1、考研数学一-198 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 n(3)维向量 1=(a，1，1，1) T， 2=(1，a，1，1) T， 3=(1，1，a，1)T， n=(1，1，1，a) T若秩 r( 1， 2， 3， n)=n-1，则 a=（分数：4.00）A.1B.-1C.1-nD.n-12.下列命题正确的是（分数：4.00）A.B.C.D.3.曲线 （分数：4.00）A.B.C.D.4.假设总体 X 服从正态分布 N(， 2)，X 1，X n是来自总体 X 的简单随机样本，其样本均值为 ，如果 ，其中以 a0，则有(A) a
2、=nb (B) b=na （分数：4.00）A.B.C.D.5.已知 （分数：4.00）A.B.C.D.6.设 g(x)可导，且 x0 时，g(x)是 z 的高阶无穷小，则当 x0 时，必有（分数：4.00）A.g(x)是无穷小量B.C.是无穷大量D.若 G(x)=g(x)，则 G(x)是 x 的高阶无穷小7.已知 y=f(x)在 x=0 处二阶可导，且 f(0)=f“(0)=2， =（分数：4.00）A.B.C.D.8.已知随机变量 X 的概率密度为 f(x)，则随机变量函数 Y=|X|的概率密度 fY(y)为(A) fY(y)=f(y)+f(-y)（分数：4.00）_二、填空题(总题数：6
3、，分数：24.00)9.设 x0， （分数：4.00）填空项 1:_10.设抛物线 y2=2px 在与直线 y=x 交点处的曲率半径 （分数：4.00）填空项 1:_11. （分数：4.00）填空项 1:_12.函数 u=x2+y2+2z2在点 处沿曲线在 （分数：4.00）填空项 1:_13.已知 A 是 4 阶实对称矩阵，满足 A4-3A2=4E若秩 r(A-2E)=1则二次型 xTAx 的规范形是_（分数：4.00）填空项 1:_14.袋中有 8 个球，其中有 3 个白球，5 个黑球，从中随意取出 4 个球，如果 4 个球中有 2 个白球 2 个黑球，试验停止，否则将 4 个球放回袋中重
4、新抽取 4 个球，直至取到 2 个白球 2 个黑球为止用 X 表示抽取次数，则 PX=k=_(k=1，2，)，EX=_（分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 f(x)在 x0点可导， n， n为趋于零的正项数列，求极限（分数：10.00）_16.就 k 的不同取值情况，确定方程 x3-3x+k=0 实根的个数（分数：10.00）_17.设 f(x)为0，+)上的正值连续函数，已知曲线 （分数：10.00）_18.设 为椭球体 x2+y2+4z21，试证明 （分数：10.00）_19.()证明罗尔定理，若函数 f(x)在a，b上连续，在(a，b)上可导
5、，f(a)=f(b)则 （分数：10.00）_20.设 1(1，1，4，2) T， 2=(1，-1，-2，b) T， 3=(-3，-1，a，-9) T，=(1，3，10，a+b) T问：()当 a，b 取何值时， 不能由 1， 2， 3线性表出；()当 a，b 取何值时， 能由 1， 2， 3线性表出，并写出此时的表达式（分数：11.00）_21.设 3 阶实对称矩阵 A 的秩为 2， 1= 2=6 是 A 的二重特征值若 1=(1，a，0) T， 2=(2，1，1)T， 3=(0，1，-1) T都是矩阵 A 属于特征值 6 的特征向量()求 a 的值；()求 A 的另一特征值和对应的特征向量
6、；()若 =(-2，2，-1) T，求 An（分数：11.00）_22.已知随机变量 X 的概率密度为 在 X=x(x0)的条件下，随机变量 Y 在区间(0，x)上服从均匀分布，求：()随机变量 X 与 Y 的联合概率密度 f(x，y)，X 与 Y 是否独立，为什么?()计算条件概率 （分数：11.00）_23.设随机变量 X 的分布密度为 ，而 X1，X 2，X n为来自总体 X 的简单随机样本，试求：()未知参数 的矩估计量()未知参数 的最大似然估计量 ；()验证 （分数：11.00）_考研数学一-198 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：
7、32.00)1.设 n(3)维向量 1=(a，1，1，1) T， 2=(1，a，1，1) T， 3=(1，1，a，1)T， n=(1，1，1，a) T若秩 r( 1， 2， 3， n)=n-1，则 a=（分数：4.00）A.1B.-1C.1-n D.n-1解析：分析 令*对 A 作初等行变换，把第 1 行的-1 倍依次加至第 2，3，n 各行，又因 r(A)=n-1，显然有 a1把2，3，n 行约去 1-a 后再加至第 1 行就有*注 由于矩阵 A 是实对称矩阵，必有 A如果你能快捷地求出矩阵 A 的特征值，那么通过 r(A)=r(A)=n-1 可以很快地求出 a2.下列命题正确的是（分数：4
8、.00）A.B.C.D. 解析：*3.曲线 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：分析 由于*则 x=0(y 轴)为该曲线的一条垂直渐近线，又*则 y=x+1 为该曲线的一条斜渐近线，而*则 y=-x-1 为该曲线的另一条斜渐近线，原曲线共有三条渐近线，故应选(C)4.假设总体 X 服从正态分布 N(， 2)，X 1，X n是来自总体 X 的简单随机样本，其样本均值为 ，如果 ，其中以 a0，则有(A) a=nb (B) b=na （分数：4.00）A.B.C. D.解析：*5.已知 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：分析 由 BC，A(B-C)=0，知齐次方程组 Ax=0 有非零
9、解而 Ax=0 有非零解的充分必要条件是秩r(A)n*当 a=7 时，r(A)3但当 r(A)3 时，a 亦可为 1，所以 a=7 是充分而非必要条件评注 本题考查若 AB=0，则 B 的列向量是齐次方程组 Ax=0 的解，以及 Ax=0 有非零解的充分必要条件6.设 g(x)可导，且 x0 时，g(x)是 z 的高阶无穷小，则当 x0 时，必有（分数：4.00）A.g(x)是无穷小量B. C.是无穷大量D.若 G(x)=g(x)，则 G(x)是 x 的高阶无穷小解析：*评注 本题的其余选项都不正确事实上，若取*容易验证 g(x)可导，且当 x0 时，g(x)是 x 的高阶无穷小，但*若取 g
10、(x)=x2，*，显然当 x0 时，g(x)是 x 的高阶无穷小，且 G(x)=g(x)，但*不是 x 的高阶无穷小，则(D)不正确7.已知 y=f(x)在 x=0 处二阶可导，且 f(0)=f“(0)=2， =（分数：4.00）A.B.C. D.解析：分析 由于*上式两端对 y 求导得*故应选(C)8.已知随机变量 X 的概率密度为 f(x)，则随机变量函数 Y=|X|的概率密度 fY(y)为(A) fY(y)=f(y)+f(-y)（分数：4.00）_解析：分析 F Y(y)=PYy)=P|X|y二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 x0， （分数：4.00）填空项 1:_ （正
11、确答案：X=2）解析：分析 由于*则 f(x)在 X=2 处不可导10.设抛物线 y2=2px 在与直线 y=x 交点处的曲率半径 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：x-2y+2=0）解析：分析 由 Y2=2px 知，当 y=X 时，X=Y=2p，且*该曲线在(2p，2p)处的曲率半径为*抛物线方程为 y2=2x，与 y=x 交点为(2，2)，这时*，该点处的切线方程为 x-2y+2=011. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 令 1-x=sint，则 dx=-costdt*12.函数 u=x2+y2+2z2在点 处沿曲线在 （分数：4.00）填空项 1
12、:_ （正确答案：*）解析：*13.已知 A 是 4 阶实对称矩阵，满足 A4-3A2=4E若秩 r(A-2E)=1则二次型 xTAx 的规范形是_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 设 A=，0，由 A4-3A2=4E 有( 4-3 2-4)=0，0从而 4一 3 2-4=0亦即( 2+1)( 2-4)=0因为实对称矩阵特征值必是实数故 A 的特征值是 2 或-2由 r(A-2E)=1那么 n-r(A-2E)=4-1=3说明齐次方程组(2E-A)x=0 有 3 个线性无关的解亦即 =2 有 3个线性无关的特征向量故矩阵 A 的特征值是 2，2，2，-214.袋中有
13、8 个球，其中有 3 个白球，5 个黑球，从中随意取出 4 个球，如果 4 个球中有 2 个白球 2 个黑球，试验停止，否则将 4 个球放回袋中重新抽取 4 个球，直至取到 2 个白球 2 个黑球为止用 X 表示抽取次数，则 PX=k=_(k=1，2，)，EX=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 记 Ai=“第 i 次取出 4 个球是 2 个白球 2 个黑球”，由于是有放回取球，因而 Ai是相互独立的根据超几何分布知*，又由几何分布得：*三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 f(x)在 x0点可导， n， n为趋于零的正项数列，求极限（分数：10.00
14、）_正确答案：(由于 f(x)在点 x0处可导，则f(x0+x)=f(x 0)+f(x0)x+x其中*，从而有f(x0+ n)=f(x0)+f(x0) n+ 1 nf(x0- n)=f(x0)+f(x0) n+ 2 n则*)解析：16.就 k 的不同取值情况，确定方程 x3-3x+k=0 实根的个数（分数：10.00）_正确答案：(令 f(x)=X3-3x+k则 f(x)=3x 2-3由 f(x)=3x-3=0 得 x=1则当 x(-，-1)时，f(x)0，f(x)单调增；当 x(-1，1)时，f(x)0，f(x)单调减；当 X(1，+)时，f(x)0，f(x)单调增*则 (1)当|k|=2
15、时，两个实根(2)当|k|2 时，一个实根(3)当|k|2 时，三个实根)解析：17.设 f(x)为0，+)上的正值连续函数，已知曲线 （分数：10.00）_正确答案：(曲线*和两坐标轴及直线 x=t(t0)所围区域绕 Y 轴旋转所得体积为*曲线 y=f(x)和两坐标轴及直线 X=t(t0)所围区域的面积为*则*上式两端对 t 求导得*)解析：18.设 为椭球体 x2+y2+4z21，试证明 （分数：10.00）_正确答案：(令 f(x，y，z)=x+y+z由 fx(x，y，z)=10， f y(x，y，z)=10， f z(x，y，z)=10从而 f(x，y，z)=x+y+z 在椭球体 x2
16、+y2+4z21 内无极值点，则 f(x，y，z)在 x2+y2+4z21 上的最大值和最小值都在区域 X2+y2+4z21 的边界曲面 X2+y2+4z2=1 上取得，令F(x，y，z，)=x+Y+z+(x 2+y2+4z2-1)*椭球体 ：x 2+y2+4z2 1 的体积为*)解析：分析 若能求得被积函数|x+y+z|在 上的最大值 M，则*其中 V 为椭球体 X2+Y2+4z21 的体积，为此，可先求出 x+y+z 在 上的最小值和最大值19.()证明罗尔定理，若函数 f(x)在a，b上连续，在(a，b)上可导，f(a)=f(b)则 （分数：10.00）_正确答案：()由于 f(x)在a
17、，b上连续，则 f(x)在a，b上有最大值 M 和最小值 mi)若 M=m，则*，结论显然成立ii)若 Mm，由于 f(a)=f(b)，则 f(x)在a，b上的最大值 M 和最小值 m 至少有一个在(a，b)内取得，不妨设最大值在 x=(a，b)处取到，由费马引理知 f()=0()反证法：若 f(x)在区间 I 上的零点不止 n 个，则至少应有 n+1 个，不妨设为 x1x 2x 3x n+1，在区间x i，x i+1(i=1，2，n)上分别用罗尔定理得，存在 i(x i，x i+1)(i=1，2，n)，使f( i)一 0，即 f(x)在 I 上至少有 n 个零点，在 f(x)的相邻两个零点之
18、间对 f(x)用罗尔定理得 f“(x)在区间 I 上至少有 n-1 个零点，以此类推，f (n)(x)在 I 上至少有一个零点，与题设矛盾，故原题得证)解析：评注 本题()中所证的结论可看作罗尔定理的推论，这个推论在讨论方程根的个数时是一个常用的结论20.设 1(1，1，4，2) T， 2=(1，-1，-2，b) T， 3=(-3，-1，a，-9) T，=(1，3，10，a+b) T问：()当 a，b 取何值时， 不能由 1， 2， 3线性表出；()当 a，b 取何值时， 能由 1， 2， 3线性表出，并写出此时的表达式（分数：11.00）_正确答案：(设 x1 1+x2 2+x3 3=，对增
19、广矩阵*作初等行变换得*r(A)=3，*方程组无解， 不能由 1， 2， 3线性表出()当 a=-6 时*若 b=5方程组有无穷多解令 x3=t 得 x2=t-1，x 1=2t+2即 =(2t+2) 1+(t-1) 2+t 3t 为任意常数若 b5方程组有唯一解 x1=6，x 2=1，x 3=2即 =6 1+ 2+2 3)解析：21.设 3 阶实对称矩阵 A 的秩为 2， 1= 2=6 是 A 的二重特征值若 1=(1，a，0) T， 2=(2，1，1)T， 3=(0，1，-1) T都是矩阵 A 属于特征值 6 的特征向量()求 a 的值；()求 A 的另一特征值和对应的特征向量；()若 =(
20、-2，2，-1) T，求 An（分数：11.00）_正确答案：(I)对于实对称矩阵 A，若 是矩阵 A 的 k 重特征值，则矩阵 A 属于特征值 的特征向量有且只有 k 个是线性无关的因此 1， 2， 3必线性相关，那么*故 a=1()由秩 r(A)=2，知|A|=0，又*，所以 A 的另一个特征值是 3=0由题设 1=(1，1，0)T， 2=(2，1，1) T为 A 的属于特征值 6 的线性无关的特征向量设 A 属于特征值 0 的特征向量为=(x 1，x 2，x 3)T，于是*0 即*解得此方程组的基础解系为 =(-1，1，1) T那么矩阵 A 属于特征值 3=0 的全部特征向量为 k=k(
21、-1，1，1) T(k 为任意非零常数)()设 x1 1+x2 2+x3=，对( 1， 2，|)作初等行变换，有*解出 x1=3，x 2=-2，x 3=1故=3 1-2 2+因为A 1=6 1，A 2=6 2，A=0所以An=3A n 1-2An 2+An=36 n 1-26n 2=(-6n，6 n，-26 n)T)解析：评注 本题考查实对称矩阵特征值、特征向量的性质如果 是矩阵 A 的 k 重特征值，那么 至多有 k 个线性无关的特征向量，而作为实对称矩阵，则 k 重特征值必有 k 个线性无关的特征向量，从而保证本题中 1， 2， 3一定线性相关，可求出 a；要掌握实对称矩阵特征值不同特征向
22、量相互正交这一性质本题亦可由 A( 1， 2，)=(6 1，6 2，0)，先求出矩阵 A然后利用 A=*而求出 An=P nP-1其中 P=( 1， 2，)再来计算 An22.已知随机变量 X 的概率密度为 在 X=x(x0)的条件下，随机变量 Y 在区间(0，x)上服从均匀分布，求：()随机变量 X 与 Y 的联合概率密度 f(x，y)，X 与 Y 是否独立，为什么?()计算条件概率 （分数：11.00）_正确答案：()由题设知：在 X=x(x0)的条件下，Y 的条件密度为*根据乘法公式得*由此可知 Z=X-Y 服从参数 =1 的指数分布方法二(公式法)已知(X，Y)f(x，y)，则 Z=X
23、-Y 的概率密度 fZ(z)=* 由此可知：当 z0 时，f Z(z)=0；*所以 Z=X-Y 服从参数 =1 的指数分布)解析：注 仿照上述方法可以求得 Z=X+Y 的概率密度 fZ(z)方法一(分布函数法)Z=X+Y 的分布函数*由 f(x，y)非零定义域知：当 z0 时，F Z(z)=0；*方法二(公式法)已知(X，Y)f(x，y)，则 Z=X+Y 的概率密度 fZ(z)=*23.设随机变量 X 的分布密度为 ，而 X1，X 2，X n为来自总体 X 的简单随机样本，试求：()未知参数 的矩估计量()未知参数 的最大似然估计量 ；()验证 （分数：11.00）_正确答案：(*令 EX=*)解析：
