1、考研数学一-200 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 X1，X 2，X n是总体 N(0， 2)的样本，则( )可以作为 2的无偏估计量（分数：4.00）A.B.C.D.2.设 m 和 n 为正整数，a0，且为常数，则下列说法不正确的是( )（分数：4.00）A.当 m 为偶数，n 为奇数时，B.当 m 为奇数，n 为偶数时，C.当 m 为奇数，n 为奇数时，D.当 m 为偶数，n 为偶数时，3.设 （分数：4.00）A.B.C.D.4.设随机变量 XN(1，2 2)，其分布函数和概率密度分别为 F(x)和 f(x)，则对任
2、意实数 x，下列结论中成立的是( )（分数：4.00）A.F(x)=1-F(-x)B.f(x)=f(-x)C.D.F(1-x)=1-F(1+x)5.已知 n 维向量的向量组 1， 2， s线性无关，则向量组 1， 2， s可能线性相关的是( )（分数：4.00）A. i(i=1，2，s)是 i(i=1，2，s)中第一个分量加到第 2 个分量得到的向量B. i(i=1，2，s)是 i(i=1，2，s)中第一个分量改变成其相反数的向量C. i(i=I，2，s)是 i(i=1，2，s)中第一个分量改为 0 的向量D. i(i=1，2，s)是 i(i=1，2，s)中第 n 个分量后再增添一个分量的向量
3、6.以下说法正确的是( )（分数：4.00）A.若数项级数 收敛，则数项级数B.若数项级数 收敛，则数项级数C.若数项级数 条件收敛，则数项级数D.若数项级数 绝埘收敛，则数项级数7.线性方程组 Ax=b 经初等行变换其增广矩阵化为（分数：4.00）A.B.C.D.8.以下四个命题：在某区间内连续的函数 f(x)在该区间内一定有原函数 F(x)；含有第一类间断点的函数 f(x)在包含该间断点的区间内一定没有原函数 F(x)；含有第二类间断点的函数 f(x)在包含该间断点的区间内一定没有原函数 F(x)；可导函数 F(x)求导后的函数 F(x)=f(x)不一定连续，但是如果有间断点，一定是第二类
4、间断点正确的命题个数为( )（分数：4.00）A.1B.2C.3D.4二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 （分数：4.00）填空项 1:_10.设点 P 为曲面 z=x+(y-z)3上的任一点，其切平面始终垂直于过点(1，2，3)的一平面，则该平面的方程为_（分数：4.00）填空项 1:_11.微分方程 y“+4y=xsin2x 的通解为_（分数：4.00）填空项 1:_12.设是球面 x2+y2+z2=R2的外侧，则 （分数：4.00）_13.设 （分数：4.00）填空项 1:_14.设 X 和 Y 是两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为 则 E(XY)=_（分数：4.00
5、）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 为 f(x)=arcsin x 在区间0，b上使用拉格朗日中值定理中的“中值”，求 （分数：10.00）_16.设 f(0)=0，f(x)(0，1)，证明 （分数：10.00）_17.求函数 （分数：10.00）_18.求级数 （分数：10.00）_19.()计算()当 x1 -时，求与 （分数：10.00）_20.设平面上三个点 Pi(xi，y i)(i=1，2，3)不共线，且 x1，x 2，x 3互不相同请证明：过这三个点且对称轴与 y 轴平行的抛物线方程可表示为（分数：11.00）_21.设 A 是 n 阶实矩阵，则 A
6、 为正定矩阵的充要条件是存在 n 阶正定矩阵 B，使得 A=B2（分数：11.00）_22.设随机变量 X 与 Y 相互独立，并在区间0，2上服从均匀分布，求随机变量 （分数：11.00）_23.设总体 X 的密度函数 为来自总体 X 的简单随机样本，Y=X 2，()求 的矩估计量 和最大似然估计 ；()求 Y 的数学期望 EY 的最大似然估计 （分数：11.00）_考研数学一-200 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 X1，X 2，X n是总体 N(0， 2)的样本，则( )可以作为 2的无偏估计量（分数：4.00）A. B
7、.C.D.解析：本题以概率统计知识为载体，实质考查数字特征的计算，属于基础题*，故*，答案选择(A)2.设 m 和 n 为正整数，a0，且为常数，则下列说法不正确的是( )（分数：4.00）A.当 m 为偶数，n 为奇数时，B.当 m 为奇数，n 为偶数时，C.当 m 为奇数，n 为奇数时，D.当 m 为偶数，n 为偶数时， 解析：本题考查二重积分的计算，其中要用到积分的周期性质，并且需要分情况讨论，是一道具有一定难度的综合计算题令*则*对于*，令 =+t，则*(a)当 m 和 n 中有且仅有一个为奇数时，(-1) m(-1)n=-1，从而积分为零；(b)当 m 和 n 均为奇数时，(-1)
8、m(-1)n=1，从而*由 cosmsin n 为*上的奇函数，故积分为零总之，当 m 和 n 中至少一个为奇数时，*故答案选择(D)点评 此题用到的一个关键命题是：对于以 T 为周期的连续函数 f(x)，有公式*=*灵活地选取 x，可以比较好地解决问题3.设 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：本题考查函数的有界性的判别，这一直是研究生考试的重要知识点其主要依据是：设*存在，则在“x”时，f(x)有界其中 x是指 xx 0，*，*，x，x-，x+等六种情形，值得指出的是：极限存在只是函数有界的充分条件，并非必要条件设 f(x)在a，b上连续(事实上可以放宽至“常义可积”)，则 f(x)
9、在a，b上有界有界函数与有界函数的和、差、积仍为有界函数具体说来，(a)对于 f(x)*同理*，故在*(0，)内，f(x)有界；又*，*有界，且 sin x 有界，同理，*，*有界，且 sin x 有界，故 f(x)在(-，-X)(X，+)内有界；同时，由于 f(x)在-X，-和，X上连续，则有界综上所述，f(x)在其定义域(-，0)(0，+)上有界(b)对于 g(x)，取*，则*对任意正数 M，当 k 充分大时，有 g(xn)M，所以 g(x)无界4.设随机变量 XN(1，2 2)，其分布函数和概率密度分别为 F(x)和 f(x)，则对任意实数 x，下列结论中成立的是( )（分数：4.00）
10、A.F(x)=1-F(-x)B.f(x)=f(-x)C.D.F(1-x)=1-F(1+x) 解析：本题考查正态分布的基本知识和分布函数的基本概念，属于基础题由于 XN(1，2 2)，则 f(x)以 x=1 为对称轴对称，故P(X1+x)=P(X1-x)，即 F(1-x)=1-P(X1+x)=1-F(1+x)，所以选择(D)5.已知 n 维向量的向量组 1， 2， s线性无关，则向量组 1， 2， s可能线性相关的是( )（分数：4.00）A. i(i=1，2，s)是 i(i=1，2，s)中第一个分量加到第 2 个分量得到的向量B. i(i=1，2，s)是 i(i=1，2，s)中第一个分量改变成
11、其相反数的向量C. i(i=I，2，s)是 i(i=1，2，s)中第一个分量改为 0 的向量 D. i(i=1，2，s)是 i(i=1，2，s)中第 n 个分量后再增添一个分量的向量解析：本题考查向量组中各个向量的维数增减后的线性相关性，属于基础题对于正确选项(C)，将 i(i=1，2，s)中第一个分量改为 0，相当于减少一个分量，此时新向量组可能变为线性相关，即原来向量组线性无关，缩短维数后可能线性相关对于选项(A)、(B)，均属于初等变换，初等变换不改变矩阵的秩，故也不会改变向量组的线性无关性，对于选项(D)，增加向量分量不改变线性无关性，即原来向量组线性无关，增加维数后一定线性无关6.以
12、下说法正确的是( )（分数：4.00）A.若数项级数 收敛，则数项级数B.若数项级数 收敛，则数项级数 C.若数项级数 条件收敛，则数项级数D.若数项级数 绝埘收敛，则数项级数解析：本题考查抽象型数项级数的判敛法，是一道有难度的综合题对于选项(A)、(B)，级数*，则*N0，当 nN 时，一定有(a n)20121，即|a n|1于是当 nN 时，有 0|a n|2013=(an)2012|an|(a n)2012，根据正项级数的比较判别法，*绝对收敛本题正确答案选择(B)对于选项(C)、(D)，由于(a n)20120，所以级数*为正项级数，顺便指出，正项级数只谈收敛和发散，当收敛时是没有绝
13、对收敛和条件收敛之分的由于(a n)2013符号不确定，若级数*收敛，首先要明确它既有可能绝对收敛，也有可能条件收敛，所以考生看到我们对选项做了科学设置(C)、(D)选项从表述上就是错误的，即可排除)(a)当级数*绝对收敛时，用分析(A)、(B)选项的方法，可得，级数*收敛(b)取*故级数*条件收敛，级数*发散(C)取*故级数*条件收敛，级数*收敛7.线性方程组 Ax=b 经初等行变换其增广矩阵化为（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：本题是考查非齐次方程组的求解的基础题当 a=-1 时，r(A)=4，r(*)=4，方程组必有唯一解，故(A)不正确当 a=1 时，仍有 r(A)=r(*)=
14、4，故(B)不正确当 a=2 时，*r(A)=r(*)4，方程组有无穷多解，(C)不正确当 a=3 时，*可观察出二、三两个方程矛盾，方程组无解，故应选(D)8.以下四个命题：在某区间内连续的函数 f(x)在该区间内一定有原函数 F(x)；含有第一类间断点的函数 f(x)在包含该间断点的区间内一定没有原函数 F(x)；含有第二类间断点的函数 f(x)在包含该间断点的区间内一定没有原函数 F(x)；可导函数 F(x)求导后的函数 F(x)=f(x)不一定连续，但是如果有间断点，一定是第二类间断点正确的命题个数为( )（分数：4.00）A.1B.2C.3 D.4解析：本题考查考生对于原函数概念的理
15、解，其中涉及连续与间断、导数定义、不定积分、变限积分等基本概念，是一道有一定难度的综合题其中命题、均是正确命题，命题是错误命题理由如下对于命题，是高等数学教材中的“微积分基本定理”，在 2008 年研究生考试中已经考过其证明过程，考生应该牢记这个结论并会使用；对于命题，可以用如下一个命题来说明其正确性设 F(x)在(a，b)内可导，可以证明导函数 F(x)在(a，b)内必定没有第一类间断点：设 x=x0为 F(x)的第一类间断点，则只有下述两种情况：(a)x=x0为第一类可去间断点，即*F(x)存在为 A，但 AF(x 0)，而*产生矛盾；(b)x=x0为第一类跳跃间断点，即*存在为 A+，*
16、存在为 A-，但 A+A -，而由*F(x0)又是存在的，则 F+(x0)=F-(x0)，即 A+=A-，矛盾综上所述(a)与(b)均不可能，即导函数 F(x)在(a，b)内必定没有第一类间断点，也即含有第一类间断点的函数 f(x)在包含该间断点的区间内没有原函数 F(x)事实上，同样可以证明：设 F(x)在(a，b)内可导，其导函数 F(x)在(a，b)内也必定没有无穷间断点设x=x0为 F(x)的无穷间断点，则*，而*故 F(x0)=，与 F(x)可导矛盾但是，对于命题，可以举出反例如下：对于*其在(-，+)上不连续，它有一个第二类振荡间断点 x=0，但是它在(-，+)上存在原函数*即，对
17、于(-，+)上任一点都有 F(x)=f(x)成立故命题是错误的综合以上分析，命题自然成立二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：本题考查一元函数微分学的基本计算，是一道比较新颖的试题本题的研究对象 f(x)是多因式相乘，如果直接对其使用导数定义或者先求导再代值，都比较麻烦本题希望考生发现，当把 x=1 代入每个因式后，只有第一项*，而其余所有项都不等于 0，抓住第一项这个“特立独行”的主要矛盾，则记*，于是*10.设点 P 为曲面 z=x+(y-z)3上的任一点，其切平面始终垂直于过点(1，2，3)的一平面，则该平面的方程为_（
18、分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：x+y+z-6=0）解析：本题考查空间解析几何的平面方程知识和多元函数微分学的几何应用，属于基础题曲线上过一点的切平面的法向量为(-1，-3(y-z) 2，1+3(y-z) 2)，与该法向量垂直的方向为(1，1，1)故所求平面方程为(x-1)+(y-2)+(z-3)=0，即 x+y+z-6=011.微分方程 y“+4y=xsin2x 的通解为_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：本题考查微分方程基本类型的求解，是一道基础计算题原方程写成*分别求出方程*与*的特解为*则原方程的通解为*12.设是球面 x2+y2+z2=R2的外侧，则
19、 （分数：4.00）_解析：本题考查第二型曲面积分、三重积分的计算，属于基本题由高斯公式，得*其中 =(x，y，z)|x 2+y2+z2R 213.设 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：本题考查矩阵的 n 次幂的计算，属于有一定计算量的，中等难度题由分块矩阵*，我们只需分别算出*与*的 n 次幂因为*，故*而矩阵*的秩为 1，有*，从而*14.设 X 和 Y 是两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为 则 E(XY)=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：4）解析：本题是考查数字特征计算的基础题*又由于 X 和 Y 相互独立，故 E(XY)=E(X)E(Y)=4
20、三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 为 f(x)=arcsin x 在区间0，b上使用拉格朗日中值定理中的“中值”，求 （分数：10.00）_正确答案：(本题是拉格朗日中值定理与极限计算的综合题，属于计算型基础题对 f(x)=arcsin x 在区间0，b上使用拉格朗日中值定理，得*因此， *故*)解析：16.设 f(0)=0，f(x)(0，1)，证明 （分数：10.00）_正确答案：(本题考查微积分不等式的证明题目给出积分形式的研究对象，要求用导数工具进仃讨论，是典型考题证明如下：将积分的上限变量化，作辅助函数*，则*再令*，则G(x)=2f(x)-2f(x)f(x)=2f(
21、x)1-f(x)，由于 f(0)=0，f(x)(0，1)，所以当 x0 时，f(x)0，故G(x)=2f(x)1-f(x)0，G(x)单调增加，则 G(x)G(0)=0，于是 F(x)0，F(x)单调增加，则 F(x)F(0)=0，即*)解析：17.求函数 （分数：10.00）_正确答案：(本题考查多元函数微分学的应用求多元函数的无条件极值这是考研的重要考点，属于基础计算题首先用二元函数取极值的必要条件求出可疑点今*得点(0，0)及 x2+y2=1对于点(0，0)，计算出*于是*=B 2-AC=-40，A0，故 f(0，0)=0 为极小值；对于 x2+y2=1，计算出*于是=B 2-AC=0，
22、该法失效，另谋他法令 x2+y2=t(t0)，则 z=te-t，由*得驻点 t=1又*故 z=te-t在 t=1 处取极大值，即函数 z=(x2+y2)*在圆周 x2+y2=1 上取极大值 z=e-1注 本题也可直接令 x2+y2=t(t0)，转化成一元函数的极值问题，请考生自练)解析：18.求级数 （分数：10.00）_正确答案：(本题考查无穷级数的求和，涉及逐项积分和求导的恒等变形，是常规考题本题要求*给出幂级数*，其收敛区间为(-，+)，并记其和函数 s(x)=*，逐项积分得*所以*两边求导得*，故*)解析：19.()计算()当 x1 -时，求与 （分数：10.00）_正确答案：(本题考
23、查二重积分的计算和无穷大量的比较问题，是一道具有一定难度的综合性考题，这类问题提法新颖，计算量大，逻辑性强，对考生的恒等变形能力要求较高考生在考研时要注意：一般第()问是第()问的提示，给解决第()问搭建了一个台阶，考生要充分重视这个逻辑提示()记*，则*故 *()要解决第()问，需要首先弄清楚以下几个要点：(a)xx 0时，f(x)与 g(x)为等价无穷大*(b)无穷大量的表达形式众多，有一种常用的形式：*或*，此题 x1 -，故考虑用*于是，*根据第()问的提示，我们要凑出“*”这种形式，故令*，即*则*取*，极限值为*，故*与*为 x1 -时的等价无穷大量)解析：20.设平面上三个点 P
24、i(xi，y i)(i=1，2，3)不共线，且 x1，x 2，x 3互不相同请证明：过这三个点且对称轴与 y 轴平行的抛物线方程可表示为（分数：11.00）_正确答案：(本题考查解析几何的基础知识与克莱姆法则的应用，是一道有一定难度的综合题由于抛物线的对称轴与 y 轴平行，故可设抛物线方程为y=ax2+bx+c (a0)，即 ax2+bx+c-y=0由于抛物线过点 Pi(xi，y i)，则*视 a，b，c 为未知量，则该方程组的系数行列式为*又由于 x1，x 2，x 3互不相同，所以 D0从而方程组(*)有唯一解其中，*于是*，带入抛物线方程，得*即D1x2+D2x+D3-Dy=0，从而可以将
25、其写为x2(-1)1+1D1+x(-1)1+2(-D2)+1(-1)1+3D3+y(-1)1+4D=0，这可被视为某一行列式是按第一行展开的结果，故*结论得证)解析：21.设 A 是 n 阶实矩阵，则 A 为正定矩阵的充要条件是存在 n 阶正定矩阵 B，使得 A=B2（分数：11.00）_正确答案：(本题考查抽象型矩阵的正定，逻辑推理题一直是考生复习中的薄弱环节，故本题是一道有一定难度的综合题必要性 由于 A 正定，则 A 为实对称矩阵，从而存在正交矩阵 Q，使*其中 1， 2， n为 A 的全部特征值，且有 i0(i=1，2，n)，则*记矩阵*，则 B 与正定矩阵*合同，故 B 也是正定矩阵
26、，且 A=B2充分性 已知 B 是正定矩阵，显然 B 是实对称矩阵，从而 A 也是实对称矩阵，且A=B2=BTB=BTEB故 A 与单位阵合同，则 A 为正定矩阵)解析：22.设随机变量 X 与 Y 相互独立，并在区间0，2上服从均匀分布，求随机变量 （分数：11.00）_正确答案：(本题考查二维随机变量的函数的概率密度，是一道具有一定难度的综合题*因 X，Y 相互独立，故(X，Y)联合概率密度为*当 z0 时，F Z(z)=0；当 0z1 时，*当 z1 时，*所以*)解析：23.设总体 X 的密度函数 为来自总体 X 的简单随机样本，Y=X 2，()求 的矩估计量 和最大似然估计 ；()求 Y 的数学期望 EY 的最大似然估计 （分数：11.00）_正确答案：(本题考查数字特征的计算、点估计以及最大似然估计不变原理是一道具有一定计算量的综合题()令 EX=*，其中*于是，*，解得 的矩估计量*样本的似然函数*取对数，*，并令*，得*0，故*为 的最大似然估计()*由于*是 的单调连续函数，根据最大似然估计不变原理，得最大似然估计*)解析：
