1、考研数学一-199 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.下列函数（分数：4.00）A.B.C.D.2.曲线 （分数：4.00）A.B.C.D.3.有一椭圆形薄板，长半轴为 a，短半轴为 b，薄板垂直立于液体中，而其短轴与液面相齐，液体的比重为 ，则液体对薄板的侧压力为A BC D （分数：4.00）A.B.C.D.4.设 F(x，y)在点(x 0，y 0)某邻域有连续的偏导数，F(x 0，y 0)=0，则 （分数：4.00）A.B.C.D.5.设 A 是 3 阶矩阵，其特征值为 1，-1，-2，则下列矩阵中属于可逆矩阵的是AA+E
2、. BA-E. CA+2E. D2A+E.（分数：4.00）A.B.C.D.6.n 维向量组()： 1， 2， s和向量组()： 1， 2， t等价的充分必要条件是A秩 r()=r()且 s=t.Br()=r()=n.C向量组()的极大无关组与向量组()的极大无关组等价. D向量组()线性无关，向量组()线性无关且 s=t.（分数：4.00）A.B.C.D.7.已知随机变量 （分数：4.00）A.B.C.D.8.设随机变量 XiB(i，0.1)，i=1，2，15，且 X1，X 2，X 15相互独立，根据切比雪夫不等式. 则（分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.0
3、0)9.曲线 （分数：4.00）填空项 1:_10.微分方程 2x3y=y(2x 2-y2)的通解是_.（分数：4.00）填空项 1:_11.设 是由曲面 y2+z2=1，|x+y|=1，|x-y|=1 围成，则 的体积 V=_.（分数：4.00）填空项 1:_12.设 L 为曲线|x|+|y|=1，则 （分数：4.00）填空项 1:_13.已知三元二次型（分数：4.00）填空项 1:_14.假设每次试验只有成功与失败两种结果，并且每次试验的成功率都是 p(0p1). 现进行重复独立试验直至成功与失败的结果都出现为止，已知试验次数 X 的数学期望 EX=3，则 p=_.（分数：4.00）填空项
4、 1:_三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.求数列极限 （分数：9.00）_16.证明下列命题：()设 f(x，y)定义在全平面上，且 ，则 f(x，y)恒为常数；()设 u(x，y)，v(x，y)定义在全平面上，且满足（分数：10.00）_17.设曲面积分其中 S+为上半椭球面： (0zc)的上侧. ()求证： 其中 是上半椭球体：（分数：11.00）_18.设 （分数：10.00）_19.设 f(x)在0，1连续，在(0，1)二阶可导且 f(0)=f(1)=0，f(x)0(x(0，1)，证明：()f(x)0(x(0，1). ()设 （分数：10.00）_20.已知 A=( 1，
5、 2， 3， 4)是 4 阶矩阵， 1， 2， 3， 4是 4 维列向量，若方程组 Ax= 的通解是(1，2，2，1) T+k(1，-2，4，0) T，又 B=( 3， 2， 1，- 4)，求方程组 Bx= 1- 2的通解.（分数：11.00）_21.若任一 n 维非零列向量都是 n 阶矩阵 A 的特征向量，证明 A 是数量矩阵(即 A=kE，E 是 n 阶单位矩阵).（分数：11.00）_22.有三封不同的信随机投入编号为 1，2，3，4 的四个信箱中，以 X 表示有信的最小信箱号码，以 Y 表示无信的最大信箱号码，求 X，Y 的联合概率分布.（分数：11.00）_23.设随机变量 X 的概
6、率密度函数为 ，对 X 进行两次独立观察，其结果分别记为 X1，X 2，令（分数：11.00）_考研数学一-199 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.下列函数（分数：4.00）A.B. C.D.解析：按定义分析，即分析 的存在性，并要逐一分析.由 在点 x=0 处可导由 在点 x=0 处不可导. 由 在点 x=0 处可导由 在点 x=0 处不可导. 因此选 B.1以上的极限运算中利用了等价无穷小因子替换： ，sinxz(x0).2这几个函数作为复合函数是可导函数与不可导函数的复合，或不可导函数与可导函数的复合，因此不能用复合函数求
7、导法则来讨论，如中，g(u)=eosu 与 的复合，u= 在 x=O 处不可导，而 g(u)在 可导，复合结果 在 x=0 处可导又如中，g(u)=sinu 与 复合结果2.曲线 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：先求出 y与 y.由 在(-，+)连续，且在 两侧 y变号，x=0 两侧也变号 (0，0)， 均为 的拐点，再无其他拐点.因此，选 D.在 x=0，3.有一椭圆形薄板，长半轴为 a，短半轴为 b，薄板垂直立于液体中，而其短轴与液面相齐，液体的比重为 ，则液体对薄板的侧压力为A BC D （分数：4.00）A.B. C.D.解析：取坐标系如图所示，椭圆方程为 对小区间x，x+d
8、x对应的小横条薄板，液体对它的压力于是液体对薄板的侧压力为4.设 F(x，y)在点(x 0，y 0)某邻域有连续的偏导数，F(x 0，y 0)=0，则 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：由隐函数 定理知，在题设条件下， 是方程 F(x，y)=0 在点(x 0，y 0)某邻域能确定一个连续函数 y=y(x)，满足 y0=y(x0)并有连续导数的充分条件，但不是必要条件. 如 F(x，y)=x 3-xy，F(0，0) =0，5.设 A 是 3 阶矩阵，其特征值为 1，-1，-2，则下列矩阵中属于可逆矩阵的是AA+E. BA-E. CA+2E. D2A+E.（分数：4.00）A.B.C.D.
9、 解析：由于 ，故 A 可逆6.n 维向量组()： 1， 2， s和向量组()： 1， 2， t等价的充分必要条件是A秩 r()=r()且 s=t.Br()=r()=n.C向量组()的极大无关组与向量组()的极大无关组等价. D向量组()线性无关，向量组()线性无关且 s=t.（分数：4.00）A.B.C. D.解析：向量组等价的必要条件是秩相等，等价与向量的个数无关. 例如：向量组(1，0，0)，(2，0，0)与向量组(0，1，0)，(0，2，0)的秩相等，但它们不等价；向量组(1，0，0)，(2，0，0)与向量组(3，0，0)等价，但向量个数不同，故 A 不正确.r()=r()=n 是向量
10、组()与向量组()等价的充分条件，不必要. 例如，向量组(1，0，0)，(0，1，0)与向量组(2，0，0)，(0，2，0)等价，但秩不为 n. 故 B 不正确.向量组()与向量组()的极大无关组等价，向量组()与向量组()的极大无关组等价，如果向量组()的极大无关组与向量组()的极大无关组等价，由等价的传递性自然有向量组()与向量组()等价，反之亦对，故 C 正确，应选 C.注意，等价与向量组的相关、无关没有必然的联系，故 D 不正确.7.已知随机变量 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：由题设条件计算得P(A)=P(B)=P(G1)=P(C2)=0.5，P(A)P(B)P(C1)=0
11、.125=P(A)P(B)P(C2)，P(AB)=P(AC1)=P(BC1)=P(AC2)=P(BC2)=0.25，P(ABC1)=0.25，P(ABC 2)=0，由此验证知 D 正确，应选 D.要注意区别相互独立与两两独立的概念，称三个事件 A，B，C 相互独立，如果它们满足下面 4 个等式：P(AB)=P(A)P(B)； P(AC)=P(A)P(C)；P(BC)=P(B)P(C)； P(ABC)=P(A)P(B)P(C).如果，A，B，C 仅满足以上前 3 个等式，则称它们为两两独立.8.设随机变量 XiB(i，0.1)，i=1，2，15，且 X1，X 2，X 15相互独立，根据切比雪夫不
12、等式. 则（分数：4.00）A. B.C.D.解析：由题设知 EXi=0.1i，DX i=0.09i，i=1，2，15，则于是由切比雪夫不等式，有二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.曲线 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：x=0， ）解析：只有间断点 x=0， ，于是有垂直渐近线 x=0.再求 其中又或于是有斜渐近线10.微分方程 2x3y=y(2x 2-y2)的通解是_.（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：，其中 C0 为 常数， ）解析：这是齐次方程. 原方程变形为令 ，则 ，即分离变量得积分得 ，即因此，通解为 ，其中 C0 为11.设 是由曲面 y2+z
13、2=1，|x+y|=1，|x-y|=1 围成，则 的体积 V=_.（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析： 在 xOy 平面上的投影区域 Dxy是由 xOy 平面上的曲线|x+y|=1 与|x-y|=1 围成，见图. 于是 表示为 的体积Dxy在第一象限部分记为 D1，由对称性得其中 D1：0y1，0x1-y. 于是或12.设 L 为曲线|x|+|y|=1，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：分析一 L 是正方形的边界线，见下图，因 L 关于 x，y 轴对称，被积函数关于 y 与 x 均为偶函数，记 L1为 L 的第一象限部分，则分析二 利用变量的轮换对
14、称性的长度13.已知三元二次型（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：二次型矩阵因为|A|=(a+2)(a-1) 2，由秩 r(A)=2，易见 a=-2. 由可知矩阵 A 的特征值为 3，-3，0. 从而正交变换下二次型标准形为 ，故其规范形为14.假设每次试验只有成功与失败两种结果，并且每次试验的成功率都是 p(0p1). 现进行重复独立试验直至成功与失败的结果都出现为止，已知试验次数 X 的数学期望 EX=3，则 p=_.（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：首先求出 X 的概率分布，再用期望定义求解 p 的值. 依题意 X 取值为 2，3，且PX=n=p
15、qn-1+qpn-1，(q=1-p)解方程 得三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.求数列极限 （分数：9.00）_正确答案：(直接计算不易实现，先作恒等变形即分部积分，有现不必求出 ，只需对它用适当放大缩小法，利用 (x0，1)即知又 ，于是因此 )解析：16.证明下列命题：()设 f(x，y)定义在全平面上，且 ，则 f(x，y)恒为常数；()设 u(x，y)，v(x，y)定义在全平面上，且满足（分数：10.00）_正确答案：()方法 1即证 f(x，y)=f(0，0) . 由于f(x，y)-f(0，0)=f(x，y)-f(0，y)+f(0，y)-f(0，0)(其中 在 x，0
16、之间， 在 0，y 之间)因此 f(x，y)=f(0，0) .方法 2偏导数实质上是一元函数的导数，在全平面上， ，即 给定 y，作为 x 的一元函数f(x，y)对 x 的导数于是 f(x，y)=(y)(y)是 可导函数(当 y 给定时它是 x 的常数函数).将上式两端关于 y 求偏导数与导数，有f(x，y)=(y)=G.因此 f(x，y)恒为常数. ()由所给条件即证由将 代入上式此方程组的系数行列式若 C=0 u=0，v=0；若 )解析：对于这类证明题，考生要注意题设条件与结论的内在关系及所证结论的转换. 例如：设函数z=f(x，y)具有二阶连续编导数，且 ，试证对任意的常数 C，f(x，
17、y)=C 确定 y=y(x)为一直线的充要条件是(提示由于 y=y(z)是线性函数的充要条件为 y(x)=K(K 为常数)，进而 y(x)=0. 设 y=y(x)是由方程f(x，y)=C 确定的隐函数，则只需证题中的条件是 的充要条件.作为复习，请考生证明：()设 u(x，y)有二阶连续偏导数，则 u(x，y)=f(x)+g(y)的充要条件是. ()设 u(x，y)0，且具有二阶连续编导数，则 u(x，y)=f(x)g(y)的充分必要条件是(提示该题与题()是相类似的问题，证明思路同题()的方法 2. )分析与证明：现求出17.设曲面积分其中 S+为上半椭球面： (0zc)的上侧. ()求证：
18、 其中 是上半椭球体：（分数：11.00）_正确答案：()由题设 S+的方程，J 可简化成要将曲面积分 J 化为三重积分，可用高斯公式. 由于 S+不是封闭曲面，故要添加辅助面取法向量 n 向下，S +与 所围的区域记为 ，它的边界取外侧，于是在 上用高斯公式得其中 上的曲面积分为零，因为 与 yz 平面及 zx 平面均垂直，又在 上 z=0.()求曲面积分 J 转化为求题()中的三重积分. 怎样计算这个三重积分：因为 是半椭球体，不宜选用球坐标变换与柱坐标变换. 我们用先二(先对 x，y 积分)后一(后对 z 积分)的积分顺序求由于 z0，c，与 z 轴垂直的平面截 得区域 D(z)为又这个
19、椭圆的两个半轴分别为 ，面积是 ，于是可以用同样方法计算但是，由坐标的轮换对称性，有 J1=J2=J3.)解析：18.设 （分数：10.00）_正确答案：()已知 ，故()f(x)首先要在 x=0 连续，因 ，故只能有 A=1. 上式右端幂级数在 x=0 取值为 1. 此时因为幂级数在收敛区间内任意阶可导 f(x)在(-，+)任意阶可导. 记 ，则于是 )解析：求函数的幂级数展开与幂级数求和有相同的方法，要指明展开式成立的区间，特别要注意收敛区闯端点的情形.若由间接法求得 f(x)的幂级数展开式 ，则可由展开式的系数 an直接求得 f(n)(x0)=ann!.设 确定常数 A，使得 f(x)在
20、(-，+)任意阶可导的方法是：确定常数 A，使得 f(x)在(-，+)可展成幂级数19.设 f(x)在0，1连续，在(0，1)二阶可导且 f(0)=f(1)=0，f(x)0(x(0，1)，证明：()f(x)0(x(0，1). ()设 （分数：10.00）_正确答案：()由假设条件及罗尔定理知， a(0，1)，f(a)=0. 由 f(x)在(0，1)()方法 1要证：f(x)-M 在(0，1) 零点 在(0，1) 零点. 作辅助函数 F(x)= f(x)-MxF(x)在0，1连续，在(0，1)可导，F(0)=f(0)=0. 再找 F(x)在(0，1)的一个零点. 由F(a)=f(a)-Ma=M(
21、1-a)0，F(1)=f(1)-M=-M0 ，使得 F()=0.在 上对 F(x)用罗尔定理 ，使得 F()=0，即 f()=M.方法 2作辅助函数 F(x)=f(x)-Mx，由 F(x)在0，1连续，在(0，1)可导，且F(0)=0，F(a)=M(1-a)0，F(1)=-M0F(x)在0，1的最大值不能在 x=0 或 x=1 取到 ，使得由费马定理 F()=0，即 f()=M.方法 3先证 M 是 f(x)的某一中间值. 由 a(0，1)， 0，又由拉格朗日中值定理， ，使得即亦即 f(a)Mf().由连续函数中间值定理 ，使得 f()=M.最后证唯一性. 由 f(x)0(x(0，1) f(
22、x)在 )解析：20.已知 A=( 1， 2， 3， 4)是 4 阶矩阵， 1， 2， 3， 4是 4 维列向量，若方程组 Ax= 的通解是(1，2，2，1) T+k(1，-2，4，0) T，又 B=( 3， 2， 1，- 4)，求方程组 Bx= 1- 2的通解.（分数：11.00）_正确答案：(由方程组 Ax= 的解的结构，可知r(A)=r( 1， 2， 3， 4)=3，且 1+2 2+2 3+ 4=， 1-2 2+4 3=0.因为 B=( 3， 2， 1，- 4)=( 3， 2， 1， 1+2 2+2 3)，且 1， 2， 3线性相关，而知秩r(B)=2.由 ，知(0，-1，1，0) T是
23、方程组 Bx= 1- 2的一个解.又由)解析：要会正反两个方面用好方程组解的结构；要会用观察法来分析方程组的解.21.若任一 n 维非零列向量都是 n 阶矩阵 A 的特征向量，证明 A 是数量矩阵(即 A=kE，E 是 n 阶单位矩阵).（分数：11.00）_正确答案：(因为任一个 n 维非零列向量均是 A 的特征向量，故 A 有 n 个线性无关的特征向量，从而 A 必与对角矩阵相似.现取 n 个单位向量 i=(0，0，1，0，0) T，(i=1，2，n)为 A 的特征向量，其特征值分别为 1， 2， n，那么令 P=( 1， 2， n)=E，有即 )解析：n 阶数量矩阵 kE 的特征值是 k
24、(n 重根)，并且任一 n 维非零列向量都是 kE 的特征向量。22.有三封不同的信随机投入编号为 1，2，3，4 的四个信箱中，以 X 表示有信的最小信箱号码，以 Y 表示无信的最大信箱号码，求 X，Y 的联合概率分布.（分数：11.00）_正确答案：(3 封信投入 4 个信箱，共有 43=64 种投法. 根据 X，Y 的含义，显然有PX=1，Y=1=PX=2，Y=2=PX=3，Y=3=PX=4，y=4=0，PX=3，Y=1=0，PX=4，Y=1=PX=4，Y=2=0，PX=2，Y=1=P1 号信箱无信，2，3，4 号信箱均有信PX=3，Y=2=P1，2 号空，3，4 号有信PX=4，Y=3
25、=P4 号有信，1，2，3 号均空PY=3，Y=4=P3 号有信，其他均空=PX=2，Y=3=P2，4 号有信，1，3 号空PX=1，Y=2=P1，3，4 有信，2 号空PX=1，Y=3=P1，4 号有信，2，3 号空+P1，2，4 号有信，3 号空同理可以计算出把以上各数填入表中(如下表)，表中的箭头表示我们的计算顺序.)解析：X，Y 的取值均为 1，2，3，4，可利用古典概型求联合分布，也可以先分别求出 X 的分布与 Y 的分布，即边缘分布，再求联合分布，我们采取直接求联合分布.23.设随机变量 X 的概率密度函数为 ，对 X 进行两次独立观察，其结果分别记为 X1，X 2，令（分数：11.00）_正确答案：()由 ，即显然，X 1与 X2独立且与 X 同分布，因而有()由于 Y1，Y 2均为离散型随机变量，且都可取值 1，0，则由题设可得其联合概率分布于是(Y 1，Y 2)的联合概率分布见下表，其中)解析：寻求分布中的未知参数，常常是利用概率分布的性质，例如， ，F(-)=0，F(+)=1；或者与分布有关的某个事件的概率值，这是求解这类题目的常用方法.
