1、考研数学一（高等数学）-试卷 19 及答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.当 x0 时，下列四个无穷小中，比其他三个高阶的无穷小是( )（分数：2.00）A.x 2B.1-cosx。C.D.x-tanx。3.设函数 f(u)可导，y=f(x 2 )。当自变量 x 在 x=-1 处取得增量x=-01 时，相应的函数增量y 的线性主部为 01，则 f“(1)等于( )（分数：2.00）A.-1。B.01。C.1。D.05。4.已知函数 y=f(x)对一切
2、x 均满足 xf(x)+3xf“(x) 2 =1-e -x ，若 f“(x 0 )=0(x 0 0)，则( )（分数：2.00）A.f(x 0 )是 f(x)的极大值。B.f(x 0 )是 f(x)的极小值。C.(x 0 ，f(x 0 )是曲线 y=f(x)的拐点。D.f(x 0 )不是 f(x)的极值，(x 0 ，f(x 0 )也不是曲线 y=f(x)的拐点。5.曲线 y=e -x sinx(0x3)与 x 轴所围成的平面图形的面积可表示为( ) （分数：2.00）A.B.C.D.6.已知 a，b 均为非零向量，(a+3b)(7a-5b)，(a-4b)(7a-2b)，则向量 a 与 b 的夹
3、角为( ) （分数：2.00）A.B.C.D.7.设 （分数：2.00）A.不连续。B.连续但两个偏导数不存在。C.两个偏导数存在但不可微。D.可微。8.已知曲线积分 +f(x)-x 2 dy 与路径无关，其中 f(x)有连续一阶导数，f(0)=1，则 （分数：2.00）A.3e+1。B.3e+5。C.3e+2。D.3e-5。9.如果级数 都发散，则( ) （分数：2.00）A.B.C.D.10.设 f(x)具有一阶连续导数，f(0)=0，du(x，y)=f(x)ydx+sinx-f(x)dy，则 f(x)等于( )（分数：2.00）A.cosx+sinx-1。B.C.cosx-sinx+xe
4、 x 。D.cosx-sinx+xe -x 。二、填空题(总题数：8，分数：16.00)11.= 1。 （分数：2.00）填空项 1:_12.已知 （分数：2.00）填空项 1:_13.曲线 （分数：2.00）填空项 1:_14.设 f(x)=max1，x 2 ，则 （分数：2.00）填空项 1:_15.点 M 1 (1，2，3)到直线 （分数：2.00）填空项 1:_16.已知曲线 L 为曲面 z= 与 x 2 +y 2 =1 的交线，则 （分数：2.00）填空项 1:_17.幂级数 （分数：2.00）填空项 1:_18.微分方程 y“-4y=e 2x 的通解为 1。（分数：2.00）填空项
5、 1:_三、解答题(总题数：9，分数：18.00)19.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_20.设数列x n 满足 0x 1 ，x n+1 =sin n (n=1，2，)。 ()证明 存在，并求该极限； ()计算 （分数：2.00）_21.设函数 f(x)，g(x)在a，b上连续，在(a，b)内具有二阶导数且存在相等的最大值，f(a)=g(a)，f(b)=g(b)，证明存在 (a，b)，使得 f“()=g“()。（分数：2.00）_22.设 f(x)在区间a，b上可导，且满足 （分数：2.00）_23.设 y=y(z)，z=z(x)是由方程 z=xf(x+y)和
6、 r(x，y，z)=0 所确定的函数，其中 f 和 F 分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求 （分数：2.00）_24.求z在约束条件 （分数：2.00）_25.计算二重积分 ，其中 D=(x，y)0y1， （分数：2.00）_26.设函数 (y)具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线 L 上，曲线积分 的值恒为同一常数。()证明对右半平面 x0 内的任意分段光滑简单闭曲线 C，有 （分数：2.00）_27.设有正项级数 是它的部分和。()证明 收敛；()判断级数 （分数：2.00）_考研数学一（高等数学）-试卷 19 答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题
7、(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.当 x0 时，下列四个无穷小中，比其他三个高阶的无穷小是( )（分数：2.00）A.x 2B.1-cosx。C.D.x-tanx。 解析：解析：利用等价无穷小代换。 由于 x0 时，3.设函数 f(u)可导，y=f(x 2 )。当自变量 x 在 x=-1 处取得增量x=-01 时，相应的函数增量y 的线性主部为 01，则 f“(1)等于( )（分数：2.00）A.-1。B.01。C.1。D.05。 解析：解析：由微分的定义可知，函数 f(x)在 x 0 点处的增量y 的
8、线性主部即为函数 f(x)在该点处的微分 4.已知函数 y=f(x)对一切 x 均满足 xf(x)+3xf“(x) 2 =1-e -x ，若 f“(x 0 )=0(x 0 0)，则( )（分数：2.00）A.f(x 0 )是 f(x)的极大值。B.f(x 0 )是 f(x)的极小值。 C.(x 0 ，f(x 0 )是曲线 y=f(x)的拐点。D.f(x 0 )不是 f(x)的极值，(x 0 ，f(x 0 )也不是曲线 y=f(x)的拐点。解析：解析：由 f“(x 0 )=0 知，x=x 0 是 y=f(x)的驻点。将 x=x 0 代入方程，得 x 0 f“(x 0 )+3x 0 f“(x 0
9、) 2 = 5.曲线 y=e -x sinx(0x3)与 x 轴所围成的平面图形的面积可表示为( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：当 0x 或 2x3 时，y0；当 x2 时，y0。所以 y=e -x sinx(0x3)与 x 轴所围成的平面图形的面积为 6.已知 a，b 均为非零向量，(a+3b)(7a-5b)，(a-4b)(7a-2b)，则向量 a 与 b 的夹角为( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：由题设知 (1)-(2)得 (1)8+(2)15 得 从而有a=b，cosa，b=7.设 （分数：2.00）A.不连续。B.连续但两个偏导数不存在。C.
10、两个偏导数存在但不可微。D.可微。 解析：解析：由8.已知曲线积分 +f(x)-x 2 dy 与路径无关，其中 f(x)有连续一阶导数，f(0)=1，则 （分数：2.00）A.3e+1。B.3e+5。C.3e+2。D.3e-5。 解析：解析：曲线积分 +f(x)-x 2 dy 与路径无关，则 f(x)=f“(x)-2x，即 f“(x)-f(x)=2x。 f(x)=e dx 2xe -dx dx+C=e x 2xe -x dx+C =e x -2e -x -2xe -x +C， 由 f(0)=1 知，C=3，故 f(x)=3e x -2x-2。 因此 9.如果级数 都发散，则( ) （分数：2.
11、00）A.B.C.D. 解析：解析：由于 a n 发散，而a n a n +b n ，故 10.设 f(x)具有一阶连续导数，f(0)=0，du(x，y)=f(x)ydx+sinx-f(x)dy，则 f(x)等于( )（分数：2.00）A.cosx+sinx-1。B. C.cosx-sinx+xe x 。D.cosx-sinx+xe -x 。解析：解析：由 du(x，y)=f(x)ydx+sinx-f(x)d)，知 f(x)=cosx-f“(x)，即 f“(x)+f(x)=cosx。因此 f(x)=e -dx (cosxe dx dx+C)=e -x (cosxe x dx+C)= (cosx
12、e+sinxe x +C) 由 f(0)=0得 C=-1，所以 f(x)= 二、填空题(总题数：8，分数：16.00)11.= 1。 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：因为 x0 时，12.已知 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：13.曲线 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：设所求斜渐近线方程为 y=ax+b。因为 所以所求斜渐近线方程为14.设 f(x)=max1，x 2 ，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由题意可知 f(x)= 当 x
13、-1 时， 当-1x1 时， 当 x1 时， 所以15.点 M 1 (1，2，3)到直线 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：直线 L 过点 M 0 (0，4，3)，方向向量 l=1，-3，-2， =1，-2，0，则点 M 1 到直线 L 的距离为 且有 因此点 M 1 到 L 的距离为 16.已知曲线 L 为曲面 z= 与 x 2 +y 2 =1 的交线，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：将 x 2 +y 2 =1 代入 z= ，得 z=1。则曲线 L 的参数方程为 17.幂级数 （分数：2.00）填空项 1:_
14、（正确答案：正确答案：*）解析：解析：根据收敛半径的判断方法，有 由于该幂级数缺奇数项，所以 R=18.微分方程 y“-4y=e 2x 的通解为 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：对应齐次微分方程的特征方程为 r 2 -4=0，解得 r 1 =2，r 2 =-2。 故 y“-4y=0 的通解为 y 1 =C 1 e -2x +C 2 e 2x 。 由于非齐次项 f(x)=e 2x ，=2 为特征方程的单根，所以原方程的特解可设为 y * =Axe 2x ，代 入原方程可求出 A= 故所求通解为 三、解答题(总题数：9，分数：18.00)19.解答题解答
15、应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：20.设数列x n 满足 0x 1 ，x n+1 =sin n (n=1，2，)。 ()证明 存在，并求该极限； ()计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()0x 1 ，则 0x 2 =sinx 1 1。 由数学归纳法知 0x n+1 =sinx n 1，n=1，2，即数列x n 有界。 于是 (因当 x0 时，sinxx)，则有 x n+1 x n ，可见数列x n 单调减少，故由单凋减少有下界数列必有极限知，极限 存在。 设 ，在 x n+1 =sinx n 两边令 n，得 l=sinl，解得 l=0，即 =0。 (
16、)因 ，由()知该极限为 1 型。 令 t=x n ，则 n，t0，而 )解析：21.设函数 f(x)，g(x)在a，b上连续，在(a，b)内具有二阶导数且存在相等的最大值，f(a)=g(a)，f(b)=g(b)，证明存在 (a，b)，使得 f“()=g“()。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：构造辅助函数 F(x)=f(x)-g(x)，由题设有 F(a)=F(b)=0。又 f(x)，g(x)在(a，b)内具有相等的最大值，不妨设存在 x 1 x 2 ，x 1 ，x 2 (a，b)使得 若 x 1 =x 2 ，令 c=x 2 ，则 F(c)=0。 若 x 1 x 2 ，因 F(x 1
17、)=f(x 1 )-g(x 1 )0，F(x 2 )=f(x 2 )-g(x 2 )0， 从而存在 cx 1 ，x 2 (a，b)，使 F(c)=0。 在区间a，c，c，b上分别利用罗尔定理知，存在 1 (a，c)， 2 (c，b)，使得 F“( 1 )=F“( 2 )=0， 再对 F“(x)在区间 1 ， 2 上应用罗尔定理，知存在 ( 1 ， 2 ) )解析：22.设 f(x)在区间a，b上可导，且满足 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 f(x)在区间a，b上可导，知 f(x)在区间a，b上连续，从而 F(x)=f(x)cosx在a， 上连续，由积分中值定理可知存在一点 c 使
18、得 在c，b上，由罗尔定理得至少存在一点 (c，b) )解析：23.设 y=y(z)，z=z(x)是由方程 z=xf(x+y)和 r(x，y，z)=0 所确定的函数，其中 f 和 F 分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：分别在 z=xf(x+y)和 F(x，y，z)=0 的两端对 x 求导，得 整理后得 解得)解析：24.求z在约束条件 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：z的最值点与 z 2 的最值点一致，用拉格朗日乘数法，令 F(x，y，z，)=z 2 +(x 2 +9y 2 -2z 2 )+(x+3y+3z-5)， 由 当 x=1，y
19、= 时，z=1 最小；当 x=-5，y= )解析：25.计算二重积分 ，其中 D=(x，y)0y1， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：积分区域 D 的图形如图 1-6-6 所示。 )解析：26.设函数 (y)具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线 L 上，曲线积分 的值恒为同一常数。()证明对右半平面 x0 内的任意分段光滑简单闭曲线 C，有 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()如图 1-6-12 所示，将 C 分解为：C=l 1 +l 2 ，另作一条曲线 l 3 围绕原点且与 C 相接，根据题设条件则有 ()设 P= ，P，Q 在单连通区域 x0 内，具有一阶连续偏导数。由()知，曲线积分 在该区域内与路径无关，故当 x0 时，总有 比较(1)、(2)两式的右端，得 )解析：27.设有正项级数 是它的部分和。()证明 收敛；()判断级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()设 T n 为 的部分和，则 ()对已知级数取绝对值 因正项级数的部分和数列S n 单调上升，将上式放缩 由()可知 )解析：
