1、考研数学一-236 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.A，B，C 三随机事件必相互独立，如果它们满足条件 ( )（分数：4.00）A.A，B，C 两两独立B.P(ABC)C.) D.) P2.设 f(x)在(0，+)内可导，下述论断正确的是 ( )（分数：4.00）A.设存在 X0，在区间(X，+)内 f(x)有界，则 f(x)在(X，+)内亦必有界B.设存在 X0，在区间(X，+)内 f(x)有界，则 f(x)在(X，+)内亦必有界C.设存在 0，在区间(0，)内 f(x)有界，则 f(x)在(0，)内亦必有界D.设存在 0，
2、在区间(0，)内 f(x)有界，则 f(x)在(0，)内亦必有界3.设 f(x)在a，b上可导，f（分数：4.00）A.(a)fB.0下述命题&n4.设函数 f(t)连续，且 （分数：4.00）A.B.C.D.5.已知 1， 2， r(r3)是 AX=0的基础解系，则下列向量组也是 AX=0的基础解系的是 ( )（分数：4.00）A. 1=- 2- 3- r， 2= 1- 3- 4- r， 3= 1+ 2- 4- r， r= 1+ 2+ r-1B. 1= 2+ 3+ r， 2= 1+ 3+ 4+ r， 3= 1+ 2+ 4+ r， r= 1+ 2+ r-1C. 1， 2， r的一个等价向量组D
3、. 1， 2， r的一个等秩向量组6.设 （分数：4.00）A.B.C.D.7.若级数 收敛，则下述结论不成立的是 ( )（分数：4.00）A.B.C.D.8.设二维随机变量(X，Y)的分布函数为 F(x，y)，已知 X=Y，且都服从标准正态分布如有 （分数：4.00）_二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设曲线 y=y(x)由参数式 ， 确定，则该曲线在 t= （分数：4.00）填空项 1:_10.微分方程 （分数：4.00）填空项 1:_11. （分数：4.00）填空项 1:_12.二元函数 f(x，y)=x y在点(e，0)处的二阶(即 n=2)泰勒展开式(不要求写余项)为_（
4、分数：4.00）填空项 1:_13.A，B 是三阶矩阵，满足 AB=A-B，其中 （分数：4.00）填空项 1:_14.设二维随机变量(X，Y)的概率密度函数为 f(x，y)，则随机变量(2X，Y+1)的概率密度函数 f1(x，y)=_（分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 D为曲线 y=x3与直线 y=x围成的两块区域，求（分数：10.00）_16.将函数 （分数：10.00）_17.设 f(x)在(-，+)内有定义，且对任意 x与任意 y，满足 f(x+y)=f(x)ey+f(y)ex，f(0)存在且等于a，a0。证明：对任意 x，f(x)存在，
5、并求 f(x)（分数：10.00）_18.设 x0，证明 （分数：10.00）_19.设点 M(，)是椭球面 上第一象限中的点，S 是该椭球面点 M处的切平面被三个坐标面所截得的三角形上侧，求(，)，使曲面积分（分数：10.00）_20.设 A是三阶可逆矩阵，=a 1，a 2，a 3T，=b 1，b 2，b 3T是 3维列向量，且 lAr-1()验证：()设 （分数：11.00）_21.()设 ，用可逆线性变换将 f化为标准形，并求出所作的可逆线性变换并说明二次型的对应矩阵 A是正定阵()设 （分数：11.00）_22.已知随机变量 X的概率密度为 （分数：11.00）_23.设 X1，X 2
6、，X n是取自总体 X的简单随机样本，X 的概率密度为（分数：11.00）_考研数学一-236 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.A，B，C 三随机事件必相互独立，如果它们满足条件 ( )（分数：4.00）A.A，B，C 两两独立B.P(ABC)C.) D.) P解析：分析 当 P(A-B)=1成立，P(A*)=1由 P(A)P(A*)=1，得出 P(A)=1同理 P(*)=1，即P(B)=0现来证明当 P(A)=P(*)=1，即 P(*)=P(B)=0时，A，B，C 两两独立且满足 P(ABC)=P(A)P(B)P(C)因 P(
7、B)=0，故 P(AB)P(B)=0，即 P(AB)=0=P(A)P(B)同理，P(BC)=0=P(B)P(C)由 P(*)=0，得 P(*)=0，故 P(AC)=P(AC)+P(*)=P(AC*)=P(C)P(A)，所以 A，B，C 两两独立。对 P(ABC)P(B)=0，有 P(ABC)=0=P(A)P(B)P(C)总之，由 P(A-B)=1推导 A，B，C 相互独立注 由本题分析可知凡是概率为零或概率为 1的事件必与任何事件独立2.设 f(x)在(0，+)内可导，下述论断正确的是 ( )（分数：4.00）A.设存在 X0，在区间(X，+)内 f(x)有界，则 f(x)在(X，+)内亦必有
8、界B.设存在 X0，在区间(X，+)内 f(x)有界，则 f(x)在(X，+)内亦必有界C.设存在 0，在区间(0，)内 f(x)有界，则 f(x)在(0，)内亦必有界 D.设存在 0，在区间(0，)内 f(x)有界，则 f(x)在(0，)内亦必有界解析：分析 (C)的证明因为在(0，)内 f(x)有界，所以存在 M0，当 0x 时，|f(x)|M对于区间(0，)内的任意 x，另取固定的 x0(0，)，有|f(x)|=|f(x)-f(x0)+f(x0)|f(x)-f(x 0)|+|f(x0)|=|f()(x-x 0)|+|f(x0)|M+|f(x 0)|，所以 f(x)在区间(0，)内有界(A
9、)的反例，f(x)=x，f(x)=1在区间(1，+)内 f(x)有界，但 f(x)在(1，+)内无界(B)的反例，*，在区间(1，+)内 f(x)有界，在(1，+)内 f(x)无界(D)的反例，*，在区间(0，1)内 f(x)有界，在(0，1)内 f(x)无界3.设 f(x)在a，b上可导，f（分数：4.00）A.(a)f B.0下述命题&n解析：分析 只有是正确的，其证明为：设 f(a)0，f(b)0由*以及保号性，存在点 x1(a，b)使 f(x1)-f(a)0 及 x2(a，b)使 f(x2)-f(b)0因此 f(a)与 f(b)都不是 f(x)在a，b上的最小值，从而 f(x)在a，b
10、上的最小值必在(a，b)内部，故知存在 x0(a，b)使f(x0)=0若 f(a)0，f(b)0，其证明类似与的反例：f(x)=x-x 2，当 x0，1有 f(0)=1，f(1)=-1，f(0)f(1)0但当 x(0，1)时，f(x)f(0)=f(1)=0的反例：f(x)=x 2-x，当 x0，1，有 f(0)=-1，f(1)=1，f(0)f(1)0但当 x(0，1)时，f(x)f(0)=f(1)=04.设函数 f(t)连续，且 （分数：4.00）A. B.C.D.解析：分析 由*f(t)dt=4x 2+9y2+12xy-2，两边对 x求偏导数，有2f(2x+3y+1)=8x+12y=4(2x
11、+3y)，所以 f(2x+3y+1)=2(2x+3y)，f(t)=2(t-1) lxy2f(xy)dx+x2yf(xy)dy= lxyf(xy)d(xy)*5.已知 1， 2， r(r3)是 AX=0的基础解系，则下列向量组也是 AX=0的基础解系的是 ( )（分数：4.00）A. 1=- 2- 3- r， 2= 1- 3- 4- r， 3= 1+ 2- 4- r， r= 1+ 2+ r-1B. 1= 2+ 3+ r， 2= 1+ 3+ 4+ r， 3= 1+ 2+ 4+ r， r= 1+ 2+ r-1 C. 1， 2， r的一个等价向量组D. 1， 2， r的一个等秩向量组解析：分析 1=
12、2+ 3+ r， 2= 1+ 3+ r， 3= 1+ 2+ 4+ r， r= 1+ 2+ r-1是 AX=0的基础解系因1 由解的性质知，A i=A( 1+ 2+ i-1+ i+1+ r)=0，均是 AX=0的解向量2 向量个数为 r=n-r(A)，与原基础解系向量个数一样多3 因*由 1， 2， r线性无关及 r3，有*故 1， 2， r线性无关是 AX=0的基础解系，应选(B)另外对(A)，当 r=3时， 1=- 2- 3， 2= 1- 3， 3= 1+ 2因 1- 2+ 3=- 2- 3-( 1- 3)+ 1+ 3=0 1， 2， 3线性相关，故(A)中 1， 2， r不是AX=0的基础
13、解系(这里只要举一个特例足矣!)(C)与 1， 2， r等价的向量，向量个数可以超过 r个(即与 1， 2， r等价的向量组可能线性相关)(D)与 1， 2， r等秩向量组可能不是 AX=0的解向量，且个数也可以超过 r，故(A)，(C)，(D)均不成立评注 对选项(A)，当 r=2n时(n2)，请读者证明(A)也是基础解系，但 r=2n+1时，(A)不是基础解系6.设 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：分析 对，b=c 时，A 是实对称阵*AA，是充分条件。由 A的特征值，看什么条件下 A相似干对角阵*ad-bc0，由(*)，(a+d) 2-4(ad-bc)0A有两个不同的特征值*A
14、是充分条件b，c 同正或同负，由(*)，(a-d) 2+4bc0A有两个不同的特征值*A是充分条件对b，c 异号，由(*)知，因 bc0，当(a-d) 2+4bc=0时会有二重特征值例*，异号，有*， 1= 2=0，但 r(0E-A)=1，线性无关的特征向量只有一个，A*A，故不是充分条件从而条件是 A相似于对角阵的充分条件，故应选(D)7.若级数 收敛，则下述结论不成立的是 ( )（分数：4.00）A.B.C. D.解析：分析 例如*收敛，但*发散而(A)，(B)，(D)是正确的因为*收敛，所以*，从而*，于是*，所以(A)绝对收敛又因*，所以*绝对收敛又因*，所以*绝对收敛8.设二维随机变
15、量(X，Y)的分布函数为 F(x，y)，已知 X=Y，且都服从标准正态分布如有 （分数：4.00）_解析：分析 设标准正态分布的分布函数为 (x)则F(x，y)=PXx，Yy=PXx，Xy=PXmin(x，y)二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设曲线 y=y(x)由参数式 ， 确定，则该曲线在 t= （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 *10.微分方程 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：x=y 2+y）解析：分析 将 x看成未知函数，写成*此为 x对 y的一阶线性方程，由公式得*将 x=2，y=1 代入，得 C=1故得解 x=y2+y11. （
16、分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 *而 *所以*12.二元函数 f(x，y)=x y在点(e，0)处的二阶(即 n=2)泰勒展开式(不要求写余项)为_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 *代入 n=2，点(e，0)处展开的泰勒公式为*略去 R3，得如上所填13.A，B 是三阶矩阵，满足 AB=A-B，其中 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 由题设，AB=A-B，(A+E)B=A+E-E，(A+E)(E-B)=E*14.设二维随机变量(X，Y)的概率密度函数为 f(x，y)，则随机变量(2X，Y+1)的概率密度函数
17、f1(x，y)=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 设随机变量(2X，Y+1)的分布函数为 F1(x，y)，则F1(x，y)=P(2Xx，Y+1y)*因此，*三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 D为曲线 y=x3与直线 y=x围成的两块区域，求（分数：10.00）_正确答案：(区域 D如图，第一象限部分记为 D1第二象限部分记为 D2于是*命 x=-t之后，第 2个积分与第 1个可合并，第 3个积分与第 6个积分相抵消，第 4个积分与第 5个积分相抵消于是*注：二重积分化成二次积分时，必须上限下限如果直接使用下述定理，那么立即可得出答案，定理是：“设
18、 D1与 D2为关于原点对称的有界区域，f(x，y)在 D1D 2上连续(1)如果 f(-x，-y)=f(x，y)，则*；(2)如果 f(-x，-y)=-f(x，y)，则*f(x，y)d=0)解析：16.将函数 （分数：10.00）_正确答案：(命 u=x-2，于是 x=u+2，*成立的范围是*与|u|1 中取小者，为|u|1从而知*即有*又因当 x=3时上述级数发散，当 x=1时上述级数收敛，且当 x=1时 f(x)连续，故知上述展开式成立的范围为 1x3)解析：17.设 f(x)在(-，+)内有定义，且对任意 x与任意 y，满足 f(x+y)=f(x)ey+f(y)ex，f(0)存在且等于
19、a，a0。证明：对任意 x，f(x)存在，并求 f(x)（分数：10.00）_正确答案：(以 y=0代入定义式，有 f(x)=f(x)+f(0)ex，所以 f(0)=0于是*所以对任意 x，f(x)存在，且 f(x)=f(x)+aex解之，得f(x)=ex(ae xe-xdx+C)=ex(ax+C)由 f(0)=0，有 C=0从而 f(x)=axex)解析：18.设 x0，证明 （分数：10.00）_正确答案：(先证明当 0x1 时，*，命*有 F(1)=0，*记*，有 (0)=0，*，从而知，当 0x1 时，(0)0，即有 F“(x)0.因 F(1)=0，所以当0x1 时 F(x)0.又因
20、F(1)=0，所以当 0x1 时 F(x)0，从而知当 0x1 时*上式中命*，故知当 1u+时，*，又当 x=1时*所以当 0x+时，有*，且仅当 x=1时等号才成立)解析：19.设点 M(，)是椭球面 上第一象限中的点，S 是该椭球面点 M处的切平面被三个坐标面所截得的三角形上侧，求(，)，使曲面积分（分数：10.00）_正确答案：(曲面*上点 M(，)的法向量为*，切平面方程是*化简即得*该切平面被三坐标面截得的三角形在 xOy平面上的投影区域为*从而*所以*求 I的最小值等价于求=，0a，0b，0c的最大值，约束条件是*由拉格朗日乘数法得*显然，当 =a 或 =0 时， 最小，故当*时
21、 最大，I 的最小值为*)解析：20.设 A是三阶可逆矩阵，=a 1，a 2，a 3T，=b 1，b 2，b 3T是 3维列向量，且 lAr-1()验证：()设 （分数：11.00）_正确答案：()*故 *()*其中 =1，2，3 T， =1，1，1 T，故 B -1=(E+ T)-1*)解析：21.()设 ，用可逆线性变换将 f化为标准形，并求出所作的可逆线性变换并说明二次型的对应矩阵 A是正定阵()设 （分数：11.00）_正确答案：()将 f(x1，x 2，x 3)用配方法化为标准形，得*令*即*得 f的标准形为 *所作的可逆线性变换为 X=CY，其中*A的对应二次型的标准形为*，正惯性
22、指数 p=3=r=n，故知 A是正定阵(也可用定义证明，或用顺序主子式全部大于零证明 A是正定阵)()由()知*是 f(x1，x 2，x 3)的对应矩阵，即 f(x1，x 2，x 3)=XTAX由()知令 X=CY，其中*，得 f=XTAX=YTCTACY=YTEY，故 CTAC=E，A=(C -1)TC-1=DTD，其中 D=C-1由*故*)解析：22.已知随机变量 X的概率密度为 （分数：11.00）_正确答案：(F Y(y)=P(Yy)=P(X 2+1y)=P(X 2y-1)当 1y2 时，F Y(y)=P(X2y-1)=P(|X|*)*=y-1：当 y2 时，F Y(y)=P(X2y-1)=1；当 y1 时，F Y(y)=0所以*即 Y服从1，2上的均匀分布)解析：分析 f(x)是偶函数，利用此性质可简化计算Y=X2+1，所以 fY(y)在(-，1)范围内必为零23.设 X1，X 2，X n是取自总体 X的简单随机样本，X 的概率密度为（分数：11.00）_正确答案：()*样本二阶矩为*，所以 的矩估计为*()似然函数*取对数 *两边对 求导得 *令*得*)解析：分析 待估计参数只有 ，但 X的一阶矩*，故考虑二阶矩*
