1、考研数学一-259 及答案解析(总分：150.03，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.若 f(x)在 x=0 的某邻域内二阶连续可导，且 （分数：4.00）A.x=0 是 f(x)的零点B.(0，f(0)是 y=f(x)的驻点C.x=0 是 f(x)的极值点D.(0，f(0)不是 y=f(x)的拐点2.设数列a n 单调递减， ，则幂级数 （分数：4.00）A.0，2)B.(0，2)C.(0，1)D.0，1)3.设函数 f(x，y)满足方程 及条件 ，则 为_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.4.已知 （分数：4.00）A.IJKB.KJIC
2、.IKJD.KIJ5.已知 （分数：4.00）A.P2A-1P1B.P3A-1P1C.P1A-1P2D.P1P3A-16.已知 r(A)=r 1 ，且方程组 AX= 有解，r(B)=r 2 ，且 BY= 无解，设 A=( 1 ， 2 ， n )，B=( 1 ， 2 ， n )，且 r( 1 ， 2 ， n ， 1 ， 2 ， n ，)=r，则_（分数：4.00）A.r=r1+r2B.rr1+r2C.r=r1+r2+1D.rr1+r2+17.设 X 和 Y 为相互独立的连续型随机变量，它们的密度函数分别为 f 1 (x)，f 2 (x)，它们的分布函数分别为 F 1 (x)，F 2 (x)，则_
3、（分数：4.00）A.f1(x)+f2(x)为某一随机变量的密度函数B.f1(x)f2(x)为某一随机变量的密度函数C.F1(x)+F2(x)为某一随机变量的分布函数D.F1(x)F2(x)为某一随机变量的分布函数8.设 X、Y 为两个随机变量，D(X+Y)=D(X)+D(Y)，记 U=maxX，Y，V=minX，Y)，则 E(UV)=_（分数：4.00）A.E(U)E(V)B.E(X)E(Y)C.E(U)E(Y)D.E(X)E(V)二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.曲线 （分数：4.00）10.二阶常系数非齐次线性微分方程 y“-5y“+6y=2e 2x 的通解为 y= 1 （分
4、数：4.00）11.设函数 ，则 （分数：4.00）12.设 L 为正向椭圆 x 2 +2y 2 =2 在第一象限中的部分，则曲线积分 L 2xdy-2ydx 的值为 1 （分数：4.00）13.已知二次型 （分数：4.00）14.设二维随机变量(X，Y)服从正态分布 （分数：4.00）三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.求极限 （分数：10.00）_16.设函数 z=f(x，y)在点(1，1)处可微，且 f(1，1)=1， ，(x)=fx，xf(x，x)，求 （分数：10.00）_17.若方程 ln 4 x-4lnx+4x-k=0 有且仅有一个解，求 k 的取值范围 （分数：10
5、.00）_18.设 0ab，证明： （分数：10.00）_19.计算 ，其中 D 由直线 x=-2，y=2，x 轴及曲线 （分数：10.00）_设 1 ， 2 ， 1 ， 2 为三维列向量组且 1 ， 2 与 1 ， 2 都线性无关（分数：11.00）(1).证明：至少存在一个非零向量可同时由 1 ， 2 和 1 ， 2 线性表示；（分数：5.50）_(2).设 （分数：5.50）_已知二次型 （分数：11.01）(1).求 a 的值；（分数：3.67）_(2).求正交变换 x=Qy，把 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )化成标准形；（分数：3.67）_(3).求方程 f(x 1 ，x 2 ，
6、x 3 )=0 的解（分数：3.67）_设二维随机变量(X 1 ，Y 1 )与(X 2 ，Y 2 )的联合概率密度分别为： （分数：11.01）(1).常数 k 1 ，k 2 的值；（分数：3.67）_(2).X i ，Y i (i=1，2)的边缘概率密度；（分数：3.67）_(3).PX i 2Y i (i=1，2)（分数：3.67）_设 X 1 ，X 2 ，X n 是来自总体 X 的简单随机样本，其中总体 X 有概率密度 （分数：11.01）(1).求未知参数 (0)的矩估计量 （分数：3.67）_(2).判断 （分数：3.67）_(3).计算 （分数：3.67）_考研数学一-259 答案
7、解析(总分：150.03，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.若 f(x)在 x=0 的某邻域内二阶连续可导，且 （分数：4.00）A.x=0 是 f(x)的零点B.(0，f(0)是 y=f(x)的驻点C.x=0 是 f(x)的极值点D.(0，f(0)不是 y=f(x)的拐点 解析：解析 使 f“(x)=0 的点为 f(x)的驻点，f(x)=0 的点为 f(x)的零点，y=f(x)上凹凸部分的分界点称为该曲线的拐点，极小值点与极大值点统称为极值点 由 ，得 ，又 f(x)在 x=0 二阶连续可导，故 f“(0)=0 所以(0，f(0)是 y=f(x)的驻点 由
8、得 由上知 x=0 为函数的极小值点 又 则 2.设数列a n 单调递减， ，则幂级数 （分数：4.00）A.0，2) B.(0，2)C.(0，1)D.0，1)解析：解析 当 x=0 时幂级数 由于 ，则 ，又数列a n 单调递减，由莱布尼茨准则知交错级数 收敛，又由 ，知 a n 与 是等价无穷小，于是 发散，故 条件收敛，由于幂级数在收敛区间内应是绝对收敛的，所以 x=0 应为区间的端点，原级数的收敛半径为 R=1-0=1，收敛区间为(0，2) 当 x=2 时，幂级数 3.设函数 f(x，y)满足方程 及条件 ，则 为_ A B C D （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 由
9、f(2y，y)=y，两边对 y 求导，得 2f“ 1 (2y，y)+f“ 2 (2y，y)=1， 再由 f“ 2 (2y，y)=y 2 ，得 两边同时对 y 求偏导，得 由于 f“ 1 与 f“ 2 连续，故 f“ 12 =f“ 21 再利用已知条件 f“ 11 =f“ 22 ，得 4.已知 （分数：4.00）A.IJKB.KJIC.IKJ D.KIJ解析：解析 由于积分区域相同，可通过比较被积函数的大小来求解 因为在积分区域 D 内，0x+y1，则有 ln(x+y)sin(x+y)x+y ln 3 (x+y)sin 3 (x+y)(x+y) 3 ， 故 5.已知 （分数：4.00）A.P2A
10、-1P1 B.P3A-1P1C.P1A-1P2D.P1P3A-1解析：解析 把矩阵 A 的 1、2 两行对调，再把第 1 列的-1 倍加至第 3 列，即可得到矩阵 B，即 B=P 1 AP 3 ，则 6.已知 r(A)=r 1 ，且方程组 AX= 有解，r(B)=r 2 ，且 BY= 无解，设 A=( 1 ， 2 ， n )，B=( 1 ， 2 ， n )，且 r( 1 ， 2 ， n ， 1 ， 2 ， n ，)=r，则_（分数：4.00）A.r=r1+r2B.rr1+r2C.r=r1+r2+1D.rr1+r2+1 解析：解析 由题设 r( 1 ， 2 ， n ，)=r 1 ， r( 1 ，
11、 2 ， n ，)=r 2 +1， 故 r( 1 ， 2 ， n ， 1 ， 2 ， n ，)r( 1 ， 2 ， n ，)+r( 1 ， 2 ， n ，) r 1 +r 2 +17.设 X 和 Y 为相互独立的连续型随机变量，它们的密度函数分别为 f 1 (x)，f 2 (x)，它们的分布函数分别为 F 1 (x)，F 2 (x)，则_（分数：4.00）A.f1(x)+f2(x)为某一随机变量的密度函数B.f1(x)f2(x)为某一随机变量的密度函数C.F1(x)+F2(x)为某一随机变量的分布函数D.F1(x)F2(x)为某一随机变量的分布函数 解析：解析 可积函数 f(x)为随机变量的密
12、度函数，则 f(x)0 且 ，显然选项 A 不对； 取 X 为 0 到 1 上的平均分布，Y 为 1 到 2 上的平均分布，则 f 1 (x)f 2 (x)=0，选项 B 不对； 由 ，知 8.设 X、Y 为两个随机变量，D(X+Y)=D(X)+D(Y)，记 U=maxX，Y，V=minX，Y)，则 E(UV)=_（分数：4.00）A.E(U)E(V)B.E(X)E(Y) C.E(U)E(Y)D.E(X)E(V)解析：解析 因为 D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2cov(X，Y)=D(X)+D(Y)， 所以 cov(X，Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0 当 XY 时，U=X，V=Y；当
13、 XY 时，U=Y，V=X，所以 UV=XY，则 E(UV)=E(XY)=E(X)E(Y)二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.曲线 （分数：4.00）解析：6a 解析 由参数方程知，曲线关于 x=0 和 y=0 对称，故 10.二阶常系数非齐次线性微分方程 y“-5y“+6y=2e 2x 的通解为 y= 1 （分数：4.00）解析：C 1 e 2x +C 2 e 3x -2xe 2x (C 1 ，C 2 为任意常数) 解析 特征方程 2 -5+6=(-2)(-3)=0 的根为 1 =2， 2 =3，所以齐次方程 y“-5y“+6y=0 的通解为 Y(x)=C 1 e 2x +C 2
14、e 3x (C 1 ，C 2 为任意常数) 非齐次项为 2e 2x ，2 是特征方程的单根，设非齐次方程特解为 y * =Axe 2x ，则 (y * )“=Ae 2x +2Axe 2x ， (y * )“=4Ae 2x +4Axe 2x ， 代入方程得 (4A-5A)e 2x +(4A-10A+6A)xe 2x =2e 2x 11.设函数 ，则 （分数：4.00）解析： 解析 12.设 L 为正向椭圆 x 2 +2y 2 =2 在第一象限中的部分，则曲线积分 L 2xdy-2ydx 的值为 1 （分数：4.00）解析： 解析 由于 L 不是封闭曲线，添加辅助线 L 1 (x 轴从 0 到 的
15、一段)与 L 2 (y 轴从 1到 0 的一段)，正向曲线 C=LL 1 L 2 围成区域 D，在 D 上用格林公式，得 (椭圆的面积公式：S=ab(a、b 分别是椭圆的长轴、短轴长) 又 L1 -2ydx+2xdy=0， L2 -2ydx+2xdy=0， 所以 13.已知二次型 （分数：4.00）解析： 解析 求二次型 X T AX 在正交变换下的标准形也就是求二次型矩阵 A 的特征值 设 1 =(2，1，2) T ，根据特征值定义 A= 得 即 解出 a=b=2， 1 =3 又 r(A)=2，知|A|=0，于是 2 =0 是 A 的特征值 再由a ii = i ，有 1+(-5)+1=3+
16、0+ 3 ，于是 3 =-6 是 A 的特征值 因此，正交变换下二次型的标准形为 14.设二维随机变量(X，Y)服从正态分布 （分数：4.00）解析： 解析 由于(X，Y)服从正态分布 ，说明 X 和 Y 相互独立且同分布于 ，因此它们的线性函数 U=X-Y 服从正态分布 N(0，1) 运用随机变量函数的期望公式 三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.求极限 （分数：10.00）_正确答案：()解析：本题属于 1 型极限 其中 则 16.设函数 z=f(x，y)在点(1，1)处可微，且 f(1，1)=1， ，(x)=fx，xf(x，x)，求 （分数：10.00）_正确答案：()解析：
17、(1)=f(1，1)=1， ，则只需求 “(1) 由复合函数求导法得 “(1)=f 1 “(1，1)+f 2 “(1，1)EI+f 1 “(1，1)+f 2 “(1，1) 此处 所以 “(1)=1+3(1+1+3)=16， 17.若方程 ln 4 x-4lnx+4x-k=0 有且仅有一个解，求 k 的取值范围 （分数：10.00）_正确答案：()解析：问题等价于讨论 k 为何值时，函数 (x)=ln 4 x-4lnx+4x-k 在区间 x(0，+)上有且仅有一个零点 由 ，知 x=1 是 (x)的驻点，且当 0x1 时，“(x)0，当 x1 时，“(x)0，因此 x=1 是(x)的最小值点，从
18、而 (1)=4-k 是 (x)的最小值 当 (1)0 时，即当 k4 时，(x)(1)0，没有零点； 当 (1)=0 时，即当 k=4 时，(x)(1)=0，(x)有唯一零点； 当 (1)0 时，即当 k4 时，由于 18.设 0ab，证明： （分数：10.00）_正确答案：()解析：首先证明 因为 所以，令 则 (x)(a)=0 (xa) 而 ba，所以 (b)0，即 再证 令 f(x)=lnx，则存在 (a，b)，使得 ，其中 0ab 易知 即 19.计算 ，其中 D 由直线 x=-2，y=2，x 轴及曲线 （分数：10.00）_正确答案：()解析：积分区域 D 如下图所示 选择先 x 后
19、 y 的积分次序，得 利用对称区间上奇偶函数积分性质及定积分几何意义可得 所以 设 1 ， 2 ， 1 ， 2 为三维列向量组且 1 ， 2 与 1 ， 2 都线性无关（分数：11.00）(1).证明：至少存在一个非零向量可同时由 1 ， 2 和 1 ， 2 线性表示；（分数：5.50）_正确答案：()解析：因为 1 ， 2 ， 1 ， 2 是四个三维向量，因此线性相关，所以存在不全为零的常数 k 1 ，k 2 ，l 1 ，l 2 ，使得 k 1 1 +k 2 2 +l 1 1 +l 2 2 =0 (2).设 （分数：5.50）_正确答案：()解析：令 k 1 1 +k 2 2 +l 1 1
20、+l 2 2 =0，由初等变换法解此齐次方程组 则 所以 已知二次型 （分数：11.01）(1).求 a 的值；（分数：3.67）_正确答案：()解析：二次型对应矩阵为 由二次型的秩为 2，知 (2).求正交变换 x=Qy，把 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )化成标准形；（分数：3.67）_正确答案：()解析：当 a=0 时， ，可求出特征值为 1 = 2 =2， 3 =0 解(2E-A)x=0，得特征向量为： 解(0E-A)x=0，得特征向量为： 由于 1 ， 2 ， 3 已经正交，直接将 1 ， 2 ， 3 单位化，得 令 Q= 1 ， 2 ， 3 ，即为所求的正交变换矩阵，由 x=Qy
21、，可化原二次型为标准形 (3).求方程 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=0 的解（分数：3.67）_正确答案：()解析：由 ，得 y 1 =0，y 2 =0，y 3 =k(k 为任意常数) 从而所求解为： 设二维随机变量(X 1 ，Y 1 )与(X 2 ，Y 2 )的联合概率密度分别为： （分数：11.01）(1).常数 k 1 ，k 2 的值；（分数：3.67）_正确答案：()解析：由 ，得 k 1 =1 又 得 k 2 =2，因此(X 1 ，Y 1 )与(X 2 ，Y 2 )的概率密度分别为 (2).X i ，Y i (i=1，2)的边缘概率密度；（分数：3.67）_正确答案：()解析： 类似地 (3).PX i 2Y i (i=1，2)（分数：3.67）_正确答案：()解析：设 X 1 ，X 2 ，X n 是来自总体 X 的简单随机样本，其中总体 X 有概率密度 （分数：11.01）(1).求未知参数 (0)的矩估计量 （分数：3.67）_正确答案：()解析：由于 令 ，其中 ，得 的矩估计量 (2).判断 （分数：3.67）_正确答案：()解析：因为 故 (3).计算 （分数：3.67）_正确答案：()解析： 又 于是 故
