1、考研数学一-195 及答案解析(总分：149.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.定积分A BC D （分数：4.00）A.B.C.D.2.设 （分数：4.00）A.B.C.D.3.设 L 为从 D(0，0)沿曲线 到点 A(1，1)的曲线，则曲线积分 2y)dy=ABe-1.C （分数：4.00）A.B.C.D.4.下列级数中属于条件收敛的是A BC D （分数：4.00）A.B.C.D.5.a=-5 是齐次方程组 （分数：4.00）A.B.C.D.6.设 n 维列向量 ，矩阵 A=E-4 T，其中 E 是 n 阶单位矩阵，若 n 维列向量 =(1，1，
2、1) T，则向量 A 的长度为A B （分数：4.00）A.B.C.D.7.对任意正整数 m，n，随机变量 X 都满足 P|Xm+n|xm|=PYn，记 Px1=p，则下列结论中一定不正确的是Ap=0. Bp0. Cp1. Dp=1.（分数：4.00）A.B.C.D.8.设二维离散型随机变量(X，Y)的联合概率分布如下表所示（分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.数列极限 （分数：4.00）填空项 1:_10.若 f(cosx+2)=tan 2x+3sin2x，且 f(0)=8，则 f(x)=_.（分数：4.00）填空项 1:_11.函数 在点 M0(1
3、，1，1)处沿曲面 2z=x2+y2在点 M0处外法线方向 n 的方向导数 （分数：4.00）填空项 1:_12.设曲线 ，取逆时针方向，则 （分数：4.00）填空项 1:_13.已知二次曲面 x2+4y2+3z2+2axy+2xz+2(a-2)yz=1 是椭球面，则 a 的取值为_.（分数：4.00）填空项 1:_14.设随机变量 （分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：93.00)15.设函数 f(x)在 x=1 的某邻域内连续，且有()求 f(1)， （分数：10.00）_16.已知 是某二阶线性常系数微分方程 y+ py+qy=f(x)的三个特解.()求这个方程和
4、它的通解；()设 y=y(x)是该方程满足 y(0)=0，y(0)=0 的特解，求 （分数：10.00）_17.设 f(x，y)在全平面有三阶连续偏导数，并满足试求：() （分数：10.00）_18.()求级数 的收敛域；()求证：和函数 （分数：10.00）_19.设密度为 1 的立体 由不等式 （分数：10.00）_20.已知向量 = (a 1，a 2，a 3，a 4)T可以由 1=(1，0，0，1) T， 2=(1，1，0，0) T， 3=(0，2，-1，-3)T， 4=(0，0，3，3) T线性表出.()求 a1，a 2，a 3，a 4应满足的条件；()求向量组 1， 2， 3， 4的
5、一个极大线性无关组，并把其他向量用该极大线性无关组线性表出；()把向量 分别用 1， 2， 3， 4和它的极大线性无关组线性表出.（分数：11.00）_21.已知矩阵 和 （分数：10.00）_22.已知(X，Y)为一个二维随机变量，X 1=X+2Y，X 2=X-2Y. (X1，X 2)的概率密度为 f(x1，x 2)（分数：11.00）_23.历史上科学家皮尔逊进行抛掷一枚匀称硬币的试验，他当时掷了 12000 次，正面出现 6019 次. 现在我们若重复他的试验，试求：()抛掷 12000 次正面出现频率与概率之差的绝对值不超过当年皮尔逊试验偏差的概率；()要想使我们试验正面出现的频率与概
6、率之差的绝对值不超过皮尔逊试验偏差的概率小于 20%，现在我们应最多试验多少次？附：标准正态分布函数表： （分数：11.00）_考研数学一-195 答案解析(总分：149.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.定积分A BC D （分数：4.00）A.B. C.D.解析：先配方后分段积分，即作平移变换，令 t=x-1 得其中， (单位圆面积的 倍)，因此 故选 B.解题时用了如下结果：将 分部积分得移项并除以 2 得代入2.设 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：求 f(x)，分析其单调性区间，由于因此 x=-1 是 f(x)的最小值点，且 又3.设
7、L 为从 D(0，0)沿曲线 到点 A(1，1)的曲线，则曲线积分 2y)dy=ABe-1.C （分数：4.00）A.B.C. D.解析：分析一 先求原函数，再求积分值. 故应选 C.分析二 将积分表成积分在全平面与路径无关. 取特殊路径即如图所示的折线，有4.下列级数中属于条件收敛的是A BC D （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：分析一 A，B，C 不是条件收敛. 由其中， 收敛， 发散 发散，由其中， 均收敛 B 绝对收敛. 由C 绝对收敛. 因此应选 D.分析二 直接证明 D 条件收敛. 单调下降趋于零(n) 交错级数 收敛，又而 发散 发散 D 条件收敛. 故应选 D，若熟悉
8、结论5.a=-5 是齐次方程组 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：n 个方程 n 个未知数的齐次方程组 Ax=0 有非零解 又6.设 n 维列向量 ，矩阵 A=E-4 T，其中 E 是 n 阶单位矩阵，若 n 维列向量 =(1，1，1) T，则向量 A 的长度为A B （分数：4.00）A.B. C.D.解析：利用向量内积可计算出向量的长度，由于又 ATA=(E-4 T)T(E-4 T)=(E-4 T)(E-4 T)=E-8 T+16( T) T=E-8 T+8 T=E，而所以 故应选 B. 注意本题考查用内积求向量的长度. 因为本题中所给矩阵 A 是正交矩阵，因而可看出经正交变换向量
9、的长度不变，即7.对任意正整数 m，n，随机变量 X 都满足 P|Xm+n|xm|=PYn，记 Px1=p，则下列结论中一定不正确的是Ap=0. Bp0. Cp1. Dp=1.（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：离散型随机变量中的几何分布与连续型随机变量中的指数分布都满足题设条件，若 X 服从几何分布，则 p=PX1=0，若 X 服从指数分布，则 P=PX1=1-e - , 且 0p1，因此 p 不可能是 1，即 p=1 一定不成立，应选 D.8.设二维离散型随机变量(X，Y)的联合概率分布如下表所示（分数：4.00）A. B.C.D.解析：从题设条件可得EX=EY=0，EXY=a-a-
10、a+a=0,cov(X，Y)=EXY-EXEY=0，=0,即 X 与 Y 不相关，故应选 A.进一步分析，X 2与 Y2的联合概率分布应为EX2=4a+2b，EY 2=6a，EX 2Y2=4a.对于选项 B：X 2与 Y2不相关 EX2Y2=EY2EY26a(4a+2b)=4a 6a+3b=1，与 6a+2b=1 且 b0 相矛盾，故选项 B 不成立.对于选项 C 和 D：X+Y 与 X-Y 不相关 cov(X+Y，X-Y)=0X2+Y2与 X2-Y2不相关 cov(X2+Y2，X 2-Y2)=0 DX2=DY2二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.数列极限 （分数：4.00）填空项
11、1:_ （正确答案： ）解析：(求数列极限转化为求函数极限)把求数列极限化为求函数极限后也也用洛必迭法则10.若 f(cosx+2)=tan 2x+3sin2x，且 f(0)=8，则 f(x)=_.（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：令 ，cos 2x=(t-2)2，sin2x=1-(t-2)2，tan 2x=(t-2)-2-1由因此11.函数 在点 M0(1，1，1)处沿曲面 2z=x2+y2在点 M0处外法线方向 n 的方向导数 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：记 则曲面外法向 n 的方向余弦3代公式得12.设曲线 ，取逆时针方向，则 （分数：4
12、.00）填空项 1:_ （正确答案：216.）解析：先用曲线方程化简被积函数：方法 1再用参数方程化为定积分：x=2cost，y=3sint，t0，2，则有方法 2用格林公式. C 围成区域 D，则其中椭圆 D 的面积为 6. 本题有如下变式：设曲线 ，取逆时针方向，则 4y2)|y|dx=_.分析同样转化为求方法 1用 C 的参数方程化为定积分：x=2cost，y=3sint，t0，2，则有(周期函数与奇函数的积分性质)方法 2为了去掉绝对值，把 C 分成两段：C i(i=1，2)，分别位于上半平面与下半平面，并配上坐标轴部分，分别构成闭曲线 Li(i=1，2)，均为逆时针方向，见下图其中坐
13、标轴部分取积分两次，但方向相反抵消了.Li围成区域记为 Di(i=1，2)，它们的面积相等为 3. 在 Di上用格林公式得方法 3直接利用对称性.C 关于 x 轴对称，P(x，y)=|y|对 y 为偶数，则13.已知二次曲面 x2+4y2+3z2+2axy+2xz+2(a-2)yz=1 是椭球面，则 a 的取值为_.（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：分析二次曲面 f=1 是椭球面 二次型 f 的特征值全大于 0f 是正定二次型顺序主子式全大于 0. 由二次型矩阵有其顺序主子式故当 ）解析：14.设随机变量 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：由题设知 PX1+X
14、20=0，而PX1+X20=PX 1=-1，X 2=-1+PX1=-1，X 2=0+PX1=0，X 2=-1+PX1=0，X 2=1+PX1=1，X 2=1=0.所以等式中的各项概率都等于零，再根据 Xi的分布，可以求得(X 1，X 2)的联合分布表(如下图所示)，从而算得PX1=X2=PX1=-1，X 2=-1+PX1=0，X 2=0+PX1=1，X 2=1三、解答题(总题数：9，分数：93.00)15.设函数 f(x)在 x=1 的某邻域内连续，且有()求 f(1)， （分数：10.00）_正确答案：()由条件知又在 x=0 的某空心邻域内 f(x+1)+3sin2x0，现利用等价无穷小因
15、子替换：当 x0 时，In1+f(x+1)+3sin2xf(x+1)+3sin 2x,()方法 1由 在 x=1 的某邻域内可导方法 2当 f(1)存在时，可用二阶泰勒公式得或由 及极限与无穷小的关系得(o(1)为无穷小)解析：本题可有如下变式. 题设与题()均不变，题()改为：x=1 是否是 f(x)的极值点？若是，是极大值点还是极小值点？解：由 及极限的不等式性质知， 当 0|x| 时即 f(x+1)0=f(1)16.已知 是某二阶线性常系数微分方程 y+ py+qy=f(x)的三个特解.()求这个方程和它的通解；()设 y=y(x)是该方程满足 y(0)=0，y(0)=0 的特解，求 （
16、分数：10.00）_正确答案：()由线性方程解的叠加原理均是相应的齐次方程的解，它们是线性无关的. 于是相应的特征方程为(+2) 2=0，即 2+4+4=0，原方程为 y+4y+4y=f(x). (*)又 y*(x)=xe-x是它的特解，求导得y*(x)=e -x(1-x)，y *(x)=e -x(x-2).代入方程(*)得e-x(x-2)+4e-x(1-x)+4xe-x=f(x)f(x)=(x+2)e-x所求方程为 y+ 4y+4y=(x+2)e -x，其通解为y=C1e-2x+C2xe-2x+xe-x，其中 C1，C 2为 常数. () 方程的任意解 y(x)均有不必由初值来定 C1，C
17、2，直接将方程两边积分得)解析：17.设 f(x，y)在全平面有三阶连续偏导数，并满足试求：() （分数：10.00）_正确答案：()()先求 与1由 求将第一式对 x 积分得(以为 常数)2由 ，求将第一式对 x 积分得C(y)=b(b 为 常数)()由 求 f(x，y). 将第一式对 x 积分得因此求得 其中 a，b，c 为 )解析：由给定的三个二阶偏导数若熟悉 z=f(x，y)的二阶泰勒公式，可直接求出 f(x，y)，即其中 01.记 f(0，0)=c， ，再注意 f(x，y)各二阶偏导数在(0，0)的值均为零，各三阶偏导数为(*)式所指出的常数值，立即得其中 a，b，c 为18.()求
18、级数 的收敛域；()求证：和函数 （分数：10.00）_正确答案：()令 问题转化为求幂级数 的收敛域. 先求收敛区间，再考察收敛区间的端点. 求解如下：令 我们考察幂级数 ，其中 由的收敛区间是 . 由于 时发散(因为 发散， 收敛)，而 时， 收敛，因此， 的收敛域是又 对应于 因此，原级数的收敛域是()为证当 x0，+)时级数 收敛，且和函数 S(x)在0，+)有界，自然的想法是给出级数一般项的估计 ，只要 收敛就可得出结论.为了在0，+)上估计 ，我们求 f(x)=x2e-nx在0，+)上的最大值：由f(x)在 取0，+)上的最大值，即因为 收敛，所以 在0，+)收敛，且 S(x)在0
19、，+)上有界. )解析：我们也可以用如下方法估计 x2e-nx： 注意 z2e-x在0，+)上连续， 在0，+)有界x0，)其中 M0 是某常数.19.设密度为 1 的立体 由不等式 （分数：10.00）_正确答案：( 上任意点(x，y，z)到直线 L 的距离的平方其中再求 对 L 的转动惯量(对称区域上奇偶函数的积分性质)用先二后一的积分顺序，记 D(z)：x 2+y2z 2，于是)解析：质量为 m 的质点对直线 L 的转动惯量为 md2，d 是质点到 L 的距离. 因此，要先求 上 点(x，y，z)到直线 L：x=y=z 的距离，然后用三重积分来表示这个转动惯量.若用柱坐标变换，并用先 z
20、 的积分顺序得若用柱坐标变换，并用先 r、z 后 的积分顺序得20.已知向量 = (a 1，a 2，a 3，a 4)T可以由 1=(1，0，0，1) T， 2=(1，1，0，0) T， 3=(0，2，-1，-3)T， 4=(0，0，3，3) T线性表出.()求 a1，a 2，a 3，a 4应满足的条件；()求向量组 1， 2， 3， 4的一个极大线性无关组，并把其他向量用该极大线性无关组线性表出；()把向量 分别用 1， 2， 3， 4和它的极大线性无关组线性表出.（分数：11.00）_正确答案：() 可由 1， 2， 3， 4线性表出，即方程组 x1 1+x2 2+x3 3+x4 4= 有解
21、，对增广矩阵作初等行变换，有)解析：21.已知矩阵 和 （分数：10.00）_正确答案：(由矩阵 A 的特征多项式得到矩阵 A 的特征值是 1=3， 2= 3=-1. 由矩阵 B 的特征多项式=(-3)(+1) 2，得到矩阵 B 的特征值也是 1=3， 2= 3=-1. 当 =-1 时，由秩)解析：假若已知条件中矩阵 B 是实对称矩阵，则当判断出矩阵 A 不能对角化以后，可以不必再去求矩阵 B的特征值而立即断言矩阵 A 和 B 不相似. (利用实对称矩阵必可相似对角化).22.已知(X，Y)为一个二维随机变量，X 1=X+2Y，X 2=X-2Y. (X1，X 2)的概率密度为 f(x1，x 2
22、)（分数：11.00）_正确答案：()由(X 1，X 2)的联合密度可知 X1与 X2相互独立，且X1N(4，3)，X 2N(2，1)由正态分布的性质可知，X 1，X 2的线性组合仍服从正态分布，而由X1=X+2Y，X 2=X-2Y得根据期望和方差的性质有从而可知 XN(3，1)，即()由 X1=X+2Y 可知，DX 1=DX+4DY+4cov(X，Y)故由二维正态分布密度函数将 代入上式中，可得)解析：23.历史上科学家皮尔逊进行抛掷一枚匀称硬币的试验，他当时掷了 12000 次，正面出现 6019 次. 现在我们若重复他的试验，试求：()抛掷 12000 次正面出现频率与概率之差的绝对值不超过当年皮尔逊试验偏差的概率；()要想使我们试验正面出现的频率与概率之差的绝对值不超过皮尔逊试验偏差的概率小于 20%，现在我们应最多试验多少次？附：标准正态分布函数表： （分数：11.00）_正确答案：()设 X 表示试验中正面出现的次数 XB(12000，0.5)，且 EX=np=6000，DX=npq=3000. 由于 n=12000 相当大，因此 近似服从正态分布 N(0，1)，于是()设至多试验 n 次，Y 为 n 次中正面出现的次数显然 YB(n，0.5)，EY=0.5n，DY=0.25n，于是即 )解析：
