1、考研数学一-421 (1)及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：5，分数：5.00)1.微分方程 （分数：1.00）2.设二阶常系数非齐次线性微分方程 y“+y“+qy=Q(x)有特解 y=3e -4x +x 2 +3x+2，则 Q(x)= 1，该微分方程的通解为 2 （分数：1.00）3.以 y=C 1 e -2x +C 2 e x +cosx 为通解的二阶常系数非齐次线性微分方程为 1 （分数：1.00）4.设 y“-3y“+ay=-5e -x 的特解形式为 Axe -x ，则其通解为 1 （分数：1.00）5.设 f(x)连续，且 （分数：1.00）二
2、、选择题(总题数：5，分数：5.00)6.设三阶常系数齐次线性微分方程有特解 y 1 =e x ，y 2 =2xe x ，y 3 =3e -x ，则该微分方程为_（分数：1.00）A.y“-y“-y“+y=0B.y“+y“-y“-y=0C.y“+2y“-y“-2y=0D.y“-2y“-y“+2y=07.设 1 (x)， 2 (x)为一阶非齐次线性微分方程 y“+P(x)y=Q(x)的两个线性无关的特解，则该方程的通解为_（分数：1.00）A.C1(x)+2(x)B.C1(x)-2(x)C.C1(x)+2(x)+2(x)D.1(x)-2(x)+C2(x)8.设 y=y(x)为微分方程 2xydx
3、+(x 2 -1)dy=0 满足初始条件 y(0)=1 的解，则 为_ A-ln3 Bln3 C D （分数：1.00）A.B.C.D.9.微分方程 y“-4y=e 2x +x 的特解形式为_ A.ae2x+bx+c B.ax2e2x+bx+c C.axe2x+bx2+cx D.axe2x+bx+C（分数：1.00）A.B.C.D.10.微分方程 y“-4y=x+2 的通解为_ A B C D （分数：1.00）A.B.C.D.三、解答题(总题数：34，分数：90.00)11.求微分方程 （分数：2.00）_12.求微分方程 xy“+2y“一 e x 的通解 （分数：2.00）_13.求微分方
4、程 （分数：2.00）_14.求微分方程 （分数：2.00）_15.求微分方程(y-x 3 )dx-2xdy=0 的通解 （分数：2.00）_16.求微分方程 y 2 dx+(2xy+y 2 )dy=0 的通解 （分数：2.00）_17.求微分方程 （分数：2.00）_18.求微分方程 （分数：2.00）_19.求微分方程 x 2 y“+xy=y 2 满足初始条件 y(1)=1 的特解 （分数：2.00）_20.求微分方程(xy 2 +y-1)dx+(x 2 y+x+2)dy=0 的通解 （分数：2.00）_21.求微分方程 （分数：2.00）_22.求微分方程 （分数：2.00）_23.设
5、y=e x 为微分方程 xy“+P(x)y=x 的解，求此微分方程满足初始条件 y(ln2)=0 的特解 （分数：3.00）_24.设 （分数：3.00）_25.用变量代换 x=lnt 将方程 （分数：3.00）_26.设当 x0 时，f(x)满足 （分数：3.00）_27.求满足初始条件 y“+2x(y“) 2 =0，y(0)=1，y“(0)=1 的特解 （分数：3.00）_28.求微分方程 yy“=y“ 2 满足初始条件 y(0)=y“(0)=1 的特解 （分数：3.00）_29.一条曲线经过点(2，0)，且在切点与 y 轴之间的切线长为 2，求该曲线 （分数：3.00）_30.设曲线 L
6、 1 与 L 2 皆过点(1，1)，曲线 L 1 在点(x，y)处纵坐标与横坐标之商的变化率为 2，曲线 L 2 在点(x，y)处纵坐标与横坐标之积的变化率为 2，求两曲线所围成区域的面积 （分数：3.00）_31.用变量代换 x=sint 将方程 （分数：3.00）_32.设二阶常系数齐次线性微分方程以 y 1 =e 2x ，y 2 =2e -x -3e 2x 为特解，求该微分方程 （分数：3.00）_33.求微分方程 y“+2y“-3y=(2x+1)e x 的通解 （分数：3.00）_34.求 y“-2y“-e 2x =0 满足初始条件 y(0)=1，y“(0)=1 的特解 （分数：3.0
7、0）_35.求微分方程 y“+4y“+4y=e ax 的通解 （分数：3.00）_36.求微分方程 y“+y=x 2 +3+cosx 的通解 （分数：3.00）_37.求微分方程 x 3 y“+2x 2 y“-xy“+y=0 的通解 （分数：3.00）_38.求微分方程 x 2 y“-2xy“+2y=2x-1 的通解 （分数：3.00）_39.设单位质点在水平面内作直线运动，初速度 v| t=0 =v 0 已知阻力与速度成正比(比例系数为 1)，问t 为多少时此质点的速度为 （分数：3.00）_40.设 f(x)在0，+)上连续，且 f(0)0，设 f(x)在0，x上的平均值等于 f(0)与
8、f(x)的几何平均数，求 f(x) （分数：3.00）_41.设曲线 L 位于 xOy 平面的第一象限内，L 上任意一点 M 处的切线与 y 轴总相交，交点为 A，已知|MA|=|OA|，且 L 经过点 （分数：3.00）_42.在上半平面上求一条上凹曲线，其上任一点 P(x，y)处的曲率等于此曲线在该点的法线段 PQ 的长度的倒数(Q 为法线与 z 轴的交点)，且曲线在点(1，1)处的切线与 x 轴平行 （分数：3.00）_43.一半球形雪堆融化速度与半球的表面积成正比，比例系数为 k0，设融化过程中形状不变，设半径为r 0 的雪堆融化 3 小时后体积为原来的 （分数：3.00）_44.设
9、f(x)在0，1上连续且满足 f(0)=1，f“(x)-f(x)=a(x-1)y=f(x)，x=0，x=1，y=0 围成的平面区域绕 x 轴旋转一周所得的旋转体体积最小，求 f(x) （分数：3.00）_考研数学一-421 (1)答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：5，分数：5.00)1.微分方程 （分数：1.00）解析：解析 由 ，得 ，令 ，则 ，解得 arcsinu=ln|x|+C，则原方程通解为 2.设二阶常系数非齐次线性微分方程 y“+y“+qy=Q(x)有特解 y=3e -4x +x 2 +3x+2，则 Q(x)= 1，该微分方程的通解为 2 （
10、分数：1.00）解析：y=C 1 e -4x +C 2 e 3x +x 2 +3x+2(其中 C 1 ，C 2 为任意常数) 解析 显然 =-4 是特征方程 2 +q=0 的解，故 q=-12， 即特征方程为 2 +-12=0，特征值为 1 =-4， 2 =3 因为 x 2 +3x+2 为特征方程 y“+y“-12y=Q(x)的一个特解， 所以 Q(x)=2+2x+3-12(x 2 +3x+2)=-12x 2 -34x-19， 且通解为 y=C 1 e -4x +C 2 e 3x +x 2 +3x+2(其中 C 1 ，C 2 为任意常数)3.以 y=C 1 e -2x +C 2 e x +co
11、sx 为通解的二阶常系数非齐次线性微分方程为 1 （分数：1.00）解析：y“+y“-2y=-sinx-3cosx 解析 特征值为 1 =-2， 2 =1，特征方程为 2 +-2=0， 设所求的微分方程为 y“+y“-2y=Q(x)，把 y=cosx 代入原方程，得 Q(x)=-sinx-3cosx，所求微分方程为 y“+y“-2y=-sinx-3cosx4.设 y“-3y“+ay=-5e -x 的特解形式为 Axe -x ，则其通解为 1 （分数：1.00）解析：y=C 1 e -x +C 2 e 4x +xe -x 解析 因为方程有特解 Axe -x ，所以-1 为特征值，即(-1) 2
12、-3(-1)+a=0 a=-4，所以特征方程为 2 -3-4=0 5.设 f(x)连续，且 （分数：1.00）解析：e -x 解析 由 得 ，整理得 二、选择题(总题数：5，分数：5.00)6.设三阶常系数齐次线性微分方程有特解 y 1 =e x ，y 2 =2xe x ，y 3 =3e -x ，则该微分方程为_（分数：1.00）A.y“-y“-y“+y=0 B.y“+y“-y“-y=0C.y“+2y“-y“-2y=0D.y“-2y“-y“+2y=0解析：解析 由 y 1 =e x ，y 2 =2xe x ，y 3 =3e -x 为三阶常系数齐次线性微分方程的特解可得其特征值为 1 = 2 =
13、1， 3 =-1，其特征方程为(-1) 2 (+1)=0，即 3 - 2 -+1=0，所求的微分方程为 y“-y“-y“+y=0，选 A7.设 1 (x)， 2 (x)为一阶非齐次线性微分方程 y“+P(x)y=Q(x)的两个线性无关的特解，则该方程的通解为_（分数：1.00）A.C1(x)+2(x)B.C1(x)-2(x)C.C1(x)+2(x)+2(x) D.1(x)-2(x)+C2(x)解析：解析 因为 1 (x)， 2 (x)为方程 y“+P(x)y=Q(x)的两个线性无关解，所以 1 (x)- 2 (x)为方程 y“+P(x)y=0 的一个解，于是方程 y“+P(x)y=Q(x)的通
14、解为 C 1 (x)- 2 (x)+ 2 (x)，选 C8.设 y=y(x)为微分方程 2xydx+(x 2 -1)dy=0 满足初始条件 y(0)=1 的解，则 为_ A-ln3 Bln3 C D （分数：1.00）A.B.C.D. 解析：解析 由 2xydx+(x 2 -1)dy=0 得 ，积分得 ln(x 2 -1)+lny=lnC，从而 ， 由 y(0)=1 得 C=-1，于是 ， 故 9.微分方程 y“-4y=e 2x +x 的特解形式为_ A.ae2x+bx+c B.ax2e2x+bx+c C.axe2x+bx2+cx D.axe2x+bx+C（分数：1.00）A.B.C.D. 解
15、析：解析 y“-4y=0 的特征方程为 2 -4=0，特征值为 1 =-2， 2 =2 y“-4y=e 2x 的特解形式为 y 1 =axe 2x ，y“-4y=x 的特解形式为 y 2 =bx+c，故原方程特解形式为 axe 2x +bx+c，应选 D10.微分方程 y“-4y=x+2 的通解为_ A B C D （分数：1.00）A.B.C.D. 解析：解析 微分方程 y“-4y=0 的特征方程为 2 -4=0，特征值为-2，2，则方程 y“-4y=0 的通解为 C 1 e -2x +C 2 e 2x ，显然方程 y“-4y=x+2 有特解 三、解答题(总题数：34，分数：90.00)11
16、.求微分方程 （分数：2.00）_正确答案：()解析：解 可写为 ，令 原方程化为 ，变量分离得 12.求微分方程 xy“+2y“一 e x 的通解 （分数：2.00）_正确答案：()解析：解 方法一 令 y“=p则原方程化为 ， 解得 ， 故 方法二 xy“+2y“=e x 两边乘以 x 得 x 2 y“+2xy“=xe x ，即(x 2 y“)“=xe x ，积分得 x 2 y“=(x-1)e x +C 1 ，即 ，再积分得原方程通解为 13.求微分方程 （分数：2.00）_正确答案：()解析：解 由 得 ，分离变量得 ，两边积分得 14.求微分方程 （分数：2.00）_正确答案：()解析
17、：解 由 ，得 令 ，则原方程化为 ，积分得 ， 即 ，将初始条件 y(1)=0 代入得 C=1 由 ，即满足初始条件的特解为 15.求微分方程(y-x 3 )dx-2xdy=0 的通解 （分数：2.00）_正确答案：()解析：解 由(y-x 3 )dx-2xdy=0，得 ， 则 即原方程的通解为 16.求微分方程 y 2 dx+(2xy+y 2 )dy=0 的通解 （分数：2.00）_正确答案：()解析：解 由 y 2 dx+(2xy+y 2 )dy=0 得 ， 令 ，则 ，解得 17.求微分方程 （分数：2.00）_正确答案：()解析：解 由 ， 令 u=siny，则 ，令 u -1 =z
18、，则 解得 则 18.求微分方程 （分数：2.00）_正确答案：()解析：解 方法一 由 ， 令 ，得 ，解得 u 2 =lnx 2 +C，由 y(e)=2e，得 C=2， 所求的通解为 y 2 =x 2 lnx 2 +2x 2 方法二 由 ，得 ，令 z=y 2 ，则 ， 解得 19.求微分方程 x 2 y“+xy=y 2 满足初始条件 y(1)=1 的特解 （分数：2.00）_正确答案：()解析：解 由 x 2 y“+xy=y 2 得 ， 两边积分得 ， 因为 y(1)=1，所以 C=-1，再把 代入 得原方程的特解为 20.求微分方程(xy 2 +y-1)dx+(x 2 y+x+2)dy
19、=0 的通解 （分数：2.00）_正确答案：()解析：解 令 P(x，y)=xy 2 +y-1，Q(x，y)=x 2 y+x+2，因为 ，所以原方程为全微分方程， 令 则原方程的通解为 21.求微分方程 （分数：2.00）_正确答案：()解析：解 由 ，则 22.求微分方程 （分数：2.00）_正确答案：()解析：解 令 x+y=u，则 ，于是有 ，变量分离得 23.设 y=e x 为微分方程 xy“+P(x)y=x 的解，求此微分方程满足初始条件 y(ln2)=0 的特解 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 把 y=e x 代入微分方程 xy“+P(x)y=x，得 P(x)=xe -
20、x -x，原方程化为 y“+(e -x -1)y=1，则y=1e (e-x-1)dx dx+Ce -(e-x-1)dx =Ce x+e-x +e x ，将 y(ln2)=0 代入 y=Ce x+e-x +e x 中得 ，故特解为 24.设 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 由 ，得 ，两边对 x 求导，得 ，两边再对 x 求导得 f“(x)+f(x)=e x ，其通解为 f(x)=C 1 cosx+C 2 sinx+ 在 中，令 x=0 得 f(0)=1，在 f“(x)=e x - 中，令x=0 得 f“(0)=1，于是有 ，故 25.用变量代换 x=lnt 将方程 （分数：3.00
21、）_正确答案：()解析：解 ， ，代入原方程得 26.设当 x0 时，f(x)满足 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 由 27.求满足初始条件 y“+2x(y“) 2 =0，y(0)=1，y“(0)=1 的特解 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 令 y“=p，则 ，代入方程得 ，解得 ， 由 y“(0)=1 得 C 1 =1，于是 28.求微分方程 yy“=y“ 2 满足初始条件 y(0)=y“(0)=1 的特解 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 令 y“=p，则 ，代入原方程得 当 p=0 时，y=1 为原方程的解；当 p0 时，由 ，解得 ，由 y(0)=y“
22、(0)=1 得 C 1 =1，于是 29.一条曲线经过点(2，0)，且在切点与 y 轴之间的切线长为 2，求该曲线 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 曲线在点(x，y)处的切线方程为 y-y=y“(X-x)， 令 X=0，则 Y=y-xy“，切线与 y 轴的交点为(0，y-xy“) 由题意得 x 2 +x 2 y“ 2 =4，解得 ，变量分离得 ，积分得 ， 因为曲线经过点(2，0)，所以 C=0，故曲线为 30.设曲线 L 1 与 L 2 皆过点(1，1)，曲线 L 1 在点(x，y)处纵坐标与横坐标之商的变化率为 2，曲线 L 2 在点(x，y)处纵坐标与横坐标之积的变化率为 2
23、，求两曲线所围成区域的面积 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 对曲线 L 1 ，由题意得 ，解得 y=x(2x+C 1 )， 因为曲线 L 1 过点(1，1)，所以 C 1 =-1，故 L 1 ：y=2x 2 -x 对曲线 L 2 ，由题意得 ，解得 ， 因为曲线 L 2 过点(1，1)，所以 C 2 =-1，故 由 得两条曲线的交点为 及(1，1)， 故两条曲线所围成区域的面积为 31.用变量代换 x=sint 将方程 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 ，代入原方程得 32.设二阶常系数齐次线性微分方程以 y 1 =e 2x ，y 2 =2e -x -3e 2x 为特解，
24、求该微分方程 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 因为 y 1 =e 2x ，y 2 =2e -x -3e 2x 为特解，所以 e 2x ，e -x 也是该微分方程的特解，故其特征方程的特征值为 1 =-1， 2 =2，特征方程为(+1)(-2)=0 即 2 -2=0，所求的微分方程为y“-y“-2y=033.求微分方程 y“+2y“-3y=(2x+1)e x 的通解 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 特征方程为 2 +2-3=0，特征值为 1 =1， 2 =-3，则 y“+2y“-3y=0 的通解为 y=C 1 e x +C 2 e -3x 令原方程的特解为 y 0 =x(
25、ax+b)e x ，代入原方程得 ， 所以原方程的通解为 34.求 y“-2y“-e 2x =0 满足初始条件 y(0)=1，y“(0)=1 的特解 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 原方程可化为 y“-2y“=e 2x ，特征方程为 r 2 -2r=0，其对应的齐次线性微分方程的通解为 y=C 1 +C 2 e 2x 令原方程的特解为 y * =Axe 2x ，代入原方程得 ，从而原方程的通解为 35.求微分方程 y“+4y“+4y=e ax 的通解 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 特征方程为 2 +4+4=0，特征值为 1 = 2 =-2，原方程对应的齐次线性微分方程
26、的通解为 y=(C 1 +C 2 x)e -2x (1)当 a-2 时，因为 a 不是特征值，所以设原方程的特解为 y 0 (x)=Ae ax ，代入原方程得 ，则原方程的通解为 ； (2)当 a=-2 时，因为 a=-2 为二重特征值，所以设原方程的特解为 y 0 (x)=Ax 2 e -2x ， 代入原方程得 ，则原方程的通解为 36.求微分方程 y“+y=x 2 +3+cosx 的通解 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 特征方程为 2 +1=0，特征值为 1 =-i， 2 =i， 方程 y“+y=0 的通解为 y=C 1 cosx+C 2 sinx 对方程 y“+y=x 2 +
27、3，特解为 y 1 =x 2 +1； 对方程 y“+y=cosx，特解为 ，原方程的特解为 ， 则原方程的通解为 y=C 1 cosx+C 2 sinx+x 2 +1+ 37.求微分方程 x 3 y“+2x 2 y“-xy“+y=0 的通解 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 令 x=e t ，则 xy“=D，x 2 y“=D(D-1)，x 3 y“=D(D-1)(D-2)，即 原方程化为 ，特征方程为 3 - 2 -+1=0，解得特征值为 1 =-1， 2 = 3 =1，则方程 的通解为 y=C 1 e -t +(C 2 +C 3 t)e t ，原方程的通解为 38.求微分方程 x
28、2 y“-2xy“+2y=2x-1 的通解 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 令 x=e t ，则 ，原方程化为 ， 的通解为 y=C 1 e t +C 2 e 2t ，令 的特解为 y 0 (t)=ate t ，代入 ，得 a=-2，显然 的特解为 ，所以方程 的通解为 ，原方程的通解为 39.设单位质点在水平面内作直线运动，初速度 v| t=0 =v 0 已知阻力与速度成正比(比例系数为 1)，问t 为多少时此质点的速度为 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 设 t 时刻质点运动的速度为 v(t)，阻力 ，则有 解此微分方程得 v(t)=v 0 e -t 由 得 t=ln
29、3，从开始到 t=ln3 的时间内质点所经过的路程为 40.设 f(x)在0，+)上连续，且 f(0)0，设 f(x)在0，x上的平均值等于 f(0)与 f(x)的几何平均数，求 f(x) （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 根据题意得 ，令 ，则有 ，两边求导得 ， 即 ，令 ，则有 ，解得 41.设曲线 L 位于 xOy 平面的第一象限内，L 上任意一点 M 处的切线与 y 轴总相交，交点为 A，已知|MA|=|OA|，且 L 经过点 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 设点 M 的坐标为(x，y)，则切线 MA：Y-y=y“(X-x) 令 X=0，则 Y=y-xy“，故 A 点的坐标为(0，y-xy“) 由|MA|=|OA|，得 即 ，或者 ， 则 因为曲线经过点 ，所以 C=3，再由曲线经过第一象限得曲线方程为 42.在上半平面上求一条上凹曲线，其上任一点 P(x，y)处的曲率等于此曲线在该点的法线段 PQ 的长度的倒数(Q 为法线与 z 轴的交点)，且曲线在点(1，1)处的切线与 x
