1、考研数学一-233 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设随机变量 X 的概率密度为 f(x)，则随机变量|X|的概率密度 f1(x)为（分数：4.00）_2.设事件 A，B，C 满足 ，若将事件 ABC 表示成互不相容事件之和，则下列表示方法错误的是（分数：4.00）A.B.C.D.3.已知 1， 2， 3， 4是 3 维非零向量，则下列命题中错误的是（分数：4.00）A.如果 4不能由 1， 2， 3线性表出，则 1， 2， 3线性相关B.如果 1， 2， 3线性相关， 2， 3， 4线性相关，那么 1， 2， 4也线性相关C
2、.如果 3不能由 1， 2线性表出， 4不能由 2， 3线性表出，则 1可以由 2， 3， 4线性表出D.如果秩 r( 1， 1+ 2， 2+ 3)=r( 4， 1+ 4， 2+ 4， 3+4)，则 4可以由 1， 2， 3线性表出4.有一椭圆形薄板，长半轴为 a，短半轴为 b，薄板垂直立于液体中，而其短轴与液面相齐，液体的比重为 y，则液体对薄板的侧压力为（分数：4.00）A.B.C.D.5.设 A 为 4 阶实对称矩阵，且 A2+2A-3E=0若 r(A-E)=1，则二次型 xTAx 在正交变换下的标准形是（分数：4.00）A.B.C.D.6.曲线 （分数：4.00）A.B.C.D.7.函
3、数 u=xyz2在条件 x2+y2+z2=4 (x0，y0，z0)下的最大值是（分数：4.00）_8.设有以下函数（分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.曲线 （分数：4.00）填空项 1:_10.微分方程 2x3y=y(2x2-y2)的通解是_（分数：4.00）填空项 1:_11.设平面上连续曲线 y=f(x)(axb，f(x)0)和直线 x=a，x=b 及 x 轴所围成的图形绕 x 轴旋转一周所得旋转体的质心是( ,0，0)，则 （分数：4.00）填空项 1:_12.设 L 为曲线|x|+|y|=1，则 （分数：4.00）填空项 1:_13.设 ，
4、都是 n 维非零列向量，矩阵 A=2E- T，其中 E 是 n 阶单位矩阵若 A2=A+2E，则 T=_（分数：4.00）填空项 1:_14.设随机变量 X 和 Y 相互独立，且都服从正态分布 N(0， 2)已知 X1，X 2，X m与Y1，Y 2，Y n(n4)是分别来自 X 和 Y 的简单随机样本，统计量 服从自由度为 n 的 t 分布，则当（分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 （分数：11.00）_16.求二重积分 （分数：11.00）_17.证明下列结论：()设 f(x，y)定义在全平面好，且 ，则 f(x，y)恒为常数；()设 u(x，y
5、)，v(x，y)定义在全平面上，且满足（分数：11.00）_18.设 （分数：11.00）_19.证明下列结论：()设 f(x0)=0，f“(x 0)0，则存在 0 使得 y=f(x)在(x 0-，x 0单调减少，在x 0，x 0+)单调增加；()设 f(x)在0，1连续，在(0，1)二阶可导且 f(0)=f(1)=0，f“(x)0(x(0，1)，则 f(x)0(x(0，1)又设 （分数：11.00）_20.设 A 是 n 阶反对称矩阵，()证明：A 可逆的必要条件是 n 为偶数；当 n 为奇数时，A *是对称矩阵；()举一个 4 阶不可逆的反对称矩阵的例子；()证明：如果 A 是 A 的特征
6、值，那么一 A 也必是 A 的特征值（分数：11.00）_21.已知矩阵 和 （分数：11.00）_22.设随机变量 X 的密度函数为 f(x)，方差 DX=4，而随机变量 y 的密度函数为 2f(-2y)，且 X 与 Y 的相关系数 （分数：11.00）_23.独立重复某项试验，直到成功为止每次试验成功的概率为 p，假设前 5 次试验每次试验费用为 100元，从第 6 次起，每次试验费用为 80 元，试求该项试验总费用的期望值 W（分数：6.00）_考研数学一-233 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设随机变量 X 的概率密度
7、为 f(x)，则随机变量|X|的概率密度 f1(x)为（分数：4.00）_解析：分析一 设|X|的分布函数为 F1(x)，则当 x0 时，F 1(x)=P|X| x=0，从而 f1(x)=F1(x)=0；当 x0 时，F 1(x)=P|X|x=P-xXx=F(x)-F(-z)，故 f 1(x)=F1(x)=F(x)-F(-x)=f(x)+f(-x)，所以*因此，应选(D)分析二 用排除法因为|X|0，故当 x0 时，必有 F1(x)=P|X|x2.设事件 A，B，C 满足 ，若将事件 ABC 表示成互不相容事件之和，则下列表示方法错误的是（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：分析 该题需要
8、验证各事件之和为 ABC，且各事件互不相容，可以用事件运算来判定，但用文氏图会更方便快捷从图中可以看出，(A)，(B)，(C)都是正确的但在选项(D)中，AB 与 C 相容，故该选项是错误的*3.已知 1， 2， 3， 4是 3 维非零向量，则下列命题中错误的是（分数：4.00）A.如果 4不能由 1， 2， 3线性表出，则 1， 2， 3线性相关B.如果 1， 2， 3线性相关， 2， 3， 4线性相关，那么 1， 2， 4也线性相关 C.如果 3不能由 1， 2线性表出， 4不能由 2， 3线性表出，则 1可以由 2， 3， 4线性表出D.如果秩 r( 1， 1+ 2， 2+ 3)=r(
9、4， 1+ 4， 2+ 4， 3+4)，则 4可以由 1， 2， 3线性表出解析：分析 例如 1=(1，0，0) T， 2=(0，1，0) T， 3=(0，2，0) T， 4=(0，0，1) T，可知(B)不正确应选(B)关于(A)：如果 1， 2， 3线性无关，又因 1， 2， 3， 4是 4 个 3 维向量必线性相关，而知 4必可由 1， 2， 3线性表出关于(C)：由已知条件，有()r( 1， 2)r( 1， 2， 3)， ()r( 2， 3)r( 2， 3， 4)若 r( 2， 3)=1，则必有 r( 1， 2)=r( 1， 2， 3)，与条件()矛盾故必有 r( 2， 3)=2那么由
10、()知 r( 2， 3， 4)=3，从而 r( 1， 2， 3， 4)=3因此 1可以由 2， 3， 4线性表出关于(D)：经初等变换有( 1， 1+ 2， 2+ 3)( 1， 2， 2+ 3)( 1， 2， 3)，( 4， 1+ 4， 2+ 4， 3+ 4)( 4， 1， 2， 3)( 1， 2， 3， 4)，从而 r( 1， 2， 3)=r( 1， 2， 3， 4)因而 4可以由 1， 2， 3线性表出4.有一椭圆形薄板，长半轴为 a，短半轴为 b，薄板垂直立于液体中，而其短轴与液面相齐，液体的比重为 y，则液体对薄板的侧压力为（分数：4.00）A.B. C.D.解析：分析 取坐标系如图所
11、示，椭圆方程为*对小区间x,x+dx对应的小横条薄板，液体对它的压力*于是液体对薄板的侧压力为*故应选(B)5.设 A 为 4 阶实对称矩阵，且 A2+2A-3E=0若 r(A-E)=1，则二次型 xTAx 在正交变换下的标准形是（分数：4.00）A. B.C.D.解析：分析 由 A2+2A-3E=0 有(A-E)(A+3E)=0，从而r(A-E)+r(A+3E)4又 r(A-E)+r(A+3E)=r(E-A)+r(A+3E)r(E-A)+(A+3E)=r(4E)=r(E)=4，因而 r(A-E)+r(A+3E)=4于是 r(A+3E)=3那么齐次方程组(E-A)x=0 与(A+3E)x=0
12、分别有 3 个与 1 个线性无关的解，亦即 =1 与 =-3 分别有 3 个与 1 个线性无关的特征向量因此矩阵 A 的特征值为 1，1，1，-3故应选(A)6.曲线 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：分析 先求出 y与 y“*由*在(-+)连续，且在*两侧 f“变号，x=0 两侧 y“也变号*均为*的拐点，再无其他拐点因此，选(D)*7.函数 u=xyz2在条件 x2+y2+z2=4 (x0，y0，z0)下的最大值是（分数：4.00）_解析：分析一 用拉格朗日乘子法求解令 F(x，y，z)=xyz 2+(x 2+y2+z2-4)，解方程组*由，得*代入得 x=1，y=1，*因存在最大
13、值，又驻点唯一，所以最大值为*应选(C)分析二 化为简单最值问题由条件解出 z2=4-x2-y2(0x 2+y24)，代入表达式，转化为求u=xy(4-x2-y2)在区域 D=(x，y)| 0x 2+y248.设有以下函数（分数：4.00）A.B. C.D.解析：分析 按定义分析，即分析*的存在性，并要逐一分析*f(x)在点 x=0 处可导*f(x)在点 x=0 处不可导*f(x)在点 x=0 处可导*f(x)在点 x=0 处不可导因此选(B)*二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.曲线 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：y=x）解析：分析 因为*同理*斜渐近线方程为 y=
14、x10.微分方程 2x3y=y(2x2-y2)的通解是_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*其中 C0 为*常数）解析：分析 这是齐次方程原方程变形为*令*则*，即*分离变量得*积分得*即*因此，通解为*其中 C0 为*常数11.设平面上连续曲线 y=f(x)(axb，f(x)0)和直线 x=a，x=b 及 x 轴所围成的图形绕 x 轴旋转一周所得旋转体的质心是( ,0，0)，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 在空间 Oxyz 中，设该旋转体为 ，不妨设体密度为 1，按质心公式*其中 V 为 的体积，按旋转体体积公式*现按先二后一化三重积分为累次积分
15、公式，过 x 轴上 xa，b处作平面与 x 轴垂直与 相交的截面区域记为 D(x)，它是圆域：y 2+z2f 2(x)，面积为 f 2(x)，则*因此*12.设 L 为曲线|x|+|y|=1，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*分析一 L 是正方形的边界线，见右图，因 L 关于 x，y 轴对称，被积函数关于 y 与 x 均为偶函数，记 L1为 L 的第一象限部分，则*分析二 利用变量的轮换对称性*）解析：评注 第一类平面红积分与二重积分有类似的对称性，计算中要注意利用它.13.设 ， 都是 n 维非零列向量，矩阵 A=2E- T，其中 E 是 n 阶单位矩阵若 A2=A+2E，
16、则 T=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：3）解析：分析 由 A2=A+2E 得 (A-2E)(A+E)=0，将 A=2E- T代入，有- T(3E- T)=0，即 3 T= T T=( T) T因为 ， 都不是零向量，所以矩阵 T0于是 T=3从而 T=( T) T=3亦可直接由 A2=A+2E 即(2E- T)2=(2E- T)+2E 化简14.设随机变量 X 和 Y 相互独立，且都服从正态分布 N(0， 2)已知 X1，X 2，X m与Y1，Y 2，Y n(n4)是分别来自 X 和 Y 的简单随机样本，统计量 服从自由度为 n 的 t 分布，则当（分数：4.00）填空项 1
17、:_ （正确答案：2）解析：分析 用 t 分布的典型模式来确定 k 的值由于*又*且相互独立，故*由于 U 与 V 相互独立，根据 t 分布的典型模式知*由题没知，*三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 （分数：11.00）_正确答案：(分析与求解 ()这里 (x)由积分式定义，不仅积分限含参变量 x，被积函数中也含参变量 x首先作变量替换，把积分式变成只有积分限含参变量 X 即变成纯变限积分*又 (0)=0，下面求 (x)当 x0 时，由变限积分求导法得*当 x=0 时，由于*即 (x)在 x=0 处连续又*因此*()由变限积分的连续性及连续性的运算法则知，x0 时 (x)连续
18、前面已证明在 x=0 时 (x)的连续性成立，即*因此，(x)处处连续*)解析：16.求二重积分 （分数：11.00）_正确答案：(分析与求解 圆域 D：(x-a)2+y2a 2*关于 x 轴对称，于是*方法 1 作平移变换：u=x-a，v=y，则 D 变成D：u 2+v2a 2，D关于 v 轴对称，它的面积为 a 2，于是*这里由变量的轮换对称性知，*再作极坐标变换，有*方法 2 记*用先 y 后 x 的积分顺序，*对第一个积分，令 t=x-a；对第二个积分，令*方法 3*直接作极坐标变换，则圆周 x2+y2=2ax 的极坐标方程是 r=2acos，于是*0r2acos，且*)解析：17.证
19、明下列结论：()设 f(x，y)定义在全平面好，且 ，则 f(x，y)恒为常数；()设 u(x，y)，v(x，y)定义在全平面上，且满足（分数：11.00）_正确答案：(分析与证明 ()即证 f(x，y)=f(0，0) (V*x，y)由于f(x，y)-f(0，0)=f(x，y)-f(0，y)+f(0，y)-f(0，0)*因此*()由所给条件我们将证明*将*代入上式*此方程组的系数行列式*同理可证：v(x，y)为常数)解析：18.设 （分数：11.00）_正确答案：(分析与求解 ()由 ex的幂级数展开式可得*(x(-，+)，x0)，注意上式右端幂级数当 x=0 时取值为*对 g(x)逐项求导得
20、*因此，*时 f(x)在(-，+)可展成幂级数*因为幂级数在收敛区间内任意次可导，所以 f(x)在(-，+)内任意次可导()由幂级数展开式的唯一性*则f(n)(0)=n!an.因此*)解析：19.证明下列结论：()设 f(x0)=0，f“(x 0)0，则存在 0 使得 y=f(x)在(x 0-，x 0单调减少，在x 0，x 0+)单调增加；()设 f(x)在0，1连续，在(0，1)二阶可导且 f(0)=f(1)=0，f“(x)0(x(0，1)，则 f(x)0(x(0，1)又设 （分数：11.00）_正确答案：(分析与证明 ()由二阶导数定义*及极限的不等式性质*0，当 x(x 0-，x 0+)
21、且 xx 0时*()由假设条件及罗尔定理，*a(0，1)，f(a)=0由 f(x)在*下证另一结论*方法 1 要证：f(x)-M 在(0，1)3 零点*f(x)-Mx在(0，1)*零点作辅助函数*在0，1连续，在(0，1)可导，F(0)=f(0)=0再找 F(x)在(0，1)的一个零点由F(0)=f(0)-Ma=M(1-a)0，F(1)=f(1)-M=-M0*，使得 F()=0在0，0，1上对 F(x)用罗尔定理：*使得 F()=0，即f()=M方法 2 同前分析，作辅助函数F(x)=f(x)-Mx，F(x)在0，1连续，在(0，1)可导，且F(0)=0，F(a)=M(1-0)0，F(1)=-
22、M0*F(x)在0，1的最大值不能在 x=0 或 x=1 取到*使得*由费马定理*即 f()=M方法 3 先证 M 是 f(x)的某一中间值由*又由拉格朗日中值定理，*使得*亦即 f(0)Mf()由连续函数中间值定理*使得 f()=M最后证唯一性由*f()=M)解析：20.设 A 是 n 阶反对称矩阵，()证明：A 可逆的必要条件是 n 为偶数；当 n 为奇数时，A *是对称矩阵；()举一个 4 阶不可逆的反对称矩阵的例子；()证明：如果 A 是 A 的特征值，那么一 A 也必是 A 的特征值（分数：11.00）_正确答案：(解 ()按反对称矩阵定义：A T=-A，那么|A|=|AT|=|-A
23、|=(-1)n|A|，即 1-(-1) n|A|=0若 n=2k+1，必有|A|=0所以 A 可逆的必要条件是 n 为偶数因 AT=-A，由(A *)T=(AT)*有(A*)T=(AT)*=(-A)*又因(kA) *=kn-1A*，故当 n=2k+1 时，有(A*)T=(-1)2kA*=A*，即 A*是对称矩阵()例如，*是 4 阶反对称矩阵，且不可逆()若 是 A 的特征值，有|AE-|=0，那么|-E-A|=|(-E-A) T|=|-E-A T|=|-E+A|=|-(E-A)|=(-1) n|E-A|=0，所以- 是 A 的特征值)解析：21.已知矩阵 和 （分数：11.00）_正确答案：
24、(解 ()由矩阵 A 和曰分别得到二次型*那么经坐标变换*有*所以矩阵 A 与 B 合同令*则有 CTAC=B()由*知矩阵 A 的特征值是 1，1，-1，进而可知 A+kE 的特征值是 k+1，k+1，k-1；B+kE 的特征值是k+2，k+1，k-2当 k2 时，二次型 xT(A+kE)x 与 xT(B+kE)x 均有正惯性指数 p=3，而负惯性指数 q=0：当-1k1 时，二次型 xT(A+kE)x 与 xT(B+kE)x 均有正惯性指数 p=2，而负惯性指数 q=0；当 k-2 时，二次型 xT(A+kE)x 与 xT(B+kE)x 均有正惯性指数 p=0，而负惯性指数 q=3所以 A
25、+kE 与 B+kE 合同*)解析：评注 *22.设随机变量 X 的密度函数为 f(x)，方差 DX=4，而随机变量 y 的密度函数为 2f(-2y)，且 X 与 Y 的相关系数 （分数：11.00）_正确答案：(解 ()*由此可知*而*所以*DZ=D(X+2Y)=DX+4DY+4cov(X，y)*()由切比雪夫不等式*)解析：评注 因题中没有给出密度函数 f(x)的表达式，故 EX,EY 的值无法计算，从而 EZ=EX+2EY 的值我们只能通过 X 与 Y 的函数间的关系式确定出 EX 与 EY 之间的关系式.而 DY 的求法也只能化成 DX，利用 DX的值而求得.23.独立重复某项试验，直到成功为止每次试验成功的概率为 p，假设前 5 次试验每次试验费用为 100元，从第 6 次起，每次试验费用为 80 元，试求该项试验总费用的期望值 W（分数：6.00）_正确答案：(解 以 X 表示试验的次数，由题设知 X 服从几何分布，其分布为PX=n=pqn-1,n=1，2，q=1-p由题设知，试验总费用为*Y 是随机变量 X 的函数，由随机变量函数的期望公式可得*由于*所以*)解析：
