1、考研数学一（高等数学）-试卷 17 及答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.把 x0 + 时的无穷小量 = （分数：2.00）A.，。B.，。C.，。D.，。3.设函数 f(x)对任意的 x 均满足等式 f(1+x)=af(x)，且有 f“(0)=b，其中 a，b 为非零常数，则( )（分数：2.00）A.f(x)在 x=1 处不可导。B.f(x)在 x=1 处可导，且 f“(1)=a。C.f(x)在 x=1 处可导，且 f“(1)=b。D.f(x)在
2、x=1 处可导，且 f“(1)=ab。4.设函数 f(x)满足关系式 f“(x)+f“(x) 2 =x，且 f“(0)=0，则( )（分数：2.00）A.f(0)是 f(x)的极大值。B.f(0)是 f(x)的极小值。C.(0，f(0)是曲线 y=f(x)的拐点。D.f(0)不是 f(x)的极值，(x，f(0)也不是曲线 y=f(x)的拐点。5.由曲线 (0x)与 x 轴围成的平面图形绕 x 轴旋转一周而成的旋转体体积为( ) （分数：2.00）A.B.C.D.6.已知向量 a，b 的模分别为a=2，b= ，且 a.b=2，则ab=( ) （分数：2.00）A.B.C.D.7.函数 f(x，y
3、)在点(0，0)可微的充分条件是( ) （分数：2.00）A.B.C.D.8.设曲线积分 -e x sinydx-f(x)cosydy 与路径无关，其中 f(x)具有一阶连续导数，且 f(0)=0，则 f(x)等于( ) （分数：2.00）A.B.C.D.9.设正项级数 （分数：2.00）A.绝对收敛。B.条件收敛。C.发散。D.敛散性与 有关。10.已知 y 1 (x)和 y 2 (x)是方程 y“+p(x)y=0 的两个不同的特解，则方程的通解为( )（分数：2.00）A.y=Cy 1 (x)。B.y=Cy 2 (x)。C.y=C 1 y 1 (x)+C 2 y 2 (x)。D.y=Cy
4、1 (x)-y 2 (x)。二、填空题(总题数：8，分数：16.00)11.设 a0，a1，且 （分数：2.00）填空项 1:_12.已知 （分数：2.00）填空项 1:_13.设 y=y(x)由参数方程 （分数：2.00）填空项 1:_14.= 1。 （分数：2.00）填空项 1:_15.两个平行平面 1 ：2x-y-3z+2=0， 2 ：2x-y-3z-5=0 之间的距离是= 1。（分数：2.00）填空项 1:_16.设 L 为正向圆周 x 2 +y 2 =2 在第一象限中的部分，则曲线积分 （分数：2.00）填空项 1:_17.幂级数 （分数：2.00）填空项 1:_18.若函数 f(x
5、)满足方程 f“(x)+f“(x)-2f(x)=0 及 f“(x)+f(x)=2e x ，则 f(x)= 1。（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：18.00)19.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_20.证明：()对任意正整数 n，都有 成立； ()设 （分数：2.00）_21.()证明拉格朗日中值定理：若函数 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，则存在 (a，b)，使得 f(b)-f(a)=f“()(b-a)； ()证明：若函数 f(x)在 x=0 处连续，在(0，)(0)内可导，且 （分数：2.00）_22.设 y=f(x)
6、是区间0，1上的任一非负连续函数。 ()试证存在 x 0 (0，1)，使得在区间0，x 0 上以 f(x 0 )为高的矩形面积等于在区间x 0 ，1上以 y=f(x)为曲边的梯形面积； ()又设 f(x)在区间(0，1)内可导，且 f“(x)- （分数：2.00）_23.设 z=f(x，y)，x=g(y，z)+ ，其中 f，g， 在其定义域内均可微，求 （分数：2.00）_24.过椭圆 3x 2 +2xy+3y 2 =1 上任意一点作椭圆的切线，试求该切线与两坐标轴所围成的三角形面积的最小值。（分数：2.00）_25.计算积分 （分数：2.00）_26.设在上半平面 D=(x，y)y0内，函数
7、 f(x，y)具有连续偏导数，且对任意的 t0 都有 f(tx，ty)=t -2 f(，y)。证明对 D 内的任意分段光滑的有向简单闭曲线 L，都有 （分数：2.00）_27.求幂级数 （分数：2.00）_考研数学一（高等数学）-试卷 17 答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.把 x0 + 时的无穷小量 = （分数：2.00）A.，。B.，。 C.，。D.，。解析：解析：因为 3.设函数 f(x)对任意的 x 均满足等式 f(1+x)=af(x)
8、，且有 f“(0)=b，其中 a，b 为非零常数，则( )（分数：2.00）A.f(x)在 x=1 处不可导。B.f(x)在 x=1 处可导，且 f“(1)=a。C.f(x)在 x=1 处可导，且 f“(1)=b。D.f(x)在 x=1 处可导，且 f“(1)=ab。 解析：解析：因 且由 f“(0)=b 可知4.设函数 f(x)满足关系式 f“(x)+f“(x) 2 =x，且 f“(0)=0，则( )（分数：2.00）A.f(0)是 f(x)的极大值。B.f(0)是 f(x)的极小值。C.(0，f(0)是曲线 y=f(x)的拐点。 D.f(0)不是 f(x)的极值，(x，f(0)也不是曲线
9、y=f(x)的拐点。解析：解析：在题设等式两端对 x 求导，得 f“(x)+2f“(x)f“(x)=1。 令 x=0 可得 f“(0)=1(因由上式可推得 f“(x)连续)。又 f“(0)=0，由拐点的充分条件可知，(0，f(0)是曲线 y=f(x)的拐点。故选C。5.由曲线 (0x)与 x 轴围成的平面图形绕 x 轴旋转一周而成的旋转体体积为( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：由曲线 y=f(x)绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积计算公式，得6.已知向量 a，b 的模分别为a=2，b= ，且 a.b=2，则ab=( ) （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：a.
10、b=abcosa，b= cosa，b=2，则 cosa，b= 故 ab=absina，b=7.函数 f(x，y)在点(0，0)可微的充分条件是( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：由 8.设曲线积分 -e x sinydx-f(x)cosydy 与路径无关，其中 f(x)具有一阶连续导数，且 f(0)=0，则 f(x)等于( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：曲线积分 L f(x)-e x sinydx-f(x)cosydy 与路径无关，则f(x)-e x cosy=-f“(x)cosy，即 f“(x)+f(x)=e x 。所以有 9.设正项级数 （分数：2
11、.00）A.绝对收敛。 B.条件收敛。C.发散。D.敛散性与 有关。解析：解析：因为 而由正项级数10.已知 y 1 (x)和 y 2 (x)是方程 y“+p(x)y=0 的两个不同的特解，则方程的通解为( )（分数：2.00）A.y=Cy 1 (x)。B.y=Cy 2 (x)。C.y=C 1 y 1 (x)+C 2 y 2 (x)。D.y=Cy 1 (x)-y 2 (x)。 解析：解析：由于 y 1 (x)和 y 2 (x)是方程 y“+p(x)y=0 的两个不同的特解，所以 y 1 (x)-y 2 (x)为该方程的一个非零解，则 y=Cy 1 (x)-y 2 (x)为该方程的通解。二、填空
12、题(总题数：8，分数：16.00)11.设 a0，a1，且 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：12.已知 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：13.设 y=y(x)由参数方程 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：由题干可知 因此，y=y(x)的曲率14.= 1。 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：原式=15.两个平行平面 1 ：2x-y-3z+2=0， 2 ：2x-y-3z-5=0 之间的距离是= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：
13、正确答案：*）解析：解析：在平面上任取一点 P 0 (-1，0，0)，则平行平面 1 到 2 的距离转化为点 P 0 到平面 2 的距离，利用点到平面的距离公式，则有 16.设 L 为正向圆周 x 2 +y 2 =2 在第一象限中的部分，则曲线积分 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：正向圆周 x 2 +y 2 =2 在第一象限中的部分，可表示为 17.幂级数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：4，6)）解析：解析：幂级数的系数为 a n = ，则有 因此幂级数的收敛半径为 R=1。 当 x=4 时，原级数为 ，该级数收敛，当 x=6
14、时，原级数为 18.若函数 f(x)满足方程 f“(x)+f“(x)-2f(x)=0 及 f“(x)+f(x)=2e x ，则 f(x)= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：e z）解析：解析：齐次微分方程 f“(x)+f“(x)-2f(x)=0 的特征方程为 r 2 +r-2=0，特征根为 r 1 =1， r 2 =-2，该齐次微分方程的通解为 f(x)=C 1 e x +C 2 e -2x 。 再由 f“(x)+f(x)=2e x 得 2C 1 e x +5C 2 e -2x =2e x ， 比较系数可得 C 1 =1，C 2 =0。故 f(x)=e x 。三、解
15、答题(总题数：9，分数：18.00)19.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：20.证明：()对任意正整数 n，都有 成立； ()设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()令 =x，则原不等式可化为 先证明 ln(1+x)x，x0。 令 f(x)=x-ln(1+x)。由于 可知 f(x)在 0，+)上单调递增。又由于 f(0)=0，所以当 x0 时 f(x)f(0)=0。也即 ln(1+x)x，x0。 再证明 ln(1+x)，x0。 令 g(x)=ln(1+x)- 。由于 可知 g(x)在0，+)上单调递增。又因 g(0)=0，所以当 x0 时，g(
16、x)g(0)=0。即 再代入 ，即可得到所需证明的不等式。 )解析：21.()证明拉格朗日中值定理：若函数 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，则存在 (a，b)，使得 f(b)-f(a)=f“()(b-a)； ()证明：若函数 f(x)在 x=0 处连续，在(0，)(0)内可导，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()作辅助函数 (x)=f(x)-f(a)- (x-a)，易验证 (x)满足：(a)=(b)；(x)在闭区间a，b上连续，在开区间(a，b)内可导，且 根据罗尔定理，可得至少有一点 (a，b)，使 “()=0，即 所以 f(b)-f(a)=f“()(b-a)。 (
17、)任取 x 0 (0，)，则函数 f(x)在闭区间0，x 0 上连续，开区间(0，x 0 )内可导，因此由拉格朗日中值定理可知，存在 (0，)，使得 )解析：22.设 y=f(x)是区间0，1上的任一非负连续函数。 ()试证存在 x 0 (0，1)，使得在区间0，x 0 上以 f(x 0 )为高的矩形面积等于在区间x 0 ，1上以 y=f(x)为曲边的梯形面积； ()又设 f(x)在区间(0，1)内可导，且 f“(x)- （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()本题可转化为证明 x 0 f(x 0 )= ，则 (x)在闭区间0，1上是连续的，在开区间(0，1)上是可导的，又因为 (0)=
18、(1)=0，根据罗尔定理可知，存在 x 0 (0，1)，使得“(x 0 )=0，即 ()令 F(x)=xf(x)- )解析：23.设 z=f(x，y)，x=g(y，z)+ ，其中 f，g， 在其定义域内均可微，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 z=f(x，y)，有 dz=f“ 1 dx+f“ 2 dy。 由 x=g(y，z)+ 有 解得 代入出表达式中，得 )解析：24.过椭圆 3x 2 +2xy+3y 2 =1 上任意一点作椭圆的切线，试求该切线与两坐标轴所围成的三角形面积的最小值。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设(x，y)为所给椭圆上任一点，则可求得在(x，y)
19、处的切线方程为 (3x+y)(X-x)+(x+3y)(Y-y)=0， 它与两坐标轴的交点为 。所以切线与坐标轴围成的三角形面积为 本题转化为求(3x+y)(z+3y)在条件 3x 2 +2xy+3y 2 =1 下的极值。设 F(x，y，)=(3x+y)(x+3y)+(3x 2 +2xy+3y 2 -1)， 所以该切线与坐标轴所围成的三角形面积的最小值 )解析：25.计算积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：如图所示，二重积分的积分区域为 D，D 1 是 D 的第一象限部分，由对称性，得 )解析：26.设在上半平面 D=(x，y)y0内，函数 f(x，y)具有连续偏导数，且对任意的 t
20、0 都有 f(tx，ty)=t -2 f(，y)。证明对 D 内的任意分段光滑的有向简单闭曲线 L，都有 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：在等式 f(tx，ty)=t -2 f(x，y)两边对 t 求导得 xf“ 1 (tx，ty)+yf“ 2 (tx，ty)=-2t -3 f(x，y)， 令 t=1，则 xf“ 1 (x，y)+xf“ 2 (x，y)=-2f(x，y)， (*) 设 P(x，y)=yf(x，y)，Q(x，y)=-xf(x，y)，则 由曲线积分与路径无关的定理可知，对 D 内的任意分段光滑的有向简单闭曲线 L，都有 )解析：27.求幂级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 所以收敛半径为 R=3，相应的收敛区间为(-3，3)。 当 x=3 时，由于且 发散，所以原级数在点 x=3 处发散。 当 x=-3 时，由于 且 )解析：
