1、考研数学一-186 及答案解析(总分：150.01，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.已知函数 f(x)是在(0，+)内单调增加的连续函数，对任何 ba0， ， （分数：4.00）A.B.C.D.2.设函数 f(x)在(-，+)内连续，在(-，0)(0，+)内可导，函数 y=y(x)的图像如图所示，则其导数的图像为_。ABCD （分数：4.00）A.B.C.D.3.设 ，(n=1，2，)则下列级数中肯定收敛的是_。A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.4.微分方程 y“-4y=x+2 的通解为_。A BC D （分数：4.00）A.B.C.D.5.
2、设 A 为 n(n2)阶可逆方阵，交换 A 的第 1 行与第 2 行得矩阵 B，A *，B *分别是 A，B 的伴随矩阵，则_。A交换 A*的第 1 列与第 2 列得 B*B交换 A*的第 1 行与第 2 行得 B*C交换 A*的第 1 列与第 2 列得-B *D交换 A*的第 1 行与第 2 行得-B *（分数：4.00）A.B.C.D.6.设 A 是 mn 阶矩阵，则下列命题正确的是_。A若 mn，则方程组 AX=b 一定有无穷多个解B若 mn，则方程组 AX=b 一定有唯一解C若 r(A)=n，则方程组 AX=b 一定有唯一解D若 r(A)=m，则方程组 AX=b 一定有解（分数：4.0
3、0）A.B.C.D.7.设两个相互独立的随机变量 X 和 Y 分别服从正态分布 N(0，1)和 N(1，1)，则下列结论正确的是_。APX+Y0=1/2 BPX+Y1=1/2CPX-Y0=1/2 DPX-Y1=1/2（分数：4.00）A.B.C.D.8.设随机变量 Xt(n)(n1)， （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）填空项 1:_10.设 f 有二阶连续偏导数，u=f(x，xy，xyz)，则 （分数：4.00）填空项 1:_11.函数 （分数：4.00）填空项 1:_12.设 ，则 （分数：4.00）填空项 1:_13.设
4、（分数：4.00）填空项 1:_14.设随机变量 X 的分布函数为 （分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.求 （分数：10.00）_16.设函数 f(x)在0，3上连续，在(0，3)内可导，且 f(0)+f(1)+f(2)=3，f(3)=1，试证必存在(0，3)，使 f()=0。（分数：10.00）_已知函数 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，且 f(0)=0，f(1)=1，证明：（分数：10.00）(1).存在 (0，1)，使得 f()=1-；（分数：5.00）_(2).存在两个不同的点 ，(0，1)，使得 f()f()=1。（分数：5.0
5、0）_17.设函数 f(x)在0，1上连续，(0，1)内可导，且 （分数：10.00）_18.证明：在右半平面 x0 上，曲线积分 与路径无关，求一个二元函数 u=u(x，y)，使得 （分数：10.00）_已知两个向量组 1=(1，2，3) T， 2=(1，0，1) T与 1=(-1，2，t) T， 2=(4，1，5) T。（分数：11.00）(1).t 为何值时，两个向量组等价?（分数：5.50）_(2).两个向量组等价时，求出它们之间的线性表示式。（分数：5.50）_19.设 n 阶实对称矩阵 A 的秩为 r，且满足 A2=A，求：(1)二次型 xTAx 的标准形；(2)行列式|E+A+A
6、 2+An|的值，其中 E 为单位矩阵。（分数：11.00）_已知随机变量 X 与 Y 的联合概率分布为XY0 10 1 1/31/3（分数：11.00）(1).证明 X 与 Y 不相关的充分必要条件是事件Y=1与X+Y=1相互独立；（分数：5.50）_(2).若 X 与 Y 不相关，求 X 与 Y 的边缘分布。（分数：5.50）_设总体 X 的概率密度函数为 （分数：11.01）(1).求参数 的矩估计量；（分数：3.67）_(2).求参数 的最大似然估计量；（分数：3.67）_(3).说明由最大似然估计法所得 A 的估计量是否为无偏估计量。（分数：3.67）_考研数学一-186 答案解析(
7、总分：150.01，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.已知函数 f(x)是在(0，+)内单调增加的连续函数，对任何 ba0， ， （分数：4.00）A. B.C.D.解析：考点 函数的单调性解析 设 ，则所以，2.设函数 f(x)在(-，+)内连续，在(-，0)(0，+)内可导，函数 y=y(x)的图像如图所示，则其导数的图像为_。ABCD （分数：4.00）A.B. C.D.解析：考点 函数的图像解析 由于函数可导(除 x=0)且取得两个极值，故函数有两个驻点，即导函数图像与 x 轴有且仅有两个交点，故(A)，(C)不正确。又由函数图像，极大值应小于极小值点
8、，故(D)不正确。(B)正确。3.设 ，(n=1，2，)则下列级数中肯定收敛的是_。A B C D （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：考点 级数的敛散性解析 由 ，可得 ，而级数 是收敛的 P 级数，从而4.微分方程 y“-4y=x+2 的通解为_。A BC D （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：考点 非齐次线性微分方程的解解析 微分方程 y“-4y=0 的特征方程为 2-4=0，特征值为-2，2，则方程 y“-4y=0 的通解为 C2e-2x+C2e2x，显然方程 y“-4y=x+2 有特解5.设 A 为 n(n2)阶可逆方阵，交换 A 的第 1 行与第 2 行得矩阵 B，A
9、 *，B *分别是 A，B 的伴随矩阵，则_。A交换 A*的第 1 列与第 2 列得 B*B交换 A*的第 1 行与第 2 行得 B*C交换 A*的第 1 列与第 2 列得-B *D交换 A*的第 1 行与第 2 行得-B *（分数：4.00）A.B.C. D.解析：考点 矩阵的初等变换解析 由题设，记交换 n 阶单位矩阵 E 的第 1 行与第 2 行所得初等方阵为 P，则有 PA=B，|B|=-|A|，P -1=P，由 A 可逆知 B 可逆，故有 B*=|B|B-1=-|A|(PA)-1=-(|A|A-1)P-1=-A*P 或 A*P=-B*，再由初等方阵与初等列变换的关系，可知交换 A*的
10、 1、2 两列得-B *，即只有选项(C)正确。6.设 A 是 mn 阶矩阵，则下列命题正确的是_。A若 mn，则方程组 AX=b 一定有无穷多个解B若 mn，则方程组 AX=b 一定有唯一解C若 r(A)=n，则方程组 AX=b 一定有唯一解D若 r(A)=m，则方程组 AX=b 一定有解（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：考点 非齐次线性方程组的解的判定解析 因为若 r(A)=m(即 A 为行满秩矩阵)，则 r(A)=m，于是 r(A)=r(A)，即方程组 AX=b 一定有解，选(D)。7.设两个相互独立的随机变量 X 和 Y 分别服从正态分布 N(0，1)和 N(1，1)，则下列结
11、论正确的是_。APX+Y0=1/2 BPX+Y1=1/2CPX-Y0=1/2 DPX-Y1=1/2（分数：4.00）A.B. C.D.解析：考点 二维随机变量的分布解析 因为 X 和 Y 分别服从正态分布 N(0，1)和 N(1，1)，且 X 和 Y 相互独立，所以 X+YN(1，2)，X-YN(-1，2)，于是 PX+Y1=1/2，(B)是答案。8.设随机变量 Xt(n)(n1)， （分数：4.00）A.B.C. D.解析：考点 随机变量的 t 分布性质解析 根据 t 分布的性质，X 2F(1，n)，再根据 F 分布的性质 ，因此二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.0
12、0）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：考点 极限的求法解析 由已知10.设 f 有二阶连续偏导数，u=f(x，xy，xyz)，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：xf 3+x2yf“32+x2yzf“33）解析：考点 二元函数的混合偏导数解析 由已知11.函数 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：考点 方向导数解析 ，其中 ，所以12.设 ，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：10ln2）解析：考点 函数的极限解析 当 x0 时， ，则13.设 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：O）解析：考点 矩阵的幂运算解析 因为14.设随机变
13、量 X 的分布函数为 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：0.7）解析：考点 期望解析 ，其中 (x)为标准正态密度函数。三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.求 （分数：10.00）_正确答案：( )解析：考点 数列的极限16.设函数 f(x)在0，3上连续，在(0，3)内可导，且 f(0)+f(1)+f(2)=3，f(3)=1，试证必存在(0，3)，使 f()=0。（分数：10.00）_正确答案：(由题设，f(x)在0，3上连续，则 f(x)在0，2上也必然连续，则在0，2上 f(x)必有最大值 M 和最小值 m，因而 mf(0)M，mf(1)M，mf(2)M，从而 。
14、由连续函数的介值定理，知存在一点 0，2，使 。由已知条件 f(0)+f(1)+f(2)=3，可推知 f()=1，因此 f()=f(3)=1，0，2。由罗尔定理，知存在 (，3) )解析：考点 介值定理、微分中值定理已知函数 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，且 f(0)=0，f(1)=1，证明：（分数：10.00）(1).存在 (0，1)，使得 f()=1-；（分数：5.00）_正确答案：(即证 在(0，1)上存在零点。由于 F(x)在0，1上连续，且 F(0)=-1，F(1)=1，即 F(0)F(1)0，由连续函数的零点存在性定理知，)解析：(2).存在两个不同的点 ，(0，1)
15、，使得 f()f()=1。（分数：5.00）_正确答案：(的结果，在0，上用拉格朗 Et 中值定理知， (0，)，使得。在，1上，用拉格朗日中值定理知， ，使得)解析：考点 微分中值定理17.设函数 f(x)在0，1上连续，(0，1)内可导，且 （分数：10.00）_正确答案：(要对 f(x)在0，1上使用罗尔中值定理，问题在于证明 f(x)在0，1上有两个等值点。由积分中值定理， ，从而 f(x0)=f(0)，又由罗尔中值定理， )解析：考点 积分中值定理18.证明：在右半平面 x0 上，曲线积分 与路径无关，求一个二元函数 u=u(x，y)，使得 （分数：10.00）_正确答案：(先证明积
16、分与路径无关因为 ，故在右半平面 x0 上， ，故曲线积分 与路径无关。因此，所求函数 ，取积分路径为(1，0)到(x，0)，再到(x，y)的折线段，则 )解析：考点 曲线积分已知两个向量组 1=(1，2，3) T， 2=(1，0，1) T与 1=(-1，2，t) T， 2=(4，1，5) T。（分数：11.00）(1).t 为何值时，两个向量组等价?（分数：5.50）_正确答案：(对矩阵 A=( 1， 2， 1， 2)作初等行变换，得)解析：(2).两个向量组等价时，求出它们之间的线性表示式。（分数：5.50）_正确答案：(两个向量组等价时，故 )解析：考点 向量间的线性相关及线性表示19.
17、设 n 阶实对称矩阵 A 的秩为 r，且满足 A2=A，求：(1)二次型 xTAx 的标准形；(2)行列式|E+A+A 2+An|的值，其中 E 为单位矩阵。（分数：11.00）_正确答案：(设 A=(0)，则 A2= 2，又 A2=A=，故 或者 =0。由 n 阶实对称矩阵 A 的秩为 r 知，=1，=0 分别为 A 的 r 重和 n-r 重特征值，故存在正交矩阵 P，使得 。(1)经正交变换 x=Py，二次型 xTAx 的标准形为 。(2)A2=A )解析：考点 二次型的标准型、抽象行列式的计算已知随机变量 X 与 Y 的联合概率分布为XY 0 10 1 1/3 1/3（分数：11.00）
18、(1).证明 X 与 Y 不相关的充分必要条件是事件Y=1与X+Y=1相互独立；（分数：5.50）_正确答案：(由概率分布的性质知 ，X 与 Y 不相关的充分必要条件是 cov(X，Y)=EXY-EXEY=0，X 的概率分布为 ，Y 的概率分布为 ，XY 的概率分布为 ，故 X 与 Y 不相关的充分必要条件是 。事件Y=1与X+Y=1相互独立的充分必要条件是Py=1，X+Y=1=PY=1PX+Y=1，故事件Y=1与X+Y=1相互独立的充分必要条件是 )解析：(2).若 X 与 Y 不相关，求 X 与 Y 的边缘分布。（分数：5.50）_正确答案：(若 X 与 Y 不相关，则 ，故 X 的概率分布为 ，Y 的概率分布为 )解析：考点 随机变量的相关性、边缘分布设总体 X 的概率密度函数为 （分数：11.01）(1).求参数 的矩估计量；（分数：3.67）_正确答案：( ；所以 )解析：(2).求参数 的最大似然估计量；（分数：3.67）_正确答案：()解析：(3).说明由最大似然估计法所得 A 的估计量是否为无偏估计量。（分数：3.67）_正确答案：(所以 ，因此 )解析：考点 参数估计
