1、考研数学一-193 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 y=y(x)是由方程 y2+xy+x2-x=0 确定的满足 y(1)=-1 的连续函数，则 （分数：4.00）A.B.C.D.2.以 y1=excos2x，y 2=exsin2x 与 y3=e-x为线性无关特解的三阶常系数齐次线性微分方程是Ay+y+3y+5y=0. By-y+3y+5y=0.Cy+y-3y+5y=0. Dy-y-3y+5y=0.（分数：4.00）A.B.C.D.3.设流体的流速 v=(x2+y2)j+(z-1)k，为锥面 ，取下侧，则流体穿过曲面的体积流
2、量是A B C （分数：4.00）A.B.C.D.4.下列三个命题设 的收敛域为(-R，R)，则 的收敛域为(-R，R)；设幂级数 在 x=-1 条件收敛，则它的收敛半径 R=1；设幂级数 的收敛半径分别为 R1，R 2，则 （分数：4.00）A.B.C.D.5.设 A 是 mn 矩阵，则下列 4 个命题若 r(A)=m，则非齐次线性方程组 Ax=b 必有解；若 r(A)=m，则齐次方程组 Ax=0 只有零解；若 r(A)=n，则非齐次线性方程组 Ax=b 有唯一解；若 r(A)=n，则齐次方程组 Ax=0 只有零解中正确的是A. B. C. D.（分数：4.00）A.B.C.D.6.下列矩阵
3、（分数：4.00）A.B.C.D.7.设 X，Y 为随机变量， ，则 Pmin(X，Y)0=A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.8.设随机变量 X1，X 2，X n，相互独立，且 X2n(n=1，2，)服从参数为 的泊松分布，X 2n-1(n=1，2，)服从期望值为 A 的指数分布，则随机变量序列 X1，X 2，X n，一定满足A切比雪夫大数定律. B伯努利大数定律. C辛钦大数定律. D中心极限定理.（分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.曲线 在点 （分数：4.00）填空项 1:_10.设 （分数：4.00）填空项 1:_11.设 （分
4、数：4.00）填空项 1:_12.微分方程(2xsiny+3x 2y)dx+(x3+x2cosy+y2)dy=0 的通解是_.（分数：4.00）填空项 1:_13.已知 （分数：4.00）填空项 1:_14.设随机变量 X，Y 独立同分布 N(， 2)，其联合密度函数 f(x，y)在(2，2)处有驻点，且 f(0，0)=（分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 n 为自然数， 证明：() f(x)在0，+)取最大值并求出最大值点；() （分数：10.00）_16.求不定积分 （分数：9.00）_17.设 f(x，y)，(x，y)均有连续偏导数，点 M0
5、(x0，y 0)是函数 z=f(x，y)在条件 (x，y)=0 下的极值点，又 ，求证：() （分数：11.00）_18.设函数 f(x，y)在区域 D：x 2+y21 上有二阶连续偏导数，且又 Cr是以原点为心，半径为 r 的圆周，取逆时针方向，求（分数：10.00）_19.求 （分数：10.00）_20.已知 A 是 24 矩阵，齐次方程组 Ax=0 的基础解系是 1=(1，3，0，2) T， 2=(1，2，-1，3) T,又知齐次方程组 Bx=0 的基础解系是 1=(1，1，2，1) T， 2=(0，-3，1，a) T，()求矩阵 A；()如果齐次线性方程组 Ax=0 与 Bx=0 有非
6、零公共解，求 a 的值并求公共解.（分数：11.00）_21.已知 A 是 3 阶矩阵， 1， 2， 3是 3 维线性无关列向量，且 A 1=3 1+3 2-2 3，A 2=- 2，A 3=8 1+6 2-5 3.()写出与 A 相似的矩阵 B；()求 A 的特征值和特征向量；()求秩 r(A+E).（分数：11.00）_22.设离散型二维随机变量(X，Y)的取值为(x i，y i)(i，j=1，2)，且 ，PY=y 1|X （分数：11.00）_23.设 X1，X 2，X n是取自总体 X 的一个简单随机样本，X 的概率密度为（分数：11.00）_考研数学一-193 答案解析(总分：150.
7、00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 y=y(x)是由方程 y2+xy+x2-x=0 确定的满足 y(1)=-1 的连续函数，则 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：分析一 由隐函数存在定理知，由方程 y2+xy+x2-x=0 确定的满足 y(1)=-1 的连续函数在 x=1 邻域必有连续的导数，将方程对 x 求导得2yy+y+xy+2x-1=0，解出 于是选 C.分析二 由隐函数存在定理知，由方程 y2+xy+x2-x=0 确定的满足 y(1)=-1 的隐函数二次连续可导，且2yy+xy+y+2x-1=0, (*)在(*)式中令 x=1，y(1)
8、 =-1 可得 y(1)=0. 将(*)式再对 x 求导一次，得2yy+2y 2+y+xy+y+2=0， (*)在(*)式中令 x=1，y(1)=-1，y(1)=0 可得利用洛必达法则和 y(1)=-1，y(1)=0，y(1)=2 可得选 C.分析三 如同分析二求出 y(1)=0，y(2)=2 后，用泰勒公式得即 y(x)+1=(x-1)2+0(x-1)2). 于是 ，即2.以 y1=excos2x，y 2=exsin2x 与 y3=e-x为线性无关特解的三阶常系数齐次线性微分方程是Ay+y+3y+5y=0. By-y+3y+5y=0.Cy+y-3y+5y=0. Dy-y-3y+5y=0.（分
9、数：4.00）A.B. C.D.解析：线性无关特解 y1=excos2x，y 2=exsin2x 与 y3=e-x应于特征根 1=1+2i， 2=1-2i 与 3=-1，由此可得特征方程是3.设流体的流速 v=(x2+y2)j+(z-1)k，为锥面 ，取下侧，则流体穿过曲面的体积流量是A B C （分数：4.00）A.B. C.D.解析：该流体穿过的体积流量是方法 1用高斯公式，不封闭，添加辅助面 1：z=1(x 2+y21)，法向量朝上，与 1围成区域 ，取外侧.注意 1与 zOx 平面垂直又在 1上 在 上用高斯公式这里， 关于 zOx 平面对称，2y 对 y 为奇函数， 圆锥体 的体积.
10、故应选 B.方法 2直接计算，并对第二类面积分利用对称性，关于 zOx 平面对称，x 2+y2对 y 为偶函数 又在 xOy 平面上的投影区域故应选 B.方法 3直接投影到 xOy 平面上代公式，由的方程 又在 xOy 平面的投影区域 Dxy：x 2+y21这里由于 Dxy关于 x 轴对称， 对 y 为奇函数，所以4.下列三个命题设 的收敛域为(-R，R)，则 的收敛域为(-R，R)；设幂级数 在 x=-1 条件收敛，则它的收敛半径 R=1；设幂级数 的收敛半径分别为 R1，R 2，则 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：此类选择题必须逐一判断，关于命题：对幂级数 逐项积分保持收敛区间不
11、变，但收敛域可能起变化，如 的收敛域为(-1，1)，但 的收敛域是-1，1).关于命题：若熟悉幂级数的收敛性特点立即可知该命题正确.记该幂级数的收敛半径为 R. 若 R1，由于 绝对收敛 绝对收敛，与已知矛盾，若 R1，由x，|x|R， 发散 发散，也与已知矛盾，因此，R=1.关于命题：当 R1R 2时，R=min(R 1，R 2)，于是要考察 R1=R2的情形. 设有级数 ，易求得它们的收敛半径均为 R1=R2=1. 但 的收敛半径为 R=2. 因此命题不正确.综上所述，应选 B.由 在 x=x0条件收敛 该幂级数的收敛半 R=|x0|，但不能确定 的敛散性.5.设 A 是 mn 矩阵，则下
12、列 4 个命题若 r(A)=m，则非齐次线性方程组 Ax=b 必有解；若 r(A)=m，则齐次方程组 Ax=0 只有零解；若 r(A)=n，则非齐次线性方程组 Ax=b 有唯一解；若 r(A)=n，则齐次方程组 Ax=0 只有零解中正确的是A. B. C. D.（分数：4.00）A.B. C.D.解析：因为 A 是 mn 矩阵，若 r(A)=m，说明 A 的行向量组线性无关，那么它的延伸组必线性无关. 所以必有 . 从而 ，故线性方程组 Ax=b 必有解，正确. 下面只需判断或正确即可.若 r(A)=n，说明 A 的列向量组线性无关，亦即 Ax=0 只有零解，所以正确，故应选 B.当 r(A)
13、=m 时，必有 nm 如果 m=n，则 Ax=0 只有零解，而 mn 时，Ax=0 必有非零解，所以不正确，当 r(A)=n 时，6.下列矩阵（分数：4.00）A.B.C. D.解析：判断相似应当用相似的必要条件作第一轮判别，相似的必要条件是：特征值一样，秩相等，A3，A 4虽特征值一样，但秩不相等，所以不相似. A 1与 A2或 A2与 A3虽秩相等但特征值不一样，因此不相似. 用排除法知应选 C.实际上，A 1，A 3的特征值都是 3，0，0，且 r(0E-A1)=1，r(0E-A 3)=1，则n-r(0E-A1)=3-1=2，n-r(0E-A 3)=3-1=2,说明齐次方程组(0E-A
14、1)x=0 与(0E-A 3)X=0 都有两个线性无关的解，即对应于 =0，矩阵 A1和 A3都有 2 个线性无关的特征向量，所以矩阵 A1和 A3都与对角矩阵7.设 X，Y 为随机变量， ，则 Pmin(X，Y)0=A B C D （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：设 A=X0，B=Y0，则，min(X，Y)0=AB.于是8.设随机变量 X1，X 2，X n，相互独立，且 X2n(n=1，2，)服从参数为 的泊松分布，X 2n-1(n=1，2，)服从期望值为 A 的指数分布，则随机变量序列 X1，X 2，X n，一定满足A切比雪夫大数定律. B伯努利大数定律. C辛钦大数定律. D中
15、心极限定理.（分数：4.00）A. B.C.D.解析：X 1，X 2，X n，不是同分布，因此不能满足辛钦大数定律、伯努利大数定律和中心极限定理，用排除法可知应选 A.进一步分析，EX 2n=DX2n=，EX 2n-1=，DX 2n-1= 2，因此对任何 n=1，2，都有 DXn+ 2，即X1，X 2，X n，相互独立，期望、方差都存在且对所有 n，DX n 2+，符合切比雪夫大数定律成立的条件，应选 A.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.曲线 在点 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：或 ）解析：分析一 易写出题设 的参数方程x=cost，y=sint，z=2-cost
16、+sint.点 P 在 上，对应 在 P 点的切向量 在 P 点切线方程是分析二 曲线 作为两曲面的交线，在 P 点的切向量其余同前.分析三 若用交面式表示切线，由 x2+y2=1 在 P 点的法向量求得该柱面在 P 点的切平面方程为 ，即 在 P 点的切线方程是10.设 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：4e.）解析：由 g(x)在点 x=0 处连续及 g(x)=1+2x+o(x)(x0)由复合函数求导法及变限积分求导法11.设 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：分析一 这是一元函数 与二元函数 t=xy2的复合函数，由一阶全微分形式不变性分析二 先求偏导数
17、：于是12.微分方程(2xsiny+3x 2y)dx+(x3+x2cosy+y2)dy=0 的通解是_.（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：，其中 C 为 常数. ）解析：这不是一阶线性方程与变量可分离方程，也不是齐次方程与伯努利方程，因此，考察其是否是全微分方程. 将方程表为 Pdx+Qdy=0，因在全平面上所以是全微分方程，求通解归结为求 Pdx+Qdy 的原函数 u(x，y).方法 1过凑微分法. 由于(2xsiny+3x2y)dx+(x3+x2cosy+y2)dy因此，通解为 其中 C 为 常数. 方法 2不定积分法. 由 ，对 x 积分得u=x2siny+x3y+C(y).
18、又由得因此得通解 ，其中 C 为13.已知 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：27.）解析：由14.设随机变量 X，Y 独立同分布 N(， 2)，其联合密度函数 f(x，y)在(2，2)处有驻点，且 f(0，0)=（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：N(2，2；2，2；0).）解析：由于 X，Y 独立同分布，故而 f(x，y)在(2，2)处有驻点，可知 =2.又即三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 n 为自然数， 证明：() f(x)在0，+)取最大值并求出最大值点；() （分数：10.00）_正确答案：()求 f(x)，考察 f(x)的单调性区间. 由于
19、因此，当 x1 时仅当 x=k(k=1，2，)时 f(x)=0. 于是，f(x)在0，1单调上升，f(x)在1，+)单调下降f(x)f(1)，x0，+)，x1.因此，x=1 是 f(x)在0，+)的唯一极值点且是极大值点，也是最大值点，从而()方法 1估计 就是估计积分值 由 sintt(t0)方法 2因为当 t1 时，t-t 20，所以 . 因此)解析：本题有如下类似变式：已知函数 y(x)满足(x+1)y=y，且 y(0)=3，y(0)=-2. 设 n 为自然数，证明：()f(x)在0，+)上取最大值并求出最大值点；()提示首先求满足所给方程及初始条件的解 y(x)=(1-x)(3+x)；
20、然后按本题的方法求出最大值点 x=1 及最大值16.求不定积分 （分数：9.00）_正确答案：(分析与求解一 作变量替换 ，则有再分部积分得其中于是根据三角形示意图，易变量还原得分析与求解二 为了作分部积分，先求同样由三角形示意图，变量还原得于是分部积分得)解析：17.设 f(x，y)，(x，y)均有连续偏导数，点 M0(x0，y 0)是函数 z=f(x，y)在条件 (x，y)=0 下的极值点，又 ，求证：() （分数：11.00）_正确答案：()由题设条件 方程 (x，y)=0 在点 M0邻域确定隐函数 y=y(x)，且满足 y(x0)=y0.M0点是 z=f(x，y)在条件 (x，y)=0
21、 下的极值点 以 x=x0为极值点，它的必要条件是(*)由 x，y(x)=0 及隐函数求导法得代入(*)得，即()空间曲线 在 P0(x0，y 0，z 0)处的切线的方向向量(切向量)为)解析：本题的()有如下变式：求证 xy 平面上的曲线 f(x，y)=f(x 0，y 0)与曲线 (x，y)=0 在点 M0处相切.证明：曲线 f(x，y)=f(x 0，y 0)与曲线 (x，y)=0 在公共点 M0处的法向量分别是 与 ，由题(1)知， 与 平行18.设函数 f(x，y)在区域 D：x 2+y21 上有二阶连续偏导数，且又 Cr是以原点为心，半径为 r 的圆周，取逆时针方向，求（分数：10.0
22、0）_正确答案：(记 Cr围成的圆域为 Dr，从线积分 的形式看，可在 Dr上用格林公式，将此线积分化为二重积分，即因此， )解析：19.求 （分数：10.00）_正确答案：(分析与求解一 记 引入幂级数，把求数值级数的和 S 转化为求幂级数的和. 令再求幂级数与有相同的收敛半径 R=1注意幂级数当 x=1 时收敛，又和函数S(x)在 x=1 连续，由幂级数在收敛区间端点的性质分析与求解二 先对 作分解，即为求 ，引入幂级数 ，则因此， )解析：20.已知 A 是 24 矩阵，齐次方程组 Ax=0 的基础解系是 1=(1，3，0，2) T， 2=(1，2，-1，3) T,又知齐次方程组 Bx=
23、0 的基础解系是 1=(1，1，2，1) T， 2=(0，-3，1，a) T，()求矩阵 A；()如果齐次线性方程组 Ax=0 与 Bx=0 有非零公共解，求 a 的值并求公共解.（分数：11.00）_正确答案：(记 C=( 1， 2)，由 AC=A( 1， 2)=0 知 CTAT=0，则矩阵 AT的列向量(即矩阵 A 的行向量)是齐次线性方程组 CTx=0 的解. 对 CT作初等行变换，有得到 CTx=0 的基础解系为 1=(3，-1，1，0) T， 2=(-5，1，0，1) T.所以矩阵()设齐次线性方程组 Ax=0 与 Bx=0 的非零公共解为 ，则 既可由 1， 2线性表出，也可由 1
24、， 2线性表出，故可设=x 1 1+x2 2=-x3 1-x4 2,于是 x1 1+x2 2+x3 1+x4 2=0. 对( 1， 2， 1， 2)作初等行变换，有不全为 0 秩 )解析：矩阵 A 的答案不唯一.21.已知 A 是 3 阶矩阵， 1， 2， 3是 3 维线性无关列向量，且 A 1=3 1+3 2-2 3，A 2=- 2，A 3=8 1+6 2-5 3.()写出与 A 相似的矩阵 B；()求 A 的特征值和特征向量；()求秩 r(A+E).（分数：11.00）_正确答案：()由于 A( 1， 2， 3)=(3 1+3 2-2 3，- 2，8 1+6 2-5 3)令 P=( 1，
25、2， 3)，因 1， 2， 3线性无关，故 P 可逆. 记 则有 P-1AP=B，即 A 与 B 相似. ()由可知矩阵 B 的特征值为-1，-1，-1，故矩阵 A 的特征值为-1，-1，-1. 对于矩阵 B，由得特征向量(0，1，0) T，(-2，0，1) T，那么由 Ba= 即(P -1AP)=，得 A(P)=(P). 所以)解析：22.设离散型二维随机变量(X，Y)的取值为(x i，y i)(i，j=1，2)，且 ，PY=y 1|X （分数：11.00）_正确答案：()因 X 与 Y 独立，所以有或于是(X，Y)的联合概率分布为()由()知 X 与 Y 独立，因此它们的相关系数 XY=0
26、. ()因 X 与 Y 独立，所以 PY=yj|X=x1=PY=yj，j=1，2，于是有)解析：依题意，随机变量 X 与 Y 的可能取值分别为 x1，x 2与 y1，y 2，且又题设23.设 X1，X 2，X n是取自总体 X 的一个简单随机样本，X 的概率密度为（分数：11.00）_正确答案：()要求 的矩估计量，首先应确定被估计参数 与总体 X 的矩之间的关系，记 =EX，则 的矩估计量为 其中()尽管总体 X 不是正态总体，但由于样本容量 n=400 属大样本，故 也近似服从标准正态分布，即总体 X 的期望值 的置信区间公式仍是其中 满足 由于 1-=0.95，因此而 S 是样本标准差注意到 是 的严格递增函数，n=400， ，因此 的置信区间为)解析：
