1、考研数学一-421 及答案解析(总分：150.01，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 （分数：4.00）A.连续但偏导数不存在B.偏导数存在但不连续C.不可微，但偏导数存在D.可微2.设 f(x)，g(x)在 x 0 处可导，且 f(x 0 )=g(x 0 )=0，f“(x 0 )g“(x 0 )0，f“(x 0 )，g“(x 0 )存在，则_（分数：4.00）A.x0 不是 f(x)g(x)的驻点B.x0 是 f(x)g(x)的驻点，但不是极值点C.x0 是 f(x)g(x)的驻点，且是极小值点D.x0 是 f(x)g(x)的驻点，且是极大值点3.设 f
2、(x)=xe x+1 -1，则 f(x)在(-，+)内_（分数：4.00）A.没有零点B.只有一个零点C.恰有两个零点D.恰有 3 个零点4.设 （分数：4.00）A.MNPB.NMPC.MPND.NPM5.设 A，B 为 n 阶矩阵，则下列结论正确的是_（分数：4.00）A.若 A，B 有相同的特征值，则 A 与 B 相似B.A 的特征值中非零特征值的个数与 A 的秩相等C.若 A 与 B 相似，则 A，B 与同一对角矩阵相似D.若 A 可对角化，且 A 与 B 相似，则 A，B 与同一对角矩阵相似6.设三阶矩阵 A 的特征值为 1 =-1， 2 =2， 3 =4对应的特征向量为 1 ， 2
3、 ， 3 ，令P=(-3 2 ，2 1 ，5 3 )，则 P -1 (A * +2E)P 等于_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.7.设随机变量 X 的分布函数 F(x)=0.2F 1 (x)+0.8F 1 (2x)，其中 F 1 (x)是服从参数为 1 的指数分布的随机变量的分布函数，则 DX 为_（分数：4.00）A.0.36B.0.44C.0.64D.18.设正态总体 XN(， 2 )，X 1 ，X 2 ，X n 为简单随机样本，在 2 已知，n 固定的情况下，设 的置信度为 1- 的估计区间为，若提高置信度 1-，则估计区间的长度_（分数：4.00）A.不变B.变小C
4、.变大D.有时变大，有时变小二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）10. 其中 为曲线 从 z 轴的正向看， （分数：4.00）11.设 f(x)连续，对于任意 x0，f(x)0，且有 （分数：4.00）12.设有直线 （分数：4.00）13.设 有特征向量 （分数：4.00）14.某种产品的废品率为 p，从一大批这种产品中任取 4 个，已知至少有 1 个废品的概率为 0.3439，则至少有两个废品的概率为 1 （分数：4.00）三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.证明：当 x0 时，不等式 （分数：10.00）_16.设 f(x)在1，+)上有连续的二
5、阶导数，f(1)=0，f“(1)=1且二元函数 z=(x 2 +y 2 )f(x 2 +y 2 )满足 （分数：10.00）_17.计算 （分数：10.00）_(1).先讨论级数 的敛散性，又已知 （分数：5.00）_(2).求 （分数：5.00）_18.已知 u=ax 2 +by 2 +cz 2 ，其中 a0，b0，c0求在条件 x+y+z=1 下的极小值 （分数：10.00）_设 A 为三阶矩阵， 1 ， 2 ， 3 是线性无关的三维列向量，且满足 A 1 = 1 +3 2 ，A 2 =5 1 - 2 ，A 3 = 1 - 2 +4 3 （分数：11.01）(1).求矩阵 B，使得 A(
6、1 ， 2 ， 3 )=( 1 ， 2 ， 3 )B；（分数：3.67）_(2).求矩阵 A 的特征值；（分数：3.67）_(3).求可逆矩阵 P，使 P -1 AP 为对角矩阵（分数：3.67）_19.已知向量组 1 =(1，2，-1，3) T ， 2 =(2，5，a，8) T ， 3 =(-1，0，3，1) T 及向量组 1 =(1，a，a 2 -5，7) T ， 2 =(3，3+a，3，11) T ， 3 =(0，1，6，2) T 若 1 可由 1 ， 2 ， 3 线性表示，判断这两个向量组是否等价，并说明理由 （分数：11.00）_20.设随机变量 X 与 Y 相互独立同分布，其中 （
7、分数：11.00）_设随机变量 X 与 Y 相互独立 XN(0，1)Y 各以 0.5 的概率取值1，令 Z=XY，证明：（分数：11.00）(1).ZN(0，1)（分数：5.50）_(2).X 与 Z 既不相关也不独立（分数：5.50）_考研数学一-421 答案解析(总分：150.01，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 （分数：4.00）A.连续但偏导数不存在B.偏导数存在但不连续C.不可微，但偏导数存在 D.可微解析：解析 由夹逼定理，f(x，y)在点(0，0)处连续 又 同理 ，所以偏导数存在 又如果 f=Ax+By+o()，即 则称 f(x，y)在点
8、(0，0)处可微 然而 2.设 f(x)，g(x)在 x 0 处可导，且 f(x 0 )=g(x 0 )=0，f“(x 0 )g“(x 0 )0，f“(x 0 )，g“(x 0 )存在，则_（分数：4.00）A.x0 不是 f(x)g(x)的驻点B.x0 是 f(x)g(x)的驻点，但不是极值点C.x0 是 f(x)g(x)的驻点，且是极小值点 D.x0 是 f(x)g(x)的驻点，且是极大值点解析：解析 y=f(x)g(x)， y“(x 0 )=f“(x 0 )g(x 0 )+f(x 0 )g“(x 0 )=0，x 0 为驻点 (x 0 )=f“(x 0 )g(x 0 )+2f“(x 0 )
9、g“(x 0 )+f(x 0 )g“(x 0 ) =2f“(x 0 )g“(x 0 )0， 所以，y=f(x)g(x)在 x 0 处取极小值选 C3.设 f(x)=xe x+1 -1，则 f(x)在(-，+)内_（分数：4.00）A.没有零点B.只有一个零点 C.恰有两个零点D.恰有 3 个零点解析：解析 f(x)=xe x+1 -1， f“(x)=(x+1)e x+1 ，令 f“(x)=0，得驻点 x=-1 (-，-1) -1 (-1，+) f“(x) - 0 + f(x) 小 f 小 (-1)=-2 而 y=-1 为水平渐近线 又 (如下图) 4.设 （分数：4.00）A.MNPB.NMP
10、 C.MPND.NPM解析：解析 由于积分区域 x 2 +y 2 1 是对称区域，(x+y) 3 是关于原点的奇函数，所以，M=0 又 5.设 A，B 为 n 阶矩阵，则下列结论正确的是_（分数：4.00）A.若 A，B 有相同的特征值，则 A 与 B 相似B.A 的特征值中非零特征值的个数与 A 的秩相等C.若 A 与 B 相似，则 A，B 与同一对角矩阵相似D.若 A 可对角化，且 A 与 B 相似，则 A，B 与同一对角矩阵相似 解析：解析 令 显然 A，B 的特征值相同，全为零显然，A 与 B 不相似，因为 R(A)=2R(B)=1A 不正确 又 6.设三阶矩阵 A 的特征值为 1 =
11、-1， 2 =2， 3 =4对应的特征向量为 1 ， 2 ， 3 ，令P=(-3 2 ，2 1 ，5 3 )，则 P -1 (A * +2E)P 等于_ A B C D （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 A 的特征值为 1 =-1， 2 =2， 3 =4 A * 的特征值为 :8，-4，-2 A * +2E 的特征值为：10，-2，0 A * +2E 的特征向量为 1 ， 2 ， 3 ，亦为 2 1 ，-3 2 ，5 3 ，现令 P=(-3 2 ，2 1 ，5 3 )，于是 A * +2E 的特征值的排序为-2，10，0，且有 7.设随机变量 X 的分布函数 F(x)=0.2F
12、1 (x)+0.8F 1 (2x)，其中 F 1 (x)是服从参数为 1 的指数分布的随机变量的分布函数，则 DX 为_（分数：4.00）A.0.36B.0.44 C.0.64D.1解析：解析 X 1 E(1)，EX 1 =1，DX 1 =1， F(X)=0.2F 1 (x)+0.8F 1 (2x)， F“(x)=0.2f 1 (x)+1.6f 1 (2x) DX=EX 2 -(EX) 2 ， 8.设正态总体 XN(， 2 )，X 1 ，X 2 ，X n 为简单随机样本，在 2 已知，n 固定的情况下，设 的置信度为 1- 的估计区间为，若提高置信度 1-，则估计区间的长度_（分数：4.00）
13、A.不变B.变小C.变大 D.有时变大，有时变小解析：解析 (如下图)， 估计区间长度为 当 1- 增大， 减小， 二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）解析： 解析 当 x0 时， 10. 其中 为曲线 从 z 轴的正向看， （分数：4.00）解析：8 解析 即 的参数方程： 11.设 f(x)连续，对于任意 x0，f(x)0，且有 （分数：4.00）解析： 解析 当 x=0， 又 两边求导，得 2f(x)f“(x)=f(x)； 当 x0，f(x)0， 12.设有直线 （分数：4.00）解析：垂直 解析 设直线 L 的方向向量为 a，平面 的法向量为 n，则 13
14、.设 有特征向量 （分数：4.00）解析： 解析 由 A=，A 1 = 1 1 ， 同理，A 2 = 2 2 ， A 3 = 3 3 ， 14.某种产品的废品率为 p，从一大批这种产品中任取 4 个，已知至少有 1 个废品的概率为 0.3439，则至少有两个废品的概率为 1 （分数：4.00）解析：0523 解析 设废品数为 X，则 XB(4，p) PX=0=(1-p) 4 ，PX1=1-PX=0，已知 PX1=0.3439， 所以， 0.3439=1-(1-p) 4 ，(1-p) 4 =1-0.3439=0.6561， 又 三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.证明：当 x0 时，
15、不等式 （分数：10.00）_正确答案：()解析：证设 而当 x0 时， f“(x)0，在(0，+)内 f(x) 而 所以， 同理可证 因此，当 x0 时，有 16.设 f(x)在1，+)上有连续的二阶导数，f(1)=0，f“(1)=1且二元函数 z=(x 2 +y 2 )f(x 2 +y 2 )满足 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 同理， 由已知 得 4f+12(x 2 +y 2 )f“+4(x 2 +y 2 ) 2 f“=0， 令 x 2 +y 2 =u，得 u 2 f“(u)+3uf“(u)+f(u)=0，(欧拉方程)(*) 令 u=e t (指数变换!) 代入式(*)得
16、(二阶常系数线性齐次微分方程) 特征方程：r 2 +2r+1=0， r 1 =r 2 =-1(重根)， 通解为 f=(C 1 +C 2 t)e -t ， 由 f(1)=0，得 C 1 =0；由 f“(1)=1，得 C 2 =1 u1，+)， x1，+) 得驻点 x=e， (1，e) e (e，+) f(x) + 0 - f“(x) 大 17.计算 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 在任何不包含原点的区域内，总有 选取适当小的 0，使 C + ：3x 2 +4y 2 = 2 完全落在 L 内，此处 C + 为逆时针方向 (1).先讨论级数 的敛散性，又已知 （分数：5.00）_正确答
17、案：()解析： p 级数 收敛，由比较审敛法， 收敛 因而其部分和 收敛 亦即 (2).求 （分数：5.00）_正确答案：()解析：18.已知 u=ax 2 +by 2 +cz 2 ，其中 a0，b0，c0求在条件 x+y+z=1 下的极小值 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 作拉格朗日函数 设 A 为三阶矩阵， 1 ， 2 ， 3 是线性无关的三维列向量，且满足 A 1 = 1 +3 2 ，A 2 =5 1 - 2 ，A 3 = 1 - 2 +4 3 （分数：11.01）(1).求矩阵 B，使得 A( 1 ， 2 ， 3 )=( 1 ， 2 ， 3 )B；（分数：3.67）_正确
18、答案：()解析：解 (2).求矩阵 A 的特征值；（分数：3.67）_正确答案：()解析：由于 A 与 B 相似，于是 A 与 B 有相同的特征值 由|B-E|=0， (3).求可逆矩阵 P，使 P -1 AP 为对角矩阵（分数：3.67）_正确答案：()解析：当 = 1 =-4 时，由(B- 1 E)x=0， 得 当 = 2 = 3 =4 时，由(B- 2 E)x=0， 得 令 于是 取 则有 19.已知向量组 1 =(1，2，-1，3) T ， 2 =(2，5，a，8) T ， 3 =(-1，0，3，1) T 及向量组 1 =(1，a，a 2 -5，7) T ， 2 =(3，3+a，3，1
19、1) T ， 3 =(0，1，6，2) T 若 1 可由 1 ， 2 ， 3 线性表示，判断这两个向量组是否等价，并说明理由 （分数：11.00）_正确答案：()解析：解 1 可由 1 ， 2 ， 3 线性表示， 即 x 1 1 +x 2 2 +x 3 3 = 1 有解 a=4 时， 1 可由 1 ， 2 ， 3 线性表示 而当 a=4 时， 20.设随机变量 X 与 Y 相互独立同分布，其中 （分数：11.00）_正确答案：()解析：解 分析()，()，()小题中所涉及的随机变量，列一总表： 有了总表，再分别做()，()，()小题 () () ()由()中(U，V)的联合分布，边缘分布，立即
20、得出 U 与 V 不相互独立 而 于是，E(UV)=4， 设随机变量 X 与 Y 相互独立 XN(0，1)Y 各以 0.5 的概率取值1，令 Z=XY，证明：（分数：11.00）(1).ZN(0，1)（分数：5.50）_正确答案：()解析：由全概率公式可得 (2).X 与 Z 既不相关也不独立（分数：5.50）_正确答案：()解析：E(X)=0，E(Y)=0 且 X 与 Y 相互独立， 所以，Cov(X，Z)=Cov(X，XY)=E(X 2 Y)-E(X)E(XY) =E(X 2 )E(Y)-E(X)E(XY)=0 所以 X 与 Z 不相关 为了证明 X 与 Z 不独立，我们考查如下特定事件的概率，且对其使用全概率公式 考虑到 Z=XYN(0，1)， PX1PXY1=(1)(1-(1)，而
