泥 2 000 N，提升速度为 3 ms，在提升过程中，污泥以 20 Ns 的速度从抓斗中漏掉现将抓斗从井底提升到井口，问克服
6、重力做功多少? （分数：2.00）_考研数学一（高等数学）-试卷 14 答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：3，分数：6.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2. （分数：2.00）A.等于 0B.大于 0 C.小于 0D.不能确定解析：解析：3.若由曲线 y= ，曲线上某点处的切线以及 x=1，x=3 围成的平面区域的面积最小，则该切线是( )（分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析： 当 t(0，2)时，S“(t)0；当 t(2，3)时，S“(t)0，则当 t=2 时，S(t)取最小值， 此时
7、切线方程为 y=二、填空题(总题数：7，分数：14.00)4.设函数 y=y(x)满足y= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：5.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：ln2）解析：解析：6.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：7.设连续非负函数 f(x)满足 f(x)f(一 x)=1，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：8.I(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：ln3）解析：解析：9.设 f(x)的一个原函数为 （分数：
8、2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*1）解析：解析：10.y= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：三、解答题(总题数：18，分数：36.00)11.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：12.设 f(x)在a，b上连续可导，证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f(x)在a，b上连续，所以f(x)在a，b上连续，令f(c)= f(x) 根据积分中值定理， a b f(x)dx=f()，其中 a，b 由积分基本定理，f(c)=f()+ c f“(x)dx，取绝对值得 f(c)f()+ c f“
9、(x)dxf()+ a b f“(x)dx，即 )解析：13.设 f(x)在0，1上二阶可导，且 f(x)0证明： 0 1 f(x 2 )dxf( （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：14.设 f(x)在区间a，b上二阶可导且 f“(x)0证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：15.设 f(x)C0，1，f(x)0证明积分不等式：ln 0 1 f(x)dx 0 1 lnf(x)dx（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 g(t)=lnt(t0)，g“(t)=一 )解析：16.设直线 y=ax 与抛物线 y=x 2 所围成的图形面积为 S 1 ，它们与
10、直线 x=1 所围成的图形面积为 S 2 ，且 a1 (1)确定 a，使 S 1 +S 2 达到最小，并求出最小值； (2)求该最小值所对应的平面图形绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)直线 y=ax 与抛物线 y=x 2 的交点为(0，0)，(a，a 2 ) )解析：17.求曲线 y=3 一x 2 一 1与 x 轴围成的封闭区域绕直线 y=3 旋转所得的旋转体的体积（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：显然所给的函数为偶函数，只研究曲线的右半部分绕 y=3 旋转所成的体积 当x0 时，y= 0，1， dV 1 =3 2 一3 一(x 2 +2
11、) 2 dx=(2x 2 一 x 4 +8)dx， V 1 = 0 1 dV 1 = 0 1 (2x 2 一 x 4 +8)dx= 1，2， dV 2 =3 2 一3 一(4 一 x 2 ) 2 )dx=(2x 2 一 x 4 +8)dx， V 2 = 1 2 dV 2 = 1 2 (2x 2 一 x 4 +8)dx= )解析：18.求椭圆 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据对称性，所求面积为第一象限围成面积的 4 倍，先求第一象限的面积)解析：19.设点 A(1，0，0)，B(0，1，1)，线段 AB 绕 x 轴一周所得旋转曲面为 S (1)求旋转曲面的方程； (2)求曲面 S
12、介于平面 z=0 与 z=1 之间的体积（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1) 对任意的 M(x，y，z)S，过 M 垂直于 z 轴的截口为圆，其与直线AB 及 z 轴的交点为 M 0 (x 0 ，y 0 ，z)，T(0，0，z)，由MT=M 0 T，得 x 2 +y 2 =x 0 2 +y 0 2 ， 因为 M 0 在直线 AB 上，所以有 ， 从而 代入 x 2 +y 2 =x 0 2 +y 0 2 中得曲面方程为 S：x 2 +y 2 =(1 一 z) 2 +z 2 ，即 S：x 2 +y 2 =2z 2 一 2z+1 (2)对任意的 z0，1，垂直于 z 轴的截口圆面积为 A
13、(z)=(x 2 +y 2 )=(2z 2 一 2z+1) 于是 V= 0 1 A(z)dz= )解析：20.计算 I= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：21.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：22.计算定积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：23.证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：24.证明：当 x0 时，f(x)= 0 x (t 一 t 2 )sin 2n dt 的最大值不超过 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 x0 时，令 f“(x)=(xx 2 )sin 2n x=0 得 x=1，x=
14、k(k=1，2，)， 当0x1 时，f“(x)0；当 x1 时，f“(x)0(除 x=k(k=1，2，)外 f“(x)0)， 于是 x=1 为 f(x)的最大值点，f(x)的最大值为 f(1)因为当 x0 时，sinxx， 所以当 x0，1时，(xx 2 )sin 2n x(xx 2 )x 2n =x 2n+1 一 x 2n+2 ， 于是 f(x)f(1)= 0 1 (xx 2 )sin 2n xdx 0 1 (x 2n+1 一x 2n+2 )dx= )解析：25.设 f(x)在a，b上连续，且对任意的 t0，1及任意的 x 1 ，x 2 a，b满足： ftx 1 +(1一 t)x 2 tf(
15、x 1 )+(1 一 t)f(x 2 ) 证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：26.设 f(x)Ca，b，在(a，b)内二阶可导，且 f“(x)0，(x)是区间a，b上的非负连续函数，且 a b (x)dx=1 证明： a b f(x)(x)dxf a b x(x)dx（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f“(x)0，所以有 f(x)f(x 0 )+f“(x 0 )(xx 0 ) 取 x 0 = a b x(x)dx，因为 (x)0，所以 a(x)x(x)b(x)，又 a b (x)dx=1，于是有 a a b x(x)dx=x 0 b把 x 0 = a b
16、 x(x)dx 代入 f(x)f(x 0 )+f“(x 0 )(xx 0 )中，再由 (x)0，得 f(x)(x)f(x 0 )(x)+f“(x 0 )x(x)一 x 0 (x)， 上述不等式两边再在区间a，b上积分，得 a b f(x)(x)dxf a b x(x)dx)解析：27.令 f(x)=xx，求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为c+m=x+m(其中 m 为整数)，所以 f(x)=xx是以 1 为周期的函数，又xx，故 f(x)0，且 f(x)在0，1上的表达式为 f(x)= ， 对充分大的 x，存在自然数 n，使得nxn+1，则 0 n f(x)dx 0 x f(
17、x)dx 0 n+1 f(x)dx， )解析：28.为清除井底污泥，用缆绳将抓斗放入井底，抓起污泥提出井口，设井深 30 m，抓斗自重 400 N，缆绳每米重 50 N，抓斗盛污泥 2 000 N，提升速度为 3 ms，在提升过程中，污泥以 20 Ns 的速度从抓斗中漏掉现将抓斗从井底提升到井口，问克服重力做功多少? （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设拉力对空斗所做的功为 W 1 ，则 W 1 =40030=12 000(J) 设拉力对绳所做的功为 W 2 ，任取x，x+dx 0，30，dW 2 =50(30 一 x)dx， 则 W 2 = 0 30 dW 2 =22 500(J) 设拉力对污泥做功为 W 3 ，任取t，t+dt 0，10， dW 3 =(2 00020t)3dt， 则 W 3 = 0 10 dW 3 =57 000(J)，拉力克服重力所做的功为 W=W 1 + W 2 +W 3 =91 500(J)。 )解析：
