1、考研数学一-260 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 A 为三阶方阵， 1=1， 2=-2， 3=-1 为其三个特征值，对应特征向量依次为 1，（分数：4.00）A.B.C.D.2.设 f(x，x 2)=x2e-x，y x(x，y)| y=x2=-x2e-x(x0)，则 fy(x，y)| y=x2等于（分数：4.00）A.2xe-xB.(-x2+2x)e-xC.e-xD.(2x-1)e-x3.设 ， 和 ， 为两个 6 维向量组，若存在两组不全为零的数 a，b，c 和 k，l，m，使(a+k)a+(b+l)+(c+m) (a
2、-k)+(b-l)+(c-m)=0则（分数：4.00）A.， 和 ， 都线性相关B.， 和 ， 都线性无关C.+，+，+，-，-，- 线性相关D.+，+，+，-，-，- 线性无关4.设函数 （分数：4.00）A.B.C.D.5.设 A，B，C 是三个相互独立的随机事件，且 0P(C) 1，AC ，则在下列给定的四对事件中不相互独立的是（分数：4.00）A.B.C.D.6.将 (cos，sin)d 化成直角坐标下的累次积分，则 I=（分数：4.00）A.B.C.D.7.设 为 的无偏估计，且 ，则 （分数：4.00）A.B.C.D.8.设函数 f(x)在(-，+)内连续，其导函数的图形如图所示，
3、则 f(x)的图形为（分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 f(x)连续，且 f(1)=1，则 （分数：4.00）填空项 1:_10.已知 f(x)是微分方程 xf(x)-f(x)= 满足初始条件 f(1)=0 的特解，则 （分数：4.00）填空项 1:_11.设函数 f(x)在0，1上为连续函数，且 ，而 ，-x+，其中 ，n=1，2，3，则 （分数：4.00）填空项 1:_12.设幂级数 与 的收敛半径分别为 1 与 2，则幂级数 （分数：4.00）填空项 1:_13.设 （分数：4.00）填空项 1:_14.设二维随机变量(X，Y)服从二维正态
4、分布：(X，Y)N(0，0；1，1；0)，则概率 （分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.已知 ， ，且 f(0)=g(0)=0，求 （分数：10.00）_16.设 u=f(r)， ，其中 f 是二阶可微函数，且(1)试将 （分数：10.00）_17.设 （分数：10.00）_18.假设 (-2x2)，(1)证明 S(x)满足 （分数：10.00）_19.设 f(u)具有二阶连续导数，且 ，求 （分数：10.00）_20.已知 A、B 为三阶非零方阵， ， ， ， （分数：11.00）_21.已知线性方程组 有无穷多解，而 A 是三阶方阵， ， ， （分
5、数：11.00）_22.有两个盒子，第一盒子装有 2 个红球，1 个黑球，第二盒子装有 2 个红球，2 个黑球现从这两盒中各任取一球放在一起，再从中任取一球，问(1)这个球是红球的概率；(2)重复上述过程 10 次，记 X 表示出现取出的球为红球的次数，求 E(X2)（分数：11.00）_23.设随机变量 Xi （分数：11.00）_考研数学一-260 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 A 为三阶方阵， 1=1， 2=-2， 3=-1 为其三个特征值，对应特征向量依次为 1，（分数：4.00）A. B.C.D.解析：分析 当矩
6、阵 A 可对角化时，存在可逆矩阵 P= 1， 2， n，使*其中对角线上的特征值 i应与 P 中对应特征向量一致因此，本题关键在于确定 A*+E 的特征值与对应 P 中特征向量的关系详解 由 A i= i i，知*，于是*可见 A*+E 的三个特征值为*，i=1，2，3即 1=3， 2=0， 3=-1，且对应特征向量为 1， 2， 3因此 3 2，2 3，- 1分别为 2=0， 3=-1， 1=3 的特征向量，故当 P=3 2，2 3，- 1时，有*评注 若 i为 A 属于特征值 i的特征向量，则 k i(k0)也为 A 属于特征值 i的特征向量，可见特征向量不唯一，找到一个特征向量后就可找到
7、无穷多个特征向量另外，A 与 f(A)、f(A *)(A 可逆)的特征值不一定相同，但对应特征向量是相同的2.设 f(x，x 2)=x2e-x，y x(x，y)| y=x2=-x2e-x(x0)，则 fy(x，y)| y=x2等于（分数：4.00）A.2xe-xB.(-x2+2x)e-xC.e-x D.(2x-1)e-x解析：分析 记 f1(x，y)=f x(x，y)，于是 f1(x，x 2)=-x2e-x详解 由 f(x，x 2)=x2e-x，对 x 求导f1(x，x 2)+f2(x，x 2)2x=2xe-x-x2e-x，-x 2e-x+f2(x，x 2)2x=2xe-x-x2e-x，f 2
8、(x，x 2)=e-x，即 fy(x，y)| y=x2=e-x，(C)为答案评注 关于多元复合函数求导是常考题型，为避免混淆，经常记 f1(x，y)=f x(x，y)，f 2(x，y)=fy(x，y)3.设 ， 和 ， 为两个 6 维向量组，若存在两组不全为零的数 a，b，c 和 k，l，m，使(a+k)a+(b+l)+(c+m) (a-k)+(b-l)+(c-m)=0则（分数：4.00）A.， 和 ， 都线性相关B.， 和 ， 都线性无关C.+，+，+，-，-，- 线性相关 D.+，+，+，-，-，- 线性无关解析：分析 将已知等式转化为关于 a、b、c 和 k、l、m 的组合形式即可判定详
9、解 原式可化为a(+)+b(+)+c(+)+k(-)+l(-)+m(-)=0由于 a、b、c 和 k、l、m 不全为零，可见，+，+，+，-，-，+ 线性相关，故应选(C)评注 判定向量组的线性相关性一般都是从定义着手去分析本题将题设条件改写为定义形式即可得出结论4.设函数 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：详解 *当|x|1，*|x| 2n=，f(x)=0；*当|x|1，*，f(x)=1+x，*，f(1)=1x=1 为间断点*x=-1 为连续点5.设 A，B，C 是三个相互独立的随机事件，且 0P(C) 1，AC ，则在下列给定的四对事件中不相互独立的是（分数：4.00）A.B. C
10、.D.解析：详解 利用排除法，由多个事件相互独立的性质可知(A)，(C)，(D)中的三对事件都是独立的，故选(B)另外，利用独立的定义也可得到答案：由于*，而*由 0P(C)1，AC，有*，于是*，故*与*不相互独立6.将 (cos，sin)d 化成直角坐标下的累次积分，则 I=（分数：4.00）A.B.C. D.解析：分析 画出积分区域图像才能写出关于直角坐标的累次积分详解 由积分表达式和积分区域图可知：*所以*(C)为答案评注 四种偏心圆的极坐标方程*7.设 为 的无偏估计，且 ，则 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：分析 无偏性计算一下数学期望即可判定，有效性一般是很难达到的，因
11、为要求在所有可能的估计中方差最小讨论比较多的是线性有效性，即在所有线性估计中方差最小一致性一般用切比雪夫不等式或大数定律证明详解 由*知，*，可见*不是 的无偏估计；一般来说，*不是*的有效估计量，由切比雪夫不等式知*，于是*，可见*是 的一致估计量，应选(C)评注 参数估计的三个特性：无偏性、有效性和一致性，是常考知识点无偏性与有效性涉及到数字特征的计算，而一致性涉及到概率计算，一般用切比雪夫不等式或大数定律8.设函数 f(x)在(-，+)内连续，其导函数的图形如图所示，则 f(x)的图形为（分数：4.00）A.B.C. D.解析：分析 本题的关键是利用 f(x)的图像特征，确定 f(x)的
12、单调性与极值详解 由 f(x)的图象知，当 x0 时，f(x)0，即 f(x)单调增加，排除(B)、(D)；而当 x0 时，f(x)变号，f(x)有极值点，再利用 f(x)为连续函数，可排除(A)，故应选(C)评注 一般情况下，本题对应曲线 y=f(x)还有两个拐点(0，f(0)及(2，f(2)二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 f(x)连续，且 f(1)=1，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 对于分子部分的积分应先作变量代换，然后用洛必达法则求极限详解 *评注 注意到 x1 时，*与*的极限均不为零，可以先求出其极限，再用洛必达法则：*10.已知
13、 f(x)是微分方程 xf(x)-f(x)= 满足初始条件 f(1)=0 的特解，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 先求出 f(x)再积分，这是基本思路，但求 f(x)显然是十分繁杂的，可直接分部积分。然后利用 f(x)的信息进行计算详解 *于是 *由定积分的几何意义(如图)知，*故 *评注 对于积分*，也可先配方，再作三角代换：*11.设函数 f(x)在0，1上为连续函数，且 ，而 ，-x+，其中 ，n=1，2，3，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：0）解析：分析 从 S(x)的表达式可知，相当于将 f(x)延拓为-1，1上的奇函数再展开为正弦
14、级数，根据收敛定理求*即可详解 由 S(x)的形式可知，这里对 f(x)所作的是奇延拓，先将 f(x)延拓为-1，1)上的奇函数，再将f(x)延拓为整个实数轴上周期为 2 的周期函数，故*而 由*知 f*从而有*评注 若 f(x)在*处不连续，则收敛于*12.设幂级数 与 的收敛半径分别为 1 与 2，则幂级数 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：1）解析：分析 本题考查幂级数的逐项求导性质和幂级数的运算性质。详解 *可看作*逐项求导所得结果，其收敛半径为 1，于是*的收敛半径仍为 1而*的收敛半径为 2，故*的收敛半径为 R=min(1，2)=1评注 若*的收敛半径为 R1，*的收
15、敛半径 R2，则*的收敛半径为 R=min(R1，R 2)13.设 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：2）解析：分析 设基础解系解向量个数为 S，则 S=n-r(A)，注意 n 为列向量的个数详解 S=n-r(A)，2=5-r(A)，r(A)=3任意 4 阶行列式为零*评注 该题也可用行变换将 A 变成阶梯形，然后由 r(A)=3，求出 a14.设二维随机变量(X，Y)服从二维正态分布：(X，Y)N(0，0；1，1；0)，则概率 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 由二维正态分布的参数可知 NY=0，因此 X、Y 相互独立，从而可将待求概率化为通过X，Y
16、的分布进行计算详解 由(X，Y)N(0，0；1，1；0)知，XN(0，1)，YN(0，1)且 XY=0，从而 X，Y 相互独立，故*=P(X0，Y0)+P(X0，Y0)=P(X0)P(Y0)+P(X0)P(Y0)*评注 若 XN(， 2)，则概率 P(X)=P(X)=*三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.已知 ， ，且 f(0)=g(0)=0，求 （分数：10.00）_正确答案：(详解 由*知，*又 f(0)=0，代入 f(x)表达式有 C=0，故*由*及 g(0)=0 知 g(x)=ln(1+x)于是 *因为 *即 *故 *)解析：分析 先积分，求出 f(x)和 g(x)的表达式
17、，再求极限注意在求极限时应尽量利用无穷小量的等价代换简化计算过程评注 本题为基本题型，综合考查了不定积分、无穷小量等价代换和洛必达法则等多个知识点16.设 u=f(r)， ，其中 f 是二阶可微函数，且(1)试将 （分数：10.00）_正确答案：(详解 (1)*同理 *故 *(2)由*及分母的极限为 0 知，f(1)=1，于是*对于方程*=0，令 P=f(r)，P=f“(r)，可化为*，求得*并由 f(1)=1，得 C1=1，故*从而*再由f(1)=1，得 C2=2故 *)解析：分析 先求出三个二阶偏导数再代入已知等式中即可得微分方程注意*，相当于已知条件 f(1)=1，f(1)=1，由此可确
18、定 f(r)的表达式评注 本题综合考查了极限、导数、偏导数以及微分方程的求解等多个重要知识点在求偏导数时，应注意利用对称性类推得到结果，从而可简化相关的计算过程微分方程*也可改写为 rf“(r)+f(r)+f(r)=0即(rf(r)+f(r)=0，积分得 rf(r)+f(r)=C1，且由 f(1)=1，f(1)=1 得 C1=2，即rf(r)+f(r)=2进而有(rf(r)=2，积分得 rf(r)=2r+C2又由 f(1)=1 得 C2=-1，故*17.设 （分数：10.00）_正确答案：(详解 *在 x=1 可导，在 x=1 连续，f(1+0)=f(1-0)=f(1)，*)解析：分析 求 n
19、极限时要讨论 x 的不同数值，由此得出 f(x)为分段函数评注 对于一元函数：在 x0点导数存在*在 x0点连续对于多元函数 f(x，y)偏导数存在不能推出f(x，y)连续18.假设 (-2x2)，(1)证明 S(x)满足 （分数：10.00）_正确答案：(详解 (1)*(2)S(x)满足：*解一阶线性微分方程得*由 S(0)=0 得 C=1所以 *)解析：分析 对 S(x)逐项求导得 S(x)，可得 S(x)满足的微分方程，解微分方程可得和函数 S(x)评注 该题是幂级数和微分方程的综合题，如果某个幂级数满足微分方程，则解微分方程后即可得幂级数的和19.设 f(u)具有二阶连续导数，且 ，求
20、 （分数：10.00）_正确答案：(详解 *)解析：分析 z=f(u)是一元函数，*都是二元函数，所以对 x，y 求导都是复合函数求导数评注 因为*还是复合函数，所以求二阶导数时还应该按照复合函数求导法则进行计算20.已知 A、B 为三阶非零方阵， ， ， ， （分数：11.00）_正确答案：(详解 由 1， 2， 3均为 Bx=0 的解，而 BO 知， 1， 2， 3必线性相关，于是*由此解得 a=3b又 Ax= 3有非零解，即 3可由 A 的三个列向量*线性表示，而 3=3 1+2 2，可见 3可由 1， 2线性表示，因此 3， 1， 2线性相关，于是*解得 b=5，从而 a=15故 a=
21、15，b=5由题设 r(B)1，于是 3-r(B)2，而 1， 2为 Bx=0 的两个线性无关的解，故 3-r(B)=2，可见 1， 2即可作为 Bx=0 的基础解系，故通解为 x=k1 1+k2 2(k1，k 2为任意常数)解析：分析 BO， 1， 2， 3为 Bx=0 的=三个解向量，于是必有行列式| 1， 2， 3|=0，再根据 Ax= 3有解，即 3可由 1， 2， 3线性表示(这里易知 3=3 1+2 2)，从而 3可由 1， 2线性表示，又得行列式| 3， 1， 2|=0由此两个等式可解得 a，b，或由 r(A)=r(A* 3)，可得 b，再根据| 1， 2， 3|=0，又可解得
22、a至于求 Bx=0 的通解，关键是确定 B 的秩评注 对于参数 b，也可根据解的判定来确定由 Ax= 3有非零解，知 r(A* 3)=r(A)2，*可见有 b=521.已知线性方程组 有无穷多解，而 A 是三阶方阵， ， ， （分数：11.00）_正确答案：(详解 (1)化增广矩阵为阶梯形*由题设方程组有无穷多解，得 a=-1 或 a=0当 a=-1 时，*线性相关，不可能为三个不同特征值的特征向量，不合题意当 a=0 时，*线性无关，符合题意故 a=0令*，则*从而*(2)P -1(2A3+E)P=2P-1A3P+P-1EP=2(P-1AP)3E*)解析：分析 由已知线性方程组有无穷多解，可
23、解出 a 的取值，但应使得 1， 2， 3线性无关(是三个不同特征值的特征向量)在知道 A 的所有特征值、特征向量后，即可求出 A 及行列式|2A 3+E|评注 求行列式|2A 3+E|时，可直接代入 A 进行计算，但计算过程很复杂，而转化为相似对角形后，则可方便地得到结果22.有两个盒子，第一盒子装有 2 个红球，1 个黑球，第二盒子装有 2 个红球，2 个黑球现从这两盒中各任取一球放在一起，再从中任取一球，问(1)这个球是红球的概率；(2)重复上述过程 10 次，记 X 表示出现取出的球为红球的次数，求 E(X2)（分数：11.00）_解析：23.设随机变量 Xi （分数：11.00）_正
24、确答案：(详解 (1)P(X 1X2=0)=1，P(X 1X20)=0P(X 1=1，X 2=1)=P(X1=1，X 2=-1)=P(X1=-1，X 2=1)=P(X1=-1，X 2=-1)=0立即可得表中阴影部分的数值*容易求出表中非阴影部分的数值(2)P(X1=X2)=P(X1=-1，X 2=-1)+P(X1=0，X 2=0)+P(X1=1，X 2=1)=0(3)*X 1，X 2不相互独立)解析：分析 由 P(X1X2=0)=1*P(X1X20)=0评注 1利用离散型二维联合分布表进行计算是常用的较简便的方法2对于离散型二维随机变量：(i)*i，jp ij=pip j*相互独立(ii)如果*i，j 使 pijp ip j，则不相互独立
