1、考研数学一-419 (1)及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：10，分数：10.00)1.设 （分数：1.00）2.级数 （分数：1.00）3.设 （分数：1.00）4.函数 （分数：1.00）5.级数 （分数：1.00）6.幂级数 （分数：1.00）7.幂级数 （分数：1.00）8. （分数：1.00）9.设函数 f(x)=x+x 2 (-x)的傅里叶级数为 （分数：1.00）10.f(x)为以 2 为周期的函数，当-x 时， （分数：1.00）二、选择题(总题数：21，分数：21.00)11.若正项级数 收敛，则 （分数：1.00）A.发散B.条件收敛
2、C.绝对收敛D.敛散性不确定12.设级数 发散(a n 0)，令 S n =a 1 +a 2 +a n ，则 _ A发散 B收敛于 （分数：1.00）A.B.C.D.13.级数 （分数：1.00）A.发 n=散 1B.条件收敛C.绝对收敛D.收敛性与 a 有关14.若级数 收敛(u n 0)，则下列结论正确的是_ A B C D （分数：1.00）A.B.C.D.15.设 收敛，则下列正确的是_ A 一定收敛 B 一定发散 C 绝对收敛 D若 是正项级数，则 （分数：1.00）A.B.C.D.16.设常数 k0，则级数 （分数：1.00）A.发散B.绝对收敛C.条件收敛D.敛散性与 k 有关1
3、7.设 ，则_ A B C D （分数：1.00）A.B.C.D.18.设 a n 0(n=1，2，)且 收敛，又 0k ，则级数 （分数：1.00）A.绝对收敛B.条件收敛C.发散D.敛散性与 k 有关19.设 收敛，则下列级数必收敛的是_ A B C D （分数：1.00）A.B.C.D.20.下列说法正确的是 _ A若级数 都发散，则 一定发散 B若级数 都发散，则 一定发散 C若 收敛，则 一定收敛 D若级数 一个收敛一个发散，则 （分数：1.00）A.B.C.D.21.下列结论正确的是 _ A若 都收敛，则 收敛 B若 收敛，则 收敛 C若 发散，则 一定发散 D若 u n v n
4、(n=1，2，)且 收敛，则 （分数：1.00）A.B.C.D.22.设级数 都发散，则_ A 一定发散 B 一定发散 C 都发散 D （分数：1.00）A.B.C.D.23.下列命题正确的是 _ A若 收敛，而 发散，则 一定发散 B若 都发散，则 一定发散 C若 都收敛，则 一定收敛 D若 收敛，且正项级数 收敛，则 （分数：1.00）A.B.C.D.24.设 a 为任意常数，则级数 （分数：1.00）A.发散B.条件收敛C.绝对收敛D.敛散性与常数 a 有关25.下列正确的是_ A若 ，则 一定收敛 B若 收敛，则 一定收敛 C若正项级数 收敛，则 一定收敛 D若 收敛，则 （分数：1.
5、00）A.B.C.D.26.级数 （分数：1.00）A.发散B.条件收敛C.绝对收敛D.敛散性不确定27.设 k0，且级数 收敛，则级数 （分数：1.00）A.发散B.条件收敛C.绝对收敛D.敛散性与 k 的取值有关28.设幂级数 的收敛半径分别为 R 1 ，R 2 ，且 R 1 R 2 ，设 （分数：1.00）A.R0=R2B.R0=R1C.R0R2D.R0R229.设 ，则级数 的收敛半径为 _ A1 B C D （分数：1.00）A.B.C.D.30.设 （分数：1.00）A.条件收敛B.绝对收敛C.发散D.敛散性不确定31.设 则以 2 为周期的傅里叶级数在 x= 处收敛于_ A1+
6、2 B-1 C D （分数：1.00）A.B.C.D.三、解答题(总题数：12，分数：69.00)32.判别级数 （分数：6.00）_33.设 ，求 （分数：6.00）_34.判断级数 （分数：6.00）_35.判断级数 （分数：6.00）_36.判断级数 （分数：6.00）_37.判断级数 （分数：6.00）_38.判断级数 （分数：6.00）_39.判断级数 （分数：6.00）_40.判断级数 （分数：6.00）_41.判断级数 （分数：5.00）_42.判断级数 （分数：5.00）_43.判断级数 （分数：5.00）_考研数学一-419 (1)答案解析(总分：100.00，做题时间：90
7、 分钟)一、填空题(总题数：10，分数：10.00)1.设 （分数：1.00）解析：8解析 2.级数 （分数：1.00）解析：解析 由 ，得收敛半径为 R=2，当 x=-2 时级数收敛，当 x=2 时级数发散，故级数 的收敛域为-2，2)令 ，则 3.设 （分数：1.00）解析： 解析 ， 而 ， 则 又 ，所以 ，因此 4.函数 （分数：1.00）解析： 解析 由 ，得 ， 则 5.级数 （分数：1.00）解析：xln(1-x 2 )+x 3 -x 3 ln(1-x 2 )(-1x1) 解析 ， 而 所以 6.幂级数 （分数：1.00）解析： 解析 由 ， 得 R= 7.幂级数 （分数：1.
8、00）解析：解析 令 x-2=t，对级数 ，因为 ，所以收敛半径为 R=2， 当 t=2 时， 发散，所以 8. （分数：1.00）解析：2 解析 令 则 故 9.设函数 f(x)=x+x 2 (-x)的傅里叶级数为 （分数：1.00）解析：解析 10.f(x)为以 2 为周期的函数，当-x 时， （分数：1.00）解析： 解析 因为 f(x)的间断点为 x=(2k+1)(kZ)， 所以 二、选择题(总题数：21，分数：21.00)11.若正项级数 收敛，则 （分数：1.00）A.发散B.条件收敛C.绝对收敛 D.敛散性不确定解析：解析 因为 ，而 收敛，所以 收敛，于是12.设级数 发散(a
9、 n 0)，令 S n =a 1 +a 2 +a n ，则 _ A发散 B收敛于 （分数：1.00）A.B. C.D.解析：解析 因为正项级数 发散，所以 ， 令 ， 因为 13.级数 （分数：1.00）A.发 n=散 1B.条件收敛C.绝对收敛 D.收敛性与 a 有关解析：解析 因为 n时， ，而 收敛，所以 14.若级数 收敛(u n 0)，则下列结论正确的是_ A B C D （分数：1.00）A.B.C. D.解析：解析 令 S n =u 1 +u 2 +u n ，因为 收敛，所以 存在且 ， 令 S“ n =(u 1 +u 2 )+(u 2 +u 3 )+(u n +u n+1 )=
10、2S n -u 1 +u n+1 ， 于是 15.设 收敛，则下列正确的是_ A 一定收敛 B 一定发散 C 绝对收敛 D若 是正项级数，则 （分数：1.00）A.B.C.D. 解析：解析 A 不对，如 收敛，但 发散； B 不对，如 收敛， 也收敛； C 不对，如 收敛，但 16.设常数 k0，则级数 （分数：1.00）A.发散B.绝对收敛C.条件收敛 D.敛散性与 k 有关解析：解析 因为 ，而 绝对收敛， 条件收敛，所以17.设 ，则_ A B C D （分数：1.00）A.B.C. D.解析：解析 由交错级数审敛法， 收敛，而 n时， ，所以18.设 a n 0(n=1，2，)且 收敛
11、，又 0k ，则级数 （分数：1.00）A.绝对收敛 B.条件收敛C.发散D.敛散性与 k 有关解析：解析 令 ，因为 n时， ，而 收敛，所以 收敛，于是19.设 收敛，则下列级数必收敛的是_ A B C D （分数：1.00）A.B.C.D. 解析：解析 收敛，因为 S n =2(u 1 +u 2 +u n )-u 1 +u n+1 ，而级数 收敛，所以 存在且 ，于是 存在，由级数收敛的定义， 20.下列说法正确的是 _ A若级数 都发散，则 一定发散 B若级数 都发散，则 一定发散 C若 收敛，则 一定收敛 D若级数 一个收敛一个发散，则 （分数：1.00）A.B.C.D. 解析：解析
12、 令 ，显然 都发散，但 收敛，A 不对；令 ，显然 都发散，但收敛，B 不对；令 ，显然 收敛，但 发散，C 不对；若 收敛，且 收敛，则 一定收敛，若 收敛，则 收敛，故若 一个收敛另一个发散，则21.下列结论正确的是 _ A若 都收敛，则 收敛 B若 收敛，则 收敛 C若 发散，则 一定发散 D若 u n v n (n=1，2，)且 收敛，则 （分数：1.00）A. B.C.D.解析：解析 A 正确，因为 ，而 收敛，所以由正项级数的比较审敛法得 收敛；B 不对，如 ，显然 收敛，而 都发散；C 不对，如 ，则 收敛，而 发散；D 不对，如 ，显然 u n v n (n=1，2，)且 收
13、敛，但 22.设级数 都发散，则_ A 一定发散 B 一定发散 C 都发散 D （分数：1.00）A.B.C.D. 解析：解析 选 D 因为 为正项级数，若 收敛， 因为 0|u n |u n |+|v n |，0|v n |u n |+|v n |，根据正项级数的比较审敛法知， 都收敛，即 都绝对收敛， 23.下列命题正确的是 _ A若 收敛，而 发散，则 一定发散 B若 都发散，则 一定发散 C若 都收敛，则 一定收敛 D若 收敛，且正项级数 收敛，则 （分数：1.00）A.B.C.D. 解析：解析 选 D 取 ，显然 收敛，而 发散，但 收敛，A 不对； 取 ，显然 都发散，但 收敛，B
14、 不对； 取 ，显然 都收敛，但 发散，C 不对； 因为 收敛，所以 ，从而存在 M0，使得|u n |M，于是|u n v n |Mv n ， 因为正项级数 收敛，根据比较审敛法， 收敛，即 24.设 a 为任意常数，则级数 （分数：1.00）A.发散B.条件收敛 C.绝对收敛D.敛散性与常数 a 有关解析：解析 因为 绝对收敛，又因为 单调减少且以零为极限，所以 收敛，而 n时，发散，所以 条件收敛，于是级数25.下列正确的是_ A若 ，则 一定收敛 B若 收敛，则 一定收敛 C若正项级数 收敛，则 一定收敛 D若 收敛，则 （分数：1.00）A.B.C. D.解析：解析 A 不对，如 u
15、 n =(-3) n-1 ，显然 ，但 发散；B 不对，如 u n = ， 收敛，但 发散；C 正确，因为 收敛，所以 ，存在 N0，当 nN 时，0u n 1，从而 ，由比较审敛法得 收敛；D 不对，如 ，显然 收敛，但 26.级数 （分数：1.00）A.发散B.条件收敛 C.绝对收敛D.敛散性不确定解析：解析 因为 又 单调减少且以零为极限，由莱布尼茨审敛法，级数 收敛而 n时， 发散，所以 27.设 k0，且级数 收敛，则级数 （分数：1.00）A.发散B.条件收敛C.绝对收敛 D.敛散性与 k 的取值有关解析：解析 因为 ，且 都收敛，所以 收敛，故28.设幂级数 的收敛半径分别为 R
16、 1 ，R 2 ，且 R 1 R 2 ，设 （分数：1.00）A.R0=R2B.R0=R1 C.R0R2D.R0R2解析：29.设 ，则级数 的收敛半径为 _ A1 B C D （分数：1.00）A.B.C.D. 解析：解析 ，当 时，级数 绝对收敛；当 时，级数 发散，故其收敛半径为30.设 （分数：1.00）A.条件收敛B.绝对收敛 C.发散D.敛散性不确定解析：解析 因为 在 x=-1 处收敛，即 收敛，所以 的收敛半径 R2，故当 x=2 时，|2-1|R，所以级数31.设 则以 2 为周期的傅里叶级数在 x= 处收敛于_ A1+ 2 B-1 C D （分数：1.00）A.B.C.D.
17、 解析：解析 函数 f(x)的傅里叶级数在 x= 处收敛于三、解答题(总题数：12，分数：69.00)32.判别级数 （分数：6.00）_正确答案：()解析：解 ，因为 ， 所以级数 收敛且 33.设 ，求 （分数：6.00）_正确答案：()解析：解 令 t=x-2，则 ， 令 t=x-2n，则 ， 34.判断级数 （分数：6.00）_正确答案：()解析：解 因为 且 ，所以根据级数收敛的定义知 35.判断级数 （分数：6.00）_正确答案：()解析：解 因为当 x0 时 sinxx，所以 ，又因为 收敛，根据比较审敛法，级数36.判断级数 （分数：6.00）_正确答案：()解析：解 因为 是
18、正项级数，又 n时， 收敛，根据比较审敛法的极限形式，级数37.判断级数 （分数：6.00）_正确答案：()解析：解 令 ， 因为 根据比值审敛法，级数 38.判断级数 （分数：6.00）_正确答案：()解析：解 由 ，且 收敛，由比较审敛法得级数39.判断级数 （分数：6.00）_正确答案：()解析：解 因为 ，而 发散，由比较审敛法的极限形式得级数40.判断级数 （分数：6.00）_正确答案：()解析：解 由 ，得级数41.判断级数 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 因为 ，所以级数42.判断级数 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 因为 ，所以级数43.判断级数 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 因为 n时， ，且 收敛，所以级数
