1、考研数学一（高等数学）-试卷 16 及答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.若 f(x)在 x=0 的某邻域内二阶连续可导，且 （分数：2.00）A.x=0 是 f(x)的零点B.(0，f(0)是 y=f(x)的拐点C.x=0 是 f(x)的极大点D.x=0 是 f(x)的极小点3.设 f(x)在 x=0 的邻域内有定义，且 f(0)=0，则 f(x)在 x=0 处可导的充分必要条件是( ) （分数：2.00）A.B.C.D.4.设 f(x)在(一，+)上
2、有定义，x 0 0 为函数 f(x)的极大值点，则( )（分数：2.00）A.x 0 为 f(x)的驻点B.一 x 0 为一 f(一 x)的极小值点C.一 x 0 为一 f(x)的极小值点D.对一切的 x 有 f(x)f(x 0 )5.设 f“(x 0 )=f“(x 0 )=0，f“(x 0 )0，则下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.f“(x 0 )是 f“(x)的极大值B.f(x 0 )是 f(x)的极大值C.f(x 0 )是 f(x)的极小值D.(x 0 ，f(x 0 )是 y=f(x)的拐点6.设 f(x)=x 3 +ax 2 +bx 在 x=1 处有极小值一 2，则( )（分
3、数：2.00）A.a=1，b=2B.a=一 1，b=一 2C.a=0，b=一 3D.a=0，b=37.设曲线 y=x 2 +ax+b 与曲线 2y=xy 3 一 1 在点(1，一 1)处切线相同，则( )（分数：2.00）A.a=1，b=1B.a=一 1，b=一 1C.a=2，b=1D.a=一 2，b=一 1二、填空题(总题数：3，分数：6.00)8.设曲线 y=lnx 与 y= （分数：2.00）填空项 1:_9.设 L： （分数：2.00）填空项 1:_10. （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：17，分数：34.00)11.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（
4、分数：2.00）_12.设 PQ 为抛物线 y= （分数：2.00）_13.求函数 y= （分数：2.00）_14.证明：当 0x1 时， （分数：2.00）_15.证明：当 0x1 时，e 2x （分数：2.00）_16.当 0x （分数：2.00）_17.求 f(x)= 0 1 xtdt 在0，1上的最大值与最小值（分数：2.00）_18.证明方程 lnx= （分数：2.00）_19.设 k0，讨论常数 k 的取值，使 f(x)=xlnx+k 在其定义域内没有零点、有一个零点及两个零点（分数：2.00）_20.设 f(x)= （分数：2.00）_21.证明：当 x0 时， （分数：2.00
5、）_22.设 0a1，证明：方程 arctanx=ax 在(0，+)内有且仅有一个实根（分数：2.00）_23.设 f(x)在0，上连续，在(0，)内可导，证明：至少存在一点 (0，)，使得 f“()=一f()cot（分数：2.00）_24.设 f(x)，g(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 f(a)=f(b)=0，证明：存在 (a，b)，使得f“()+f()g“()=0（分数：2.00）_25.设 f(x)在0，3上连续，在(0，3)内二阶可导，且 2f(0)= 0 2 f(t)dt=f(2)+f(3) 证明：(1) 1 ， 2 (0，3)，使得 f“( 1 )=f“( 2 )=0
6、 (2)存在 (0，3)，使得 f“()一 2f“()=0（分数：2.00）_26.设 f(x)在1，2上连续，在(1，2)内可导，且 f(x)0(1x2)，又 存在，证明： (1)存在(1，2)，使得 （分数：2.00）_27.设 f(x)在a，b上二阶可导且 f“(x)0，证明：f(x)在(a，b)内为凹函数（分数：2.00）_考研数学一（高等数学）-试卷 16 答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.若 f(x)在 x=0 的某邻域内二阶连续可导
7、，且 （分数：2.00）A.x=0 是 f(x)的零点B.(0，f(0)是 y=f(x)的拐点C.x=0 是 f(x)的极大点D.x=0 是 f(x)的极小点 解析：解析：3.设 f(x)在 x=0 的邻域内有定义，且 f(0)=0，则 f(x)在 x=0 处可导的充分必要条件是( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：4.设 f(x)在(一，+)上有定义，x 0 0 为函数 f(x)的极大值点，则( )（分数：2.00）A.x 0 为 f(x)的驻点B.一 x 0 为一 f(一 x)的极小值点 C.一 x 0 为一 f(x)的极小值点D.对一切的 x 有 f(x)f(x 0 )
8、解析：解析：因为 y=f(一 x)的图像与 y=f(x)的图像关于 y 轴对称，所以一 x 0 为 f(一 x)的极大值点，从而一 x 0 为一 f(一 x)的极小值点，选(B)5.设 f“(x 0 )=f“(x 0 )=0，f“(x 0 )0，则下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.f“(x 0 )是 f“(x)的极大值B.f(x 0 )是 f(x)的极大值C.f(x 0 )是 f(x)的极小值D.(x 0 ，f(x 0 )是 y=f(x)的拐点 解析：解析：因为 f“(x 0 )0，所以存在 0，当 0|xx 0 | 时， 6.设 f(x)=x 3 +ax 2 +bx 在 x=1 处
9、有极小值一 2，则( )（分数：2.00）A.a=1，b=2B.a=一 1，b=一 2C.a=0，b=一 3 D.a=0，b=3解析：解析：f“(x)=3x 2 +2ax+b，因为 f(x)在 x=1 处有极小值一 2，所以 7.设曲线 y=x 2 +ax+b 与曲线 2y=xy 3 一 1 在点(1，一 1)处切线相同，则( )（分数：2.00）A.a=1，b=1B.a=一 1，b=一 1 C.a=2，b=1D.a=一 2，b=一 1解析：解析：由 y=x 2 +ax+b 得 y“=2x+a， 2y=xy 3 一 1 两边对 x 求导得 2y“=y 3 +3xy 2 y“，解得 y“= 因为
10、两曲线在点(1，一 1)处切线相同，所以 二、填空题(总题数：3，分数：6.00)8.设曲线 y=lnx 与 y= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：9.设 L： （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=一 2x）解析：解析：t=0 对应的曲线上点为(0，0)，10. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：三、解答题(总题数：17，分数：34.00)11.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：12.设 PQ 为抛物线 y= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )
11、解析：13.求函数 y= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 y“= =0 得 x=一 1、x=0 当 x一 1 时，y“0；当一 1x0 时，y“0；当 x0 时，y“0，y= 的单调增区间为(一，一 1(0，+)，单调减区间为一 1，0，)解析：14.证明：当 0x1 时， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：15.证明：当 0x1 时，e 2x （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：16.当 0x （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f(x)=xsinx，f(0)=0， )解析：17.求 f(x)= 0 1 xtdt 在0，1上的最大值与
12、最小值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f(x)= 0 1 |x 一 t|dt= 0 x (xt)dt+ x 1 (t 一 x)dt )解析：18.证明方程 lnx= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：19.设 k0，讨论常数 k 的取值，使 f(x)=xlnx+k 在其定义域内没有零点、有一个零点及两个零点（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：20.设 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f“(x) 0，所以 f(x)在(一，+)上单调增加 因为 f“(x)=一，当 x0 时，f“(x)0；当 x0 时，f“(x)0，则 y=f
13、(x)在(一，0)的图形是凹的，y=f(x)在(0，+)内是凸的，(0，0)为 y=f(x)的拐点 因为 f(x)=一 f(x)，所以 f(x)为奇函数 由 )解析：21.证明：当 x0 时， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 (t)=ln(x+t)，由拉格朗日中值定理得 )解析：22.设 0a1，证明：方程 arctanx=ax 在(0，+)内有且仅有一个实根（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：23.设 f(x)在0，上连续，在(0，)内可导，证明：至少存在一点 (0，)，使得 f“()=一f()cot（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 (x)=f(x)
14、sinx，(0)=()=0， 由罗尔定理，存在 (0，)，使得“()=0， 而 “(x)=f“(x)sinx+f(x)cosx， 于是 f“()sin+f()cos=0，故 f“()=f()cos)解析：24.设 f(x)，g(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 f(a)=f(b)=0，证明：存在 (a，b)，使得f“()+f()g“()=0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 (x)=f(x)e g(x) ， 由 f(a)=f(b)=0 得 (a)=(b)=0，则存在 (a，b)，使得 “()=0， 因为 “(x)=e g(x) f“(x)+f(x)g“(x)且 e g(x)
15、 0，所以 f“()+f()g“()=0)解析：25.设 f(x)在0，3上连续，在(0，3)内二阶可导，且 2f(0)= 0 2 f(t)dt=f(2)+f(3) 证明：(1) 1 ， 2 (0，3)，使得 f“( 1 )=f“( 2 )=0 (2)存在 (0，3)，使得 f“()一 2f“()=0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)令 F(x)= 0 x f(t)dt，F“(x)=f(x)， 0 2 (t)dt=F(2)一 F(0)=F“(c)(2一 0)=2f(c)，其中 0c2 因为 f(x)在2，3上连续，所以 f(x)在2，3上取到最小值 m 和最大值M， m M， 由
16、介值定理，存在 x 0 2，3，使得 f(x 0 )= ，即 f(2)+f(3)=2f(x 0 )， 于是 f(0)=f(c)=f(x 0 )， 由罗尔定理，存在 1 (0，c) (0，3)，使得 f“( 1 )=f“( 2 )=0 (2)令 (x)=e 2x f“(x)，( 1 )=( 2 )=0， 由罗尔定理，存在 ( 1 ， 2 ) )解析：26.设 f(x)在1，2上连续，在(1，2)内可导，且 f(x)0(1x2)，又 存在，证明： (1)存在(1，2)，使得 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)令 h(x)=lnx，F(x)= 1 x f(t)dt，且 F“(x)=f(x)0， )解析：27.设 f(x)在a，b上二阶可导且 f“(x)0，证明：f(x)在(a，b)内为凹函数（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对任意的 x 1 ，x 2 (a，b)旦 x 1 x 2 ，取 x 0 = ，由泰勒公式，得 f(x)=f(x 0 )+f“(x 0 )(x 一 x 0 )+ (xx 0 ) 2 ，其中 介于 x 0 与 x 之间 因为 f“(x)0，所以 f(x)f(x 0 )+f(x 0 )(xx 0 )，“=”成立当且仅当“x=x 0 ”， )解析：
