1、考研数学三-176 及答案解析(总分：149.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设函数 f(x)有二阶连续导数， （分数：4.00）A.B.C.D.2.设 f(0，0)=0，当(x，y)(0，0)时，f(x，y)为如下形式之一，则 f(x，y)在(0，0)处可偏导的是_。A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.3.累次积分 rdr 可以写成_。A BC D （分数：4.00）A.B.C.D.4.设 0p1，级数 （分数：4.00）A.B.C.D.5.设 A，B 是 n 阶可逆矩阵，满足 AB=A+B，则下面命题中正确的是_。|A+B|=|A|B
2、| (AB) -1=A-1B-1(A-E)X=0 只有零解 B-E 不可逆A1 B2 C3 D4（分数：4.00）A.B.C.D.6.已知线性方程组 AX=k 1+ 2有解，其中 A= （分数：4.00）A.B.C.D.7.设 A、B、C 为事件，P(ABC)0，如果 P(AB|C)=P(A|C)P(B|C)，则_。AP(C|AB)=P(C|A) BP(C|AB)=P(C|B)CP(B|AC)=P(B|A) DP(B|AC)=P(B|C)（分数：4.00）A.B.C.D.8.设 X1，X 2，X n是总体 N(0，1)的简单随机样本，记 ，T= （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总
3、题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）填空项 1:_10.设 f(x，y)存在一阶偏导数，且 f(1，1)=1，f x(1，1)=2，f y(1，1)=1，又 (x)=f(x，f(x，f(x，x)，则 (1)=_。（分数：4.00）填空项 1:_11.设 y=y(x)是由 sin(xy)= （分数：4.00）填空项 1:_12.幂级数 （分数：4.00）填空项 1:_13.设 A 是三阶矩阵，有特征值 1=1， 2=-1， 3=2。A *是 A 的伴随矩阵，E 是三阶单位阵，则（分数：4.00）填空项 1:_14.已知随机变量 X 的概率分布为 ，(k=1，2，3)，当 X=k
4、时随机变量 Y 在(0，k)上服从均匀分布，即 （分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：93.00)15.设函数 f(x)在点 x=0 处二阶可导，且满足 （分数：10.00）_16.计算二重积分 ，其中积分区域 D 由 y 轴与曲线 y= ，y= （分数：10.00）_17.设生产某种产品需投入甲、乙两种原料，x 和 y 分别为甲、乙两种原料的投入量(单位：吨)，Q 为产出量，且生产函数为 Q=kx y ，其中常数 k0，0，0。已知甲种原料每吨的价格为 P1(单位：万元)，乙种原料每吨的价格为 P2(单位：万吨)。如果投入总价值为 A(万元)的这两种原料，当每种原料各
5、投入多少吨时，才能获得最大的产出量?（分数：10.00）_18.设 f(u，v)具有连续偏导数，且 fu(u，v)+f v(u，v)=sin(u+v)e u+v，求 y(x)=e-2xf(x，x)所满足的一阶微分方程，并求其通解。（分数：10.00）_19.设 f(x)在区间a，b上可导，且满足 （分数：11.00）_20.设四维向量组 1=(1，1，4，2) T， 2=(1，-1，-2，b) T， 3=(-3，-1，-9)T，=(1，3，10，a+b) T。问 ()当 a，b 取何值时， 不能由 1， 2， 3线性表出；()当 a，b 取何值时， 能由 1， 2， 3线性表出，并写出此时的表
6、达式。（分数：10.00）_21.设二次型 f(x1，x 2，x 3)=xTAx=3x12+ax22+3x32-4x1x2-8x1x3-4x2x3其中-2 是二次型矩阵 A 的一个特征值。()试用正交变换将二次型 f 化为标准形，并写出所用正交变换；()求 f 在条件 x12+x22+x32=1 下的最小值，并求最小值点(x 1，x 2，x 3)；()如果 A*+kE 是正定矩阵，求 k 的取值。（分数：11.00）_22.设两随机变量(X，Y)在区域 D 上为均匀分布，其中 D=(x，y):|x|+|y|11，又设 U=X+Y，V=X-Y，试求：()U 与 V 的概率密度 fu(u)与 fv
7、(v)；()U 与 V 的协方差 cov(U，V)的相关系数 UV。（分数：11.00）_23.设两随机变(X，Y)的概率密度为 （分数：10.00）_考研数学三-176 答案解析(总分：149.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设函数 f(x)有二阶连续导数， （分数：4.00）A.B. C.D.解析：考点 导数的应用解析 由 =0， (1cosx)=0，得 (f(x)-1)=0，而由 f“(x)连续知 f(x)连续，所以 f(x)=f(0)=1。于是 f(0)= ，所以 x=0 是 f(x)的驻点；又由 ，得2.设 f(0，0)=0，当(x，y)(0
8、，0)时，f(x，y)为如下形式之一，则 f(x，y)在(0，0)处可偏导的是_。A B C D （分数：4.00）A. B.C.D.解析：考点 二元函数的偏导性解析 取 ，则 =0，3.累次积分 rdr 可以写成_。A BC D （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：考点 二重积分解析 由题设可知积分区域在极坐标系 x=rcos，y=rsin 下，是D=(r，)|0 ，0rcos，D 的图形如图所示：它在直角坐标系下是 D=(x，y)|0x1，0y 或 ，因此，这个二重积分在直角坐标下化为累次积分应为 f(x，y)dy 或4.设 0p1，级数 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：考
9、点 级数的敛散性解析 当 0p1 时，由积分中值定理得， n(n，n+1)所以 ， n(n，n+1),而 发散，所以原级数非绝对收敛。又 ，而 n(n，n+1),即5.设 A，B 是 n 阶可逆矩阵，满足 AB=A+B，则下面命题中正确的是_。|A+B|=|A|B| (AB) -1=A-1B-1(A-E)X=0 只有零解 B-E 不可逆A1 B2 C3 D4（分数：4.00）A.B.C. D.解析：考点 矩阵的性质解析 因 A，B 满足 AB=A+B，两边取行列式，显然有|A+B|=|AB|=|A|B|，(1)成立。又 AB=A+B，移项，提公因子得 AB-A=A(B-E)=B，A(B-E)=
10、B-E+E，(A-E)(B-E)=E。故 A-E，B-E 都是可逆阵，且互为逆矩阵。从而知方程组(A-E)X=0 只有零解，(3)正确。B-E 不可逆是错误的，又因(A-E)(B-E)=E，故(B-E)(A-E)=E，从而有 BA-A-B+E=E，BA=A+B，得 AB=BA从而有(AB) -1=(BA)-1=A-1B-1成立。故、是正确的，应选 C。6.已知线性方程组 AX=k 1+ 2有解，其中 A= （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：考点 线性方程组的解解析 将 AX=k 1+ 2的增广矩阵作初等行变换，故 AX=k 1+ 2有解7.设 A、B、C 为事件，P(ABC)0，如果
11、P(AB|C)=P(A|C)P(B|C)，则_。AP(C|AB)=P(C|A) BP(C|AB)=P(C|B)CP(B|AC)=P(B|A) DP(B|AC)=P(B|C)（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：考点 事件间的关系解析 已知 P(AB|C)=P(A|C)P(B|C)意指：“在 C 发生的条件下，A 与 B 独立”。所以“在 C 发生的条件下，A 发生与否不影响 B 发生的概率”，即 P(B|AC)=P(B|C)，故应选 D。我们也可以通过计算来确定选项，事实上：P(AB|C)=P(A|C)P(B|C) P(A|C)P(B|AC)=P(A|C)P(B|C)8.设 X1，X 2，
12、X n是总体 N(0，1)的简单随机样本，记 ，T= （分数：4.00）A.B.C. D.解析：考点 期望解析 ，E(S 2)=1，且 ，S 2相互独立。所以 E(T)=二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：一）解析：考点 方程的零点解析 设 ，则 ，由介值定理知，存在 ，使 f(x0)=0。又 ，而10.设 f(x，y)存在一阶偏导数，且 f(1，1)=1，f x(1，1)=2，f y(1，1)=1，又 (x)=f(x，f(x，f(x，x)，则 (1)=_。（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：7）解析：考点 求复合函数的偏导数
13、解析 由复合函数求导法则，逐层展开有 (x)=f 1+f2f1+f2(f1+f2)，所以 (1)=2+12+1(2+1)=7。11.设 y=y(x)是由 sin(xy)= （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：e-e 4）解析：考点 隐函数的导数解析 在方程中令 x=0 可得 0= ，y(0)=e 2，将方程两边对 x 求导数，得 cos(xy)(y+xy)= ，将 x=0，y(0)=e 2代入，有12.幂级数 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：-1，5)）解析：考点 幂级数的收敛域解析 由公式 ，所以 R=3，收敛区间为(2-3，2+3)，即(-1，5)。再考虑端点 x=
14、-1，x=5 处，在x=-1 处，原级数成为 ，收敛；在 x=5 处，原级数为13.设 A 是三阶矩阵，有特征值 1=1， 2=-1， 3=2。A *是 A 的伴随矩阵，E 是三阶单位阵，则（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：2 11）解析：考点 抽象行列式的计算解析 A 有特征值 1=1， 2=-1， 3=2，故|A|= =-2，|A *|=|A|3-1=4，从而有14.已知随机变量 X 的概率分布为 ，(k=1，2，3)，当 X=k 时随机变量 Y 在(0，k)上服从均匀分布，即 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：考点 全概率公式解析 由题设知 ，根据全概率
15、公式得三、解答题(总题数：9，分数：93.00)15.设函数 f(x)在点 x=0 处二阶可导，且满足 （分数：10.00）_正确答案：(由题设可知 ，从而 f(0)f(0)f“(0) )解析：考点 函数的导数16.计算二重积分 ，其中积分区域 D 由 y 轴与曲线 y= ，y= （分数：10.00）_正确答案：(引入极坐标(r，)满足 x=rcos，y=rsin，在极坐标(r，)中积分区域 D可表示为 ，于是：由于 ，故 )解析：考点 二重积分17.设生产某种产品需投入甲、乙两种原料，x 和 y 分别为甲、乙两种原料的投入量(单位：吨)，Q 为产出量，且生产函数为 Q=kx y ，其中常数
16、k0，0，0。已知甲种原料每吨的价格为 P1(单位：万元)，乙种原料每吨的价格为 P2(单位：万吨)。如果投入总价值为 A(万元)的这两种原料，当每种原料各投入多少吨时，才能获得最大的产出量?（分数：10.00）_正确答案：(本题要求函数 Q=kx y 在条件 P1x+P2y-A=0 下的最大值点，用拉格朗日系数法，构造拉格朗日函数 F(x，y，)=kx y +(P 1x+P2y-A)，由、消去参数 ，即 ，代入不难计算出唯一驻点 ， ，因驻点唯一，且实际问题必存在最大产量，所以计算结果表明，当投入总价值为 A(万元)的甲、乙两种原料时，使产量 Q 最大的甲、乙两种原料的投入量分别是 (吨)与
17、 )解析：考点 微积分在经济中的应用18.设 f(u，v)具有连续偏导数，且 fu(u，v)+f v(u，v)=sin(u+v)e u+v，求 y(x)=e-2xf(x，x)所满足的一阶微分方程，并求其通解。（分数：10.00）_正确答案：(由 y(x)=e-2xf(x，x)，有 y(x)=-2e-2xf(x，x)+e -2xf1(x，x)+f 2(x，x)，又条件 fu(u，v)+f v(u，v)=sin(u+v)e u+v，即 f1(u，v)f 2(u，v)=sin(u+v)e u+v，令 u=x，v=x，得 f1(x，x)+f 2(x，x)=sin(2x)e 2x，于是 y(x)满足一阶
18、线性微分方程 y(x)+2y(x)=sin2x。通解为 ，由分部积分公式，可得 ，所以 y(x)= )解析：考点 微分方程的解19.设 f(x)在区间a，b上可导，且满足 （分数：11.00）_正确答案：(由于 f(x)在a，b上可导，知 f(x)在a，b上连续，从而 F(x)=f(x)cosx 在 上连续，由积分中值定理，知存在一点 c ，使得；在c，b上，由罗尔定理得至少存在一点 (c，b) )解析：考点 微分中值定理20.设四维向量组 1=(1，1，4，2) T， 2=(1，-1，-2，b) T， 3=(-3，-1，-9)T，=(1，3，10，a+b) T。问 ()当 a，b 取何值时，
19、 不能由 1， 2， 3线性表出；()当 a，b 取何值时， 能由 1， 2， 3线性表出，并写出此时的表达式。（分数：10.00）_正确答案：(设 x1 1+x2 2+x3 3=，对增广矩阵 =( 1， 2， 3|)作初等行变换r(A)=3，r(A)=4，方程组无解， 不能由 1， 2， 3线性表出。)解析：考点 向量的线性表示21.设二次型 f(x1，x 2，x 3)=xTAx=3x12+ax22+3x32-4x1x2-8x1x3-4x2x3其中-2 是二次型矩阵 A 的一个特征值。()试用正交变换将二次型 f 化为标准形，并写出所用正交变换；()求 f 在条件 x12+x22+x32=1
20、 下的最小值，并求最小值点(x 1，x 2，x 3)；()如果 A*+kE 是正定矩阵，求 k 的取值。（分数：11.00）_正确答案：(二次型 f 的矩阵由 =-2 是 A 的特征值， ，得到 a=6。由矩阵 A 的特征多项式得到矩阵 A 的特征值是 1= 2=7， 3=-2。对 =7，解齐次方程组(7E-A)x=0 得基础解系 1=(1，-2，0) T， 2=(1，0，-1) T对 =-2，解齐次方程组(-2E-A)x=0 得基础解系 3=(2，1，2) T。因为 1， 2不正交，故需 Schmidt 正交化，有再单位化，则在正交变换 x=Qy 下，有 xTAx=yTAy=7y12+7y2
21、2-2y32。()条件 x12+x22+x32=1，即 xTx=1，而 xTx=(Qy)T(Qy)=yTQTQy=yTy，可知 f 在条件 x12+x22+x32=1 的极小值，即 f 在条件 y12+y22+y32=1 下的极小值。由于 f(x1，x 2，x 3)=xTAx=yTAy=7y12+7y22-2y32-2(y 12+y22+y32)，)解析：考点 二次型22.设两随机变量(X，Y)在区域 D 上为均匀分布，其中 D=(x，y):|x|+|y|11，又设 U=X+Y，V=X-Y，试求：()U 与 V 的概率密度 fu(u)与 fv(v)；()U 与 V 的协方差 cov(U，V)的
22、相关系数 UV。（分数：11.00）_正确答案：(区域 D 是以(-1，0)，(1，0)，(0，1)，(0，-1)为顶点的正方形区域，D 的面积为 2，(X，Y)的联合密度为 f(x，y)= ，此可以利用 f(x，y)的对称性，求 fU(u)和 fV(v)。()U=X+Y，F U(u)=PUu=PX+Yu= 。当 u-1 时，F U(u)=0；当-1u1 时，F U(u)= ；当 u1 时，F U(u)=1， ，V=X-Y，F V(v)=PVv=PX-Yu= 。当 v-1 时，F V(v)=0；当-1v1 时， ；当 v1 时，F V(v)=1， 。()cov(U，V)=E(UV)-EUEV，显然 EU=EV=0，而 E(UV)=E(X+Y)(X-Y)=E(X2-Y2)=EX2-EY2，由于 X，Y 的对称性得 EX2=EY2，所以 cov(U，V)=0， )解析：考点 随机变量的概率密度及相关系数23.设两随机变(X，Y)的概率密度为 （分数：10.00）_正确答案：() ，故 k=2。()f X(x)=fY(y)=() )解析：考点 二维随机变量的概率分布
