1、考研数学一（高等数学）-试卷 147 及答案解析(总分：44.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：8，分数：16.00)1.设 D 为两个圆 x 2 y 2 1 及(x 一 2) 2 y 2 4 的公共部分，则 （分数：2.00）填空项 1:_2.设 D 为 yx 3 及 x一 1，y1 所围成的区域，则 I （分数：2.00）填空项 1:_3.I （分数：2.00）填空项 1:_4.设 D：0x1，0y1，则 I （分数：2.00）填空项 1:_5.设 I 1 ，I 2 ，I 3 （分数：2.00）填空项 1:_6.设 D 为圆域 x 2 y 2 x，则 I （分数：2.00）填
2、空项 1:_7.设 L 是正方形边界：xya(a0)，则 I （分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_8.设为平面 yz5 被柱面 x 2 y 2 25 所截得的部分，则曲面积分 I （分数：2.00）填空项 1:_二、解答题(总题数：11，分数：28.00)9.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_10.若函数 f(x，y)对任意正实数 t，满足 f(tx，ty)t n f(x，y)， (*) 称 f(x，y)为 n 次齐次函数设 f(x，y)是可微函数，证明：f(x，y)为 n 次齐次函数 （分数：2.00）_11.计算 I （分数：2.00）_12.计算，I （分数：2.
3、00）_13.计算 I ，其中 D：1x 2 y 2 9， y （分数：2.00）_14.计算 I （分数：2.00）_15.计算 I （分数：2.00）_16.计算 I （分数：2.00）_17.设 a0 为常数，求积分 I （分数：2.00）_改变二重积分的累次积分的顺序（分数：8.00）(1).f(x，y)dy， f(x，y)dy； （分数：2.00）_(2).f(x，y)dy， f(x，y)dy； （分数：2.00）_(3).f(x，y)dy； （分数：2.00）_(4).极坐标系下的累次积 （分数：2.00）_求下列二重积分的累次积分（分数：4.00）(1). （分数：2.00）_(
4、2). （分数：2.00）_考研数学一（高等数学）-试卷 147 答案解析(总分：44.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：8，分数：16.00)1.设 D 为两个圆 x 2 y 2 1 及(x 一 2) 2 y 2 4 的公共部分，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：D 关于 x 轴对称，被积函数对 y 为奇函数2.设 D 为 yx 3 及 x一 1，y1 所围成的区域，则 I （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：D 如图 91 所示添加辅助线 y一 x 3 (x0)，将 D 分解成 DD 1 D 2 ，
5、其中 D 1 关于 y 轴对称，D 2 关于 x 轴对称，被积函数对 x，y 均为奇函数 3.I （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：区域如图 92 所示，由对称性与奇偶性 其中 D 1 ：0y1x，0x1 于是 4.设 D：0x1，0y1，则 I （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：D 关于直线 yx 对称 与原式相加5.设 I 1 ，I 2 ，I 3 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：I 3 I 1 I 2）解析：解析：比较，I 1 与 I 2 ，被积函数是相同的连续非负函数，积分区域圆域(x 2
6、 y 2 1)包含在正方形区域(x1，y1)中 I 1 I 2 比较 I 1 与 I 3 ，积分区域相同，被积函数均是连续的，比较它们知 x 4 y 4 2x 2 y 2 6.设 D 为圆域 x 2 y 2 x，则 I （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：D 如图 93用极坐标变换，D 的极坐标表示： 于是7.设 L 是正方形边界：xya(a0)，则 I （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析：L 如图 94，它关于 x(或 y)轴对称，f(x，y)xy 对 y(或 x)为奇函数 L 关于直线y
7、x 对称(变量的轮换对称性) J L xds L yds 8.设为平面 yz5 被柱面 x 2 y 2 25 所截得的部分，则曲面积分 I （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：用的方程简化被积表达式得 其中 xdS0，因为关于 yz 平面对称，被积函数x 对 z 为奇函数 的一个单位法向量 n(cos，cos，cos) (0，1，1)，的面积 因此 I5的面积125二、解答题(总题数：11，分数：28.00)9.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：10.若函数 f(x，y)对任意正实数 t，满足 f(tx，ty)t n f(x，y)， (*
8、) 称 f(x，y)为 n 次齐次函数设 f(x，y)是可微函数，证明：f(x，y)为 n 次齐次函数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 f(x，y)是 n 次齐次函数，按定义，得 f(tx，ty)t n f(x，y)( t0)为恒等式将该式两端对 t 求导，得 xf 1 (tx，ty)yf 2 (tx，ty)nt n1 f(x，y)( t0)，令 t1，则 xf x (x，y)yf y (x，y)nf(x，y) 现设上式成立考察 (t) ，由复合函数求导法则可得 (t) xf 1 (txty)yf 2 (tx，ty) f(tx，ty) )解析：11.计算 I （分数：2.00）_
9、正确答案：(正确答案：ylnx 与 y(e1)一 x 的交点是(e，1)，D 如图 95 所示，在 Oxy 坐标系中选择先 x 后 y 的积分顺序(D 不必分块)得 )解析：12.计算，I （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：D 如图 96 所示，D 关于 y 轴对称，被积函数对 x 为偶函数 其中 D 1 Dx0选择先 x 后 y 的积分顺序 )解析：13.计算 I ，其中 D：1x 2 y 2 9， y （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 xrcos，yrsin，则 D：1r3， 于是 )解析：14.计算 I （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(内层积分作变量替换后
10、用分部积分法) )解析：15.计算 I （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：D 关于 x，y 轴均对称，它在第一象限部分记为 D 1 ，如图 98 )解析：16.计算 I （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：极坐标变换 xrcos，yrsinD： )解析：17.设 a0 为常数，求积分 I （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：D 是圆域(如图 910)： 作极坐标变换 xrcos，yrsin，并由 D关于 x 轴对称，x 轴上方部 分为 D 1 ：0 ，0racos 于是 )解析：改变二重积分的累次积分的顺序（分数：8.00）(1).f(x，y)dy， f(x，y)dy； （
11、分数：2.00）_正确答案：(正确答案：如图 911 所示 原式 f(x，y)dxddy f(x，y)dx )解析：(2).f(x，y)dy， f(x，y)dy； （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：如图 912 所示 原式 )解析：(3).f(x，y)dy； （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：如图 913 所示当 x0，t 2 时， t(t0)，于是 )解析：(4).极坐标系下的累次积 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：在直角坐标系 Or 中画出 D的草图(如图 914) 原积分 f(rcos，rsin)drd 由 r 得 r 2 sin2 r 2 sin2sin(2) 于是 2arcsinr 2 ， arcsinr 2 因此 原积分 f(rcos，rsin)rd )解析：求下列二重积分的累次积分（分数：4.00）(1). （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：如图 91 5 所示 )解析：(2). （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：如图 916 所示 R 2 ln(1R 2 )R 2 ln(1R 2 ) (1R 2 )ln(1R 2 )R 2 )解析：
