1、考研数学一-400 (1)及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.已知 y=f(x)在 x=0 处二阶可导，且 f“(0)=f“(0)=2，则 = A B C （分数：4.00）A.B.C.D.2.设函数 f(x)有连续的二阶导数，其导函数 f“(x)的图形如图，令函数 y=f(x)的驻点的个数为 l，极值点的个数为 m，曲线 y=f(x)的拐点个数为 n，则 （分数：4.00）A.l=m=m=3B.l=m=n=2C.l=3，m=2，n=3D.l=3，m=2，n=13.曲线 （分数：4.00）A.1B.2C.3D.44.下列命题正确的
2、是 A若 收敛，则 条件收敛 B若 ，则 收敛 C若 收敛，则 收敛 D若 绝对收敛，则 （分数：4.00）A.B.C.D.5.已知 （分数：4.00）A.充分必要条件B.必要而非充分条件C.充分而非必要条件D.既非充分也非必要条件6.已知 n 维向量组() 1 ， 2 ， s 和() 1 ， 2 ， t（分数：4.00）A.如秩 r()=r()，则()与()向量组等价B.如秩 r()r()，则()可由()线性表出C.如秩 r(，)=r()，则()可由()线性表出D.如秩 r(，)=r()，则()可由()线性表出7.设随机变量 XN(0，1)和 YN(1，1)，且相互独立，则 PY1-X)=
3、A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.8.设总体 X 的概率密度为 ，-x+，其中参数 (0)未知若 X 1 ，X 2 ，X n 是来自总体 X 的简单随机样本， 是 的估计量，则 = A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 x0， （分数：4.00）10.设抛物线 y 2 =2px 在与直线 y=x 交点处的曲率半径 （分数：4.00）11. （分数：4.00）12.函数 u=x 2 +y 2 +2z 2 在点 P(1，1， )处沿曲线 （分数：4.00）13.3 阶非零实对称矩阵如果将其按合同来分类，则一共有 1 类
4、（分数：4.00）14.袋中有 4 个球，其中有 2 个白球和 2 个黑球，从中任意取出 2 个球，如果取出的 2 个球中恰好是 1 个白球和 1 个黑球就停止试验，否则将这 2 个球放回袋中重新抽取 2 个球，直到取到 1 个白球和 1 个黑球为止用 X 表示抽取次数，则数学期望 EX= 1 （分数：4.00）三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 f(x)在 x 0 点可导， n ， n 为趋于零的正项数列，求极限 （分数：10.00）_16.就 k 的不同取值情况，确定方程 x 3 -3x+k=0 实根的个数 （分数：10.00）_17.设 f(x)为0，+)上的正值连续函数
5、，已知曲线 （分数：10.00）_18.计算曲线积分 （分数：10.00）_19.设 f(x)，g(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，且 （分数：10.00）_20.已知 A=( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )是四阶矩阵， 1 ， 2 ， 3 ， 4 是四维列向量，若方程组 A= 的通解是(1，2，2，1) T +k(1，-2，4，0) T ，又 B=( 3 ， 2 ， 1 ，- 4 )，求方程组 B=3 1 +5 2 - 3 的通解 （分数：11.00）_21.已知 3 阶实对称矩阵 A 的特征值是 1，1，0，且 =(1，1，1) T 是齐次方程组 A=0 的基础解系 ()求 A 的
6、特征向量； ()求秩 r(A-E)； ()如 =(1，3，5) T ，求 A n （分数：11.00）_22.已知随机变量 X 的概率密度为 在 X=x(x0)的条件下，随机变量 Y 在区间(0，x)上服从均匀分布，求： ()随机变量 X 与 Y 的联合概率密度 f(x，y)，X 与 Y 是否独立，为什么? ()计算条件概率 PX+Y1| 与 （分数：11.00）_23.设 x 1 ，x 2 ，x n 是来自总体 X 的简单随机样本，X 的概率密度为 ()求 EX 与 EX 2 ； ()求 的最大似然估计量 （分数：11.00）_考研数学一-400 (1)答案解析(总分：150.00，做题时间
7、：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.已知 y=f(x)在 x=0 处二阶可导，且 f“(0)=f“(0)=2，则 = A B C （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 由于 上式两端对 y 求导得 则 2.设函数 f(x)有连续的二阶导数，其导函数 f“(x)的图形如图，令函数 y=f(x)的驻点的个数为 l，极值点的个数为 m，曲线 y=f(x)的拐点个数为 n，则 （分数：4.00）A.l=m=m=3B.l=m=n=2C.l=3，m=2，n=3 D.l=3，m=2，n=1解析：解析 1)找驻点就是找 f“(x)=0 的点，即曲线 y=f“(x)与 x 轴的
8、交点，显然是 3 个； 2)找极值点是要在以上 3 个驻点中找两侧一阶导数变号的驻点，显然是 2 个； 3)找拐点首先找 f“(x)=0 的点，即曲线 y=f“(x)上有水平切线的点，显然是 3 个，但这三个点是否是拐点需考察其两侧 f“(x)是否变号，这可通过考察这些点两侧 f“(x)增减性是否发生变化来确定，由图上可知3 个拐点 3.曲线 （分数：4.00）A.1B.2C.3 D.4解析：解析 由于 ，则 x=0(y 轴)为该曲线的一条垂直渐近线，又 则 y=x+1 为该曲线的一条斜渐近线，而 4.下列命题正确的是 A若 收敛，则 条件收敛 B若 ，则 收敛 C若 收敛，则 收敛 D若 绝
9、对收敛，则 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 由于 绝对收敛，则 收敛，从而 则存在 N0，当 nN 时|u n |1，从而 ，则 5.已知 （分数：4.00）A.充分必要条件B.必要而非充分条件 C.充分而非必要条件D.既非充分也非必要条件解析：解析 由 BC，A(B-C)=0，知齐次方程组 A=0 有非零解而 A=0 有非零解的充分必要条件是秩 r(A)n 因为 6.已知 n 维向量组() 1 ， 2 ， s 和() 1 ， 2 ， t（分数：4.00）A.如秩 r()=r()，则()与()向量组等价B.如秩 r()r()，则()可由()线性表出C.如秩 r(，)=r()，则
10、()可由()线性表出 D.如秩 r(，)=r()，则()可由()线性表出解析：解析 因 r(，)=r()，说明()的极大线性无关组也是向量组(，)的极大线性无关组，所以()必可由()线性表出，请举反例说明 A、B、D 均可不正确7.设随机变量 XN(0，1)和 YN(1，1)，且相互独立，则 PY1-X)= A B C D （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 XN(0，1)，YN(1，1)，且 X 与 Y 相互独立，则 X+YN(1，2)，X+Y 的概率密度具有对称中心 18.设总体 X 的概率密度为 ，-x+，其中参数 (0)未知若 X 1 ，X 2 ，X n 是来自总体 X 的
11、简单随机样本， 是 的估计量，则 = A B C D （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 x0， （分数：4.00）解析：x=2 解析 由于 10.设抛物线 y 2 =2px 在与直线 y=x 交点处的曲率半径 （分数：4.00）解析：x-2y+2=0 解析 由 y 2 =2px 知，当 y=x 时，x=y=2p，且 该曲线在(2p，2p)处的曲率半径为 又 ，则 p=1，抛物线方程为 y 2 =2x，与 y=x 交点为(2，2)，这时 11. （分数：4.00）解析： 解析 令 1-x=sint，则 dx=-costdt 12.函
12、数 u=x 2 +y 2 +2z 2 在点 P(1，1， )处沿曲线 （分数：4.00）解析： 解析 曲面 x 2 +y 2 +z 2 =4 在点 P(1，1， )处的法线向量为 n1=1，1， 曲面 x2+y 2 =2x 在点 P(1，1， )处的法向量为 n2=0，1，0)曲线 在点 P(1，1， )处的切向量为 n1n2= ，0，1该曲线指向 x 轴正向一侧的切向量为 13.3 阶非零实对称矩阵如果将其按合同来分类，则一共有 1 类 （分数：4.00）解析：9 解析 A B 合同 p A =p B ，q A =q B 这 9 类是： 14.袋中有 4 个球，其中有 2 个白球和 2 个黑
13、球，从中任意取出 2 个球，如果取出的 2 个球中恰好是 1 个白球和 1 个黑球就停止试验，否则将这 2 个球放回袋中重新抽取 2 个球，直到取到 1 个白球和 1 个黑球为止用 X 表示抽取次数，则数学期望 EX= 1 （分数：4.00）解析： 解析 如果把每次取 2 个球看作为一次试验如果取到的 2 个球中恰好是 1 个白球和 1 个黑球就理解为这次试验“成功”，否则就任务是失败又由于取后放回，所以各次试验是独立重复试验，不难看出不断独立重复试验直到成功为止，其试验次数 X 应服从几何分布 PX=k=p(1-p) k-1 ，k=1，2，其中 p 为每次试验取得成功的概率 我们知道：当|x
14、|1 时， ，所以 三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 f(x)在 x 0 点可导， n ， n 为趋于零的正项数列，求极限 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 由于 f(x)在点 x 0 处可导，则 f(x0+x)=f(x 0)+f“(x0)x+x其中 ，从而有 f(x0+ n)=f(x0)+f“(x0) n+ 1 nf(x0- n)=f(x0)-f“(x0) n+ 2 n则 则 16.就 k 的不同取值情况，确定方程 x 3 -3x+k=0 实根的个数 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 令 f(x)=x 3 -3x+k，则 f“(x)=3x 2 -3
15、由 f“(x)=3x 2 -3=0 得 x=1则 当 x(-，-1)时，f“(x)0，f“(x)单调增； 当 x(-1，1)时，f“(x)0，f(x)单调减； 当 x(1，+)时，f“(x)0，f(x)单调增 ，f(-1)=k+2，f(1)=k-2， 17.设 f(x)为0，+)上的正值连续函数，已知曲线 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 曲线 和两坐标轴及直线 x=t(t0)所围区域绕 y 轴旋转所得体积为 曲线 y=f(x)和两坐标轴及直线 x=t(t0)所围区域的面积为 ，则 ，上式两端对 t 求导得 令 ，则 由 z(0)=0 知， ， ， 18.计算曲线积分 （分数：10
16、.00）_正确答案：()解析：解 设上半球面 x 2 +y 2 +z 2 =a 2 (z0，a0)包含在柱面 x 2 +y 2 =ax 内的部分曲面的上侧为 ，由 Stokes 公式可得 而 ， ， ，则 由于 xy，yz 都是 y 的奇函数，积分域关于 xOz 面左右对称，则 ， ， 19.设 f(x)，g(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，且 （分数：10.00）_正确答案：()解析：证明 由 知 则 上式两端分别用积分中值定理得 ， ， 20.已知 A=( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )是四阶矩阵， 1 ， 2 ， 3 ， 4 是四维列向量，若方程组 A= 的通解是(1，2，2，1
17、) T +k(1，-2，4，0) T ，又 B=( 3 ， 2 ， 1 ，- 4 )，求方程组 B=3 1 +5 2 - 3 的通解 （分数：11.00）_正确答案：()解析：解 由方程组 A= 的解的结构，可知 r(A)=r( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )=3， 且 1 +2 2 +2 3 + 4 =， 1 -2 2 +4 3 =0 因为 B=( 3 ， 2 ， 1 ，- 4 )=( 3 ， 2 ， 1 ， 1 +2 2 +2 3 )，且 1 ， 2 ， 3 线性相关，而知 r(B)=2 由 ， 知(-1，5，3，0) T 是方程组 B=3 1 +5 2 - 3 的一个解 又 21.已知
18、3 阶实对称矩阵 A 的特征值是 1，1，0，且 =(1，1，1) T 是齐次方程组 A=0 的基础解系 ()求 A 的特征向量； ()求秩 r(A-E)； ()如 =(1，3，5) T ，求 A n （分数：11.00）_正确答案：()解析：解 ()由 A=0=0，知 =(1，1，1) T 是矩阵 A 关于特征值 =0 的特征向量设 A 关于特征值 =1 的特征向量为(x 1 ，x 2 ，x 3 ) T ， 因为实对称矩阵特征值不同特征向量相互正交，有 x 1 +x 2 +x 3 =0 基础解系 1 =(-1，1，0) T ， 2 =(-1，0，1) T 是矩阵 A 关于特征值 =1 的线性
19、无关的特征向量 故 A 关于 =1 的特征向量为：k 1 1 +k 2 2 ，k 1 ，k 2 不全为 0 =0 的特征向量为：k，k0 ()A 是实对称矩阵必与对角矩阵相似，有 故 ，所以 22.已知随机变量 X 的概率密度为 在 X=x(x0)的条件下，随机变量 Y 在区间(0，x)上服从均匀分布，求： ()随机变量 X 与 Y 的联合概率密度 f(x，y)，X 与 Y 是否独立，为什么? ()计算条件概率 PX+Y1| 与 （分数：11.00）_正确答案：()解析：解 ()由题设知：在 X=x(x0)的条件下，Y 的条件密度为 根据乘法公式得 由于 ，故 X 与 Y 不独立 () 其中
20、所以 ()通过计算 Z=X-Y 的分布给出证明其方法有： 方法一(分布函数法）Z=X-Y 分布函数 当 z0 时，F Z (z)=0， 当 z0 时， 综上得 由此可知 Z=X-Y 服从参数 =1 的指数分布 方法二(公式法)已知(X，Y)f(x，y)，则 Z=X-Y 的概率密度 其中 由此可知：当 z0 时，f Z (z)=0； 当 z0 时， ，综上得 23.设 x 1 ，x 2 ，x n 是来自总体 X 的简单随机样本，X 的概率密度为 ()求 EX 与 EX 2 ； ()求 的最大似然估计量 （分数：11.00）_正确答案：()解析：解 () 可以把 看成服从正态分布 N(0， 2 )的随机变量 X 1 的概率密度函数，所以 ()设 x 1 ，x 2 ，x n 为样本观测值，似然函数 当 x 1 ，x 2 ，x n 0 时， 令 ，即 解得 ，从而 的最大似然估计量 解析 ()给出密度函数就有 ， ()有了 f(x；)就可构造似然函数
