1、考研数学一-279 及答案解析(总分：147.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 X1，X 2，X n是来自总体 X 的简单随机样本，其样本均值为 已知 E(X)=，D(X)= 2( 20)，则未知参数 2的无偏估计量为 （分数：4.00）A.B.C.D.2.下列极限存在的是 （分数：4.00）A.B.C.D.3.设级数 收敛，则 （分数：4.00）A.B.C.D.4.函数 f(x，y)在点(x 0，y 0)处可微的充分条件是 f x(x0，y 0)与 fy(x0，y 0)都存在 f x(x，y)与 fy(x，y)在点(x 0，y 0)的某邻域内都连续
2、 （分数：4.00）A.B.C.D.5.设连续型随机变量 X 的概率密度 f(x)在区间(-，0上的值为零，在区间(0，+)内的值大于零且满足微分方程 f(x)=-2f(x)，则 E(X)等于（分数：4.00）A.B.1C.2.D.4.6.设为球面 x2+y2+z2=1， 1为上半球面 ，则有 （分数：4.00）A.B.C.D.7.设 4 阶矩阵 A 与 B 相似，矩阵 A 的特征值为 ，则行列式|B -1-E|= （分数：4.00）A.B.C.D.8.设 A 为 n 阶矩阵，A 经过若干次初等行变换后的矩阵记成 B，则（分数：4.00）A.Ax=b 与 Bx=b 同解B.Ax=0 与 Bx=
3、0 不同解C.|A|=|B|D.A，B 的列向量组的极大线性无关组的向量个数相同二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 （分数：4.00）填空项 1:_10.平面 Ax+By+Cz=0(C0)与柱面 （分数：4.00）填空项 1:_11.微分方程 y“+6y“+13y=0 的通解为_（分数：4.00）填空项 1:_12. （分数：4.00）填空项 1:_13.设 A 为三阶矩阵，有特征值 1，2，3，f(x)=x 3-6x2+11x-10，则 f(A)=_（分数：4.00）填空项 1:_14.设 P(A)=0.3，P(AB)=0.5，P(AB)=0.1，则 P(B|AB)=_（分数：
4、4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：91.00)15.设 S 为锥体的侧面 （分数：10.00）_16.设 f(x)在0，1上有连续导数，且满足 （分数：10.00）_17.计算 （分数：10.00）_18.求曲线 y=1nx 上某一点(t，1nt)的一条切线，使该切线与直线 x=1，x=5 及曲线 y=1nx 所围图形的面积最小（分数：10.00）_19.设 f(x)连续，xa,b，且可导，试证在(a，b)内存在一点 ，使 （分数：10.00）_20.已知二次型 f(x1，x 2，x 3)= 2ax1x2+2bx2x3+2x1x3经正交变换 X=PY 化成标准形 （分数：1
5、0.00）_21.设 1= 1， 2= 1+ 2， l= 1+ 2+ 1+ 2+ l，且向量组 1， 2， l线性无关，证明向量组 1， 2， l也线性无关（分数：10.00）_22.设随机变量 X 的概率密度为 （分数：11.00）_23.设总体 X 的概率密度为 （分数：10.00）_考研数学一-279 答案解析(总分：147.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 X1，X 2，X n是来自总体 X 的简单随机样本，其样本均值为 已知 E(X)=，D(X)= 2( 20)，则未知参数 2的无偏估计量为 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：分析由
6、于 X1,X2，X n相互独立，与总体 X 具有同一分布，E(X i)=，D(X i)= 2(i=1，2，n)，因此 *2.下列极限存在的是 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：分析取* * 于是*不存在故不选(A) * 于是*不存在故不选(B) * 于是*不存在，故不选(D) 由排除法，知*存在 (ab0) 事实上，当 ab0，有 * 而*，故由夹逼定理，知*存在3.设级数 收敛，则 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：分析选项(A)、(B)、(C)都不对，可举反例说明，例如取*，知*收敛但* * 选项(D)对事实上，(D)的前 n 项部分和*收敛，*,故*4.函数 f(x，y)
7、在点(x 0，y 0)处可微的充分条件是 f x(x0，y 0)与 fy(x0，y 0)都存在 f x(x，y)与 fy(x，y)在点(x 0，y 0)的某邻域内都连续 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：分析f(x，y)在点(x 0，y 0)处可微*f(x，y)在点(x 0，y 0)可导，但反之未必成立，说明不对；正确，这是教科书上的一条定理；正确，这是全微分存在(即可微)的定义；不对，例如，*在点(0，0)处偏导数存在，*，同理、f y(0，0)=0，f=f(x，y)-f(0，0)=*，f-f y(0，0)y=*，但*故应选(D)5.设连续型随机变量 X 的概率密度 f(x)在区间(
8、-，0上的值为零，在区间(0，+)内的值大于零且满足微分方程 f(x)=-2f(x)，则 E(X)等于（分数：4.00）A. B.1C.2.D.4.解析：分析当 x0 时，微分方程 f(x)=-2f(x)的通解为 f(x)=Ce-2x，其中 C 是任意正数 由于 * 因此 C=2X 的概率密度为 * 所以 *6.设为球面 x2+y2+z2=1， 1为上半球面 ，则有 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：分析记 Dxy为曲面在 xOy 坐标面上的投影域， * 项(B)对，从而(A)，(C)不对，经运算，(D)也不对7.设 4 阶矩阵 A 与 B 相似，矩阵 A 的特征值为 ，则行列式|B
9、-1-E|= （分数：4.00）A.B. C.D.解析：分析相似矩阵有相同的特征值，从而 B 的特征值为*,B -1的特征值为 2，3，4，5，B -1-E 的特征值为 1，2，3，4，而方阵的行列式等于其全部特征值的乘积，故|B -1-E|=248.设 A 为 n 阶矩阵，A 经过若干次初等行变换后的矩阵记成 B，则（分数：4.00）A.Ax=b 与 Bx=b 同解B.Ax=0 与 Bx=0 不同解C.|A|=|B|D.A，B 的列向量组的极大线性无关组的向量个数相同 解析：分析因 A 作初等行变换，b 没有动，故选项(A)不成立至于 Ax=0 与 Bx=0 应是同解，故(B)不成立。由*，
10、|A|与|B|可能相差一常数因子，故选项(C)也不成立选项(D)成立，事实上，由*，不改变矩阵的秩，即 r(A)=r(B)，从而 A，B 矩阵的列向量组的极大线性无关组的向量个数相同，即其列秩相同，也即矩阵 A，B 的秩二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：2010）解析：分析 利用二项式展开并化简可得 *10.平面 Ax+By+Cz=0(C0)与柱面 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 * * *11.微分方程 y“+6y“+13y=0 的通解为_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：y=C 1+e-
11、3x(C2cos2x+C3sin2x) (C1，C 2，C 3为任意常数)）解析：分析 相应的特征方程为 r3+6r2+13r=0 * 于是原方程的通解为 y=C1+e-3x(C2cos2x+C3sin2x) (C1，C 2，C 3为任意常数)12. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 令*，因积分区间关于 x=0 对称，故有*而* 因此，*13.设 A 为三阶矩阵，有特征值 1，2，3，f(x)=x 3-6x2+11x-10，则 f(A)=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：-4E）解析：分析 由 f(x)=x3-6x2+11x-10=(x-1)(x-2
12、)(x-3)-4，知 f(A)=(A-E)(A-2E)(A-3E)-4E 由设，A 有三个互不相同的特征值 1，2，3，从而 AA，即存在可逆矩阵 B，使 *于是 A=BAB-1,代入式，得 *14.设 P(A)=0.3，P(AB)=0.5，P(AB)=0.1，则 P(B|AB)=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 由 B=(AB)*，得 P(B)=P(AB)+P*=0.5+0.1=0.6。 *三、解答题(总题数：9，分数：91.00)15.设 S 为锥体的侧面 （分数：10.00）_正确答案：(* *)解析：分析按第一型曲面积分计算之16.设 f(x)在0，1上有
13、连续导数，且满足 （分数：10.00）_正确答案：(等式两端对 x 求导，得 * 当 2x=1 时，f(x)=2，2=Ce -1，得 C=2e， * * 故得 *)解析：分析对等式两端求导变成微分方程利用初始条件，解出 f(x)，再由 f(x)的连续性，求出 f(0)，即得 f(x)的表达式17.计算 （分数：10.00）_正确答案：(添加平面 P:z=0，P 为封闭曲面， * * *)解析：分析添加平面 z=0，使积分域成为封闭曲面，利用高斯公式计算18.求曲线 y=1nx 上某一点(t，1nt)的一条切线，使该切线与直线 x=1，x=5 及曲线 y=1nx 所围图形的面积最小（分数：10.
14、00）_正确答案：(曲线 y=1nx 在点(t，lnt)处的切线为*所围图形面积为 * 求 t，使 s 最小：*，令 S=0，得 t=3，*,当 t=3 时，S“0，故 t=3 为极小值点，也是最小值点，因此所求切线方程为 *)解析：分析曲线 y=1nx 在点(t，lnt)处的切线为 * 利用定积分写出该切线与给定曲线所围成的图形面积，再求其最小值，最后求出相应的 t 值及相应的切线方程19.设 f(x)连续，xa,b，且可导，试证在(a，b)内存在一点 ，使 （分数：10.00）_正确答案：(令 F(x)=(b-x)f(x)-f(a) 由题设知 F(x)连续，xa，b，且可导， 故存在一点
15、(a，b)，使 F()=0 由 F(x)=(b-x)f(x)-f(x)-f(a)， 得 F()=(b-)f()-f()-f(a)=0， 即*)解析：分析欲证* 或 f()-f(a)=f()(b-)， 即 f()(b-)-f()-f(a)=0 * 取辅助函数 F(x)=(b-x)f(x)-f(a)。 容易验证 F(x)满足罗尔定理的条件，即可证得。20.已知二次型 f(x1，x 2，x 3)= 2ax1x2+2bx2x3+2x1x3经正交变换 X=PY 化成标准形 （分数：10.00）_正确答案：(f(x 1，x 2，x 3)=*+2ax1x2+2bx2x3+2x1x3的矩阵为*其标准形*的矩阵
16、为*显然有|A|=|B|=0，由此得 a=b 又 1(或 2)为 A 的特征值，即|AE|=0(或 A-2E|=0)，由此得 a=b=0 由(A-OE)X=0，取特征向量*. 由(A-E)X=0，取特征向量* 由(A-2E)X=0，取特征向量*. * 则所求正交变换为 X=PY)解析：分析此类问题的关键在于正确地写出二次型的矩阵21.设 1= 1， 2= 1+ 2， l= 1+ 2+ 1+ 2+ l，且向量组 1， 2， l线性无关，证明向量组 1， 2， l也线性无关（分数：10.00）_正确答案：(设 k1 1+k2 2+kl l=0 * 由设知 1， 2， 3线性无关，故有 * 因系数行
17、列式*，从而方程组只有零解 k 1=k2=kl=0. 因此， 1， 2， l线性无关.)解析：分析利用线性无关的概念证之22.设随机变量 X 的概率密度为 （分数：11.00）_解析：分析因为 Y=X2+2X-1=(X+1)2-2,所以 Y 的分布函数 FY(y)=PYy=P(X+1) 2-2y=P(X+1) 2y+223.设总体 X 的概率密度为 （分数：10.00）_正确答案：(总体 X 的数学期望为 ()* 令*，解得 的矩估计值为 * () 对于样本观测值 x1，x 2，x n，似然函数为 * 当 xic(i=1，2，n)时，L()0，取对数，得 * 求导数，得 * 令*，解得 的最大似然估计值为 *)解析：分析算出 E(X)，可求得()，在求解()时，要注意似然函数是分段函数
