1、考研数学一-422 (1)及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：23，分数：46.00)1.设 （分数：2.00）2.设 A 为三阶矩阵，A 的第一行元素为 1，2，3，|A|的第二行元素的代数余子式分别为 a+1，a-2，a-1，则 a= 1 （分数：2.00）3.设 A 是 m 阶矩阵，B 是 n 阶矩阵，且|A|=a，|B|=b，则 （分数：2.00）4.设 A=( 1 ， 2 ， 3 )为三阶矩阵，且|A|=3，则| 1 +2 2 ， 2 -3 3 ， 3 +2 1 = 1 （分数：2.00）5.设三阶矩阵 A=(， 1 ， 2 )，B=(， 1 ，
2、 2 )，其中 ， 1 ， 2 是三维列向量，且|A|=3，|B|=4，则|5A-2B|= 1 （分数：2.00）6.设 =(1，-1，2) T ，=(2，1，1) T ，A= T ，则 A n = 1 （分数：2.00）7. （分数：2.00）8.设 （分数：2.00）9.A 2 -B 2 =(A+B)(A-B)的充分必要条件是 1 （分数：2.00）10.设 A 是三阶矩阵，且|A|=4，则 （分数：2.00）11.设 A 为三阶矩阵，且|A|=4，则 （分数：2.00）12.设 A 为四阶矩阵，|A * |=8，则 （分数：2.00）13.设 A 为三阶矩阵，且|A|=3，则|(-2A)
3、 * |= 1 （分数：2.00）14.设 （分数：2.00）15.设 （分数：2.00）16.设 （分数：2.00）17.设 （分数：2.00）18.设 A 为 n 阶可逆矩阵(n2)，则(A * ) * -1 = 1(用 A * 表示) （分数：2.00）19.设 ，则 （分数：2.00）20.设 n 维列向量 =(a，0，0，a) T ，其中 a0，又 A=E- T ， （分数：2.00）21.设三阶矩阵 A，B 满足关系 A -1 BA=6A+BA，且 （分数：2.00）22.设 A 是 43 阶矩阵且 r(A)=2， （分数：2.00）23.设 （分数：2.00）二、选择题(总题数：
4、14，分数：28.00)24.设 A 是三阶矩阵，B 是四阶矩阵，且|A|=2，|B|=6，则 （分数：2.00）A.24B.-24C.48D.-4825.设 A 为二阶矩阵，且 A 的每行元素之和为 4，且|E+A|=0，则|2E+A 2 |为_（分数：2.00）A.0B.54C.-2D.-2426.设 n 维行向量 （分数：2.00）A.B.C.D.27.设 A，B 为 n 阶矩阵，则下列结论正确的是_（分数：2.00）A.若 A，B 可逆，则 A+B 可逆B.若 A，B 可逆，则 AB 可逆C.若 A+B 可逆，则 A-B 可逆D.若 A+B 可逆，则 A，B 都可逆28.设 A，B 为
5、 n 阶对称矩阵，下列结论不正确的是_ A.AB 为对称矩阵 B.设 A，B 可逆，则 A-1+B-1为对称矩阵 C.A+B 为对称矩阵 D.kA 为对称矩阵（分数：2.00）A.B.C.D.29.设 A，B 皆为 n 阶矩阵，则下列结论正确的是_（分数：2.00）A.AB=O 的充分必要条件是 A=O 或 B=OB.ABO 的充分必要条件是 AO 且 BOC.AB=O 且 r(A)=n，则 B=OD.若 ABO，则|A|O 或|B|O30.n 阶矩阵 A 经过若干次初等变换化为矩阵 B，则_（分数：2.00）A.|A|=|B|B.|A|B|C.若|A|=0 则|B|=0D.若|A|0 则|B
6、|031.设 A 为 mn 阶矩阵，C 为 n 阶矩阵，B=AC，且 r(A)=r，r(B)=r 1 ，则_（分数：2.00）A.rr1B.rr1C.rr1D.r 与 r1 的关系依矩阵 C 的情况而定32.设 A 为 mn 阶矩阵，B 为 nm 阶矩阵，且 mn，令 r(AB)=r，则_（分数：2.00）A.rmB.r=mC.rmD.rm33.设 A 为四阶非零矩阵，且 r(A * )=1，则_（分数：2.00）A.r(A)=1B.r(A)=2C.r(A)=3D.r(A)=434.设 A，B 都是 n 阶矩阵，其中 B 是非零矩阵，且 AB=O，则_ A.r(B)=n B.r(B)n C.A
7、2-B2=(A+B)(A-B) D.|A|=0（分数：2.00）A.B.C.D.35.设 A，B 分别为 m 阶和 n 阶可逆矩阵，则 的逆矩阵为_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.36.设 （分数：2.00）A.B=P1P2AB.B=P2P1AC.B=P2AP1D.B=AP2P137.设 ，又 ， ，则_ AB=P 1 AP 2 BB=P 2 AP 1 C D （分数：2.00）A.B.C.D.三、解答题(总题数：4，分数：26.00)38.计算行列式 （分数：6.00）_39.计算 （分数：6.00）_40.证明： （分数：7.00）_设 （分数：7.00）(1).计算
8、D；（分数：3.50）_(2).求 M 31 +M 33 +M 34 （分数：3.50）_考研数学一-422 (1)答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：23，分数：46.00)1.设 （分数：2.00）解析：23 解析 按行列式的定义，f(x)的 3 次项和 2 次项都产生于(x+2)(2x+3)(3x+1)，且该项带正号，所以 x 2 项的系数为 232.设 A 为三阶矩阵，A 的第一行元素为 1，2，3，|A|的第二行元素的代数余子式分别为 a+1，a-2，a-1，则 a= 1 （分数：2.00）解析：1解析 由(a+1)+2(a-2)+3(a-1)=0
9、 得 a=13.设 A 是 m 阶矩阵，B 是 n 阶矩阵，且|A|=a，|B|=b，则 （分数：2.00）解析： mn ab 解析 将 B 的第一行元素分别与 A 的行对调 m 次，然后将 B 的第二行分别与 A 的行对调 m次，如此下去直到 B 的最后一行与 A 的行对调 m 次，则 4.设 A=( 1 ， 2 ， 3 )为三阶矩阵，且|A|=3，则| 1 +2 2 ， 2 -3 3 ， 3 +2 1 = 1 （分数：2.00）解析：-33 解析 | 1 +2 2 ， 2 -3 3 ， 3 +2 1 |=| 1 ， 2 -3 3 ， 3 +2 1 |+|2 2 ， 2 -3 3 ， 3 +
10、2 1 |=| 1 ， 2 -3 3 ， 3 |+2| 2 ，-3 3 ， 3 +2 1 |=| 1 ， 2 ， 3 |-6| 2 ， 3 ， 3 +2 1 |=| 1 ， 2 ， 3 |-6| 2 ， 3 ，2 1 |=| 1 ， 2 ， 3 |=12| 2 ， 3 ， 1 |=| 1 ， 2 ， 3 |-12| 1 ， 2 ， 3 |=-335.设三阶矩阵 A=(， 1 ， 2 )，B=(， 1 ， 2 )，其中 ， 1 ， 2 是三维列向量，且|A|=3，|B|=4，则|5A-2B|= 1 （分数：2.00）解析：63 解析 由 5A-2B=(5，5 1 ，5 2 )-(2，2 1 ，2
11、 2 )=(5-2，3 1 ，3 2 )，得 |5A-2B|=|5-2，3 1 ，3 2 |=9|5-2， 1 ， 2 |=9(5|， 1 ， 2 |-2|， 1 ， 2 |)=636.设 =(1，-1，2) T ，=(2，1，1) T ，A= T ，则 A n = 1 （分数：2.00）解析： 解析 T =3，A 2 = T T =3 T =3A，则 7. （分数：2.00）解析：O 解析 由 A 2 =2A 得 A n =2 n-1 A，A n-1 =2 n-2 A，所以 A n -2A n-1 =O8.设 （分数：2.00）解析： 解析 (A+3E) -1 (A 2 -9E)=(A+3E
12、) -1 (A+3E)(A-3E)=A-3E= 9.A 2 -B 2 =(A+B)(A-B)的充分必要条件是 1 （分数：2.00）解析：AB=BA 解析 A 2 -B 2 =(A+B)(A-B)=A 2 +BA-AB-B 2 的充分必要条件是 AB=BA10.设 A 是三阶矩阵，且|A|=4，则 （分数：2.00）解析：2解析 11.设 A 为三阶矩阵，且|A|=4，则 （分数：2.00）解析： 解析 由 A * =|A|A -1 =4A -1 得 12.设 A 为四阶矩阵，|A * |=8，则 （分数：2.00）解析：8 解析 因为 A 为四阶矩阵，且|A * |=8，所以|A * |=|
13、A| 3 =8，于是|A|=2 又 AA * =|A|E=2E，所以 A * =2A -1 ，故 13.设 A 为三阶矩阵，且|A|=3，则|(-2A) * |= 1 （分数：2.00）解析：576 解析 因为(-2A) * =(-2) 2 A * =4A * ，所以|(-2A) * |=|4A * |=4 3 |A| 2 =649=57614.设 （分数：2.00）解析： 解析 则 15.设 （分数：2.00）解析： 解析 设 ，则 ，于是 ， 而 ，故 16.设 （分数：2.00）解析： 解析 |A|=10，因为 A * =|A|A -1 ，所以 A * =10A -1 ，故 17.设 （
14、分数：2.00）解析： 解析 而 则 18.设 A 为 n 阶可逆矩阵(n2)，则(A * ) * -1 = 1(用 A * 表示) （分数：2.00）解析： 解析 由 A * =|A|A -1 得 (A * ) * =|A * |(A * ) -1 =|A| n-1 (|A|A -1 ) -1 =|A| n-2 A， 故 19.设 ，则 （分数：2.00）解析： 解析 令 A=( 1 ， 2 ， 3 )，因为|A|=2，所以 A * A=|A|E=2E， 而 A * A=(A * 1 ，A * 2 ，A * 3 )，所以 ， 于是 20.设 n 维列向量 =(a，0，0，a) T ，其中 a
15、0，又 A=E- T ， （分数：2.00）解析：-1 解析 由 且 T 0，得 21.设三阶矩阵 A，B 满足关系 A -1 BA=6A+BA，且 （分数：2.00）解析： 解析 由 A -1 BA=6A+BA，得 A -1 B=6E+B，于是(A -1 -E)B=6E， 22.设 A 是 43 阶矩阵且 r(A)=2， （分数：2.00）解析：2解析 因为|B|=100，所以 r(AB)=r(A)=223.设 （分数：2.00）解析：2解析 因为 AB=O，所以 r(A)+r(B)3，又因为 BO，所以 r(B)1，从而有 r(A)2，显然 A有两行不成比例，故 r(A)2，于是 r(A)
16、=2二、选择题(总题数：14，分数：28.00)24.设 A 是三阶矩阵，B 是四阶矩阵，且|A|=2，|B|=6，则 （分数：2.00）A.24B.-24C.48D.-48 解析：解析 25.设 A 为二阶矩阵，且 A 的每行元素之和为 4，且|E+A|=0，则|2E+A 2 |为_（分数：2.00）A.0B.54 C.-2D.-24解析：解析 因为 A 的每行元素之和为 4，所以 A 有特征值 4，又|E+A|=0，所以 A 有特征值-1，于是2E+A 2 的特征值为 18，3，于是|2E+A 2 |=54，选 B26.设 n 维行向量 （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 由
17、27.设 A，B 为 n 阶矩阵，则下列结论正确的是_（分数：2.00）A.若 A，B 可逆，则 A+B 可逆B.若 A，B 可逆，则 AB 可逆 C.若 A+B 可逆，则 A-B 可逆D.若 A+B 可逆，则 A，B 都可逆解析：解析 若 A，B 可逆，则|A|0，|B|0，又|AB|=|A|B，所以|AB|0，于是 AB 可逆，选 B28.设 A，B 为 n 阶对称矩阵，下列结论不正确的是_ A.AB 为对称矩阵 B.设 A，B 可逆，则 A-1+B-1为对称矩阵 C.A+B 为对称矩阵 D.kA 为对称矩阵（分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 由(A+B) T =A T +B
18、T =A+B，得 A+B 为对称矩阵；由(A -1 +B -1 ) T =(A -1 ) T +(B -1 ) T =A -1 +B -1 ，得 A -1 +B -1 为对称矩阵；由(kA) T =kA T =kA，得 kA 为对称矩阵，选 A29.设 A，B 皆为 n 阶矩阵，则下列结论正确的是_（分数：2.00）A.AB=O 的充分必要条件是 A=O 或 B=OB.ABO 的充分必要条件是 AO 且 BOC.AB=O 且 r(A)=n，则 B=O D.若 ABO，则|A|O 或|B|O解析：解析 取 ，显然 AB=O，故 A、B 都不对，取 A= ，显然30.n 阶矩阵 A 经过若干次初等
19、变换化为矩阵 B，则_（分数：2.00）A.|A|=|B|B.|A|B|C.若|A|=0 则|B|=0 D.若|A|0 则|B|0解析：解析 因为 A 经过若干次初等变换化为 B，所以存在初等矩阵 P 1 ，P s ，Q 1 ，Q t ，使得 B=P s P 1 AQ 1 Q t ，而 P 1 ，P s ，Q 1 ，Q t 都是可逆矩阵，所以 r(A)=r(B)，若|A|=0，即 r(A)n，则 r(B)n，即|B|=0，选 C31.设 A 为 mn 阶矩阵，C 为 n 阶矩阵，B=AC，且 r(A)=r，r(B)=r 1 ，则_（分数：2.00）A.rr1B.rr1C.rr1 D.r 与 r
20、1 的关系依矩阵 C 的情况而定解析：解析 因为 r 1 =r(B)=r(AC)r(A)=r，所以选 C32.设 A 为 mn 阶矩阵，B 为 nm 阶矩阵，且 mn，令 r(AB)=r，则_（分数：2.00）A.rmB.r=mC.rm D.rm解析：解析 显然 AB 为 m 阶矩阵，r(A)n，r(B)n，而 r(AB)minr(A)，r(B)nm，所以选 C33.设 A 为四阶非零矩阵，且 r(A * )=1，则_（分数：2.00）A.r(A)=1B.r(A)=2C.r(A)=3 D.r(A)=4解析：解析 因为 r(A * )=1，所以 r(A)=4-3=3，选 C34.设 A，B 都是
21、 n 阶矩阵，其中 B 是非零矩阵，且 AB=O，则_ A.r(B)=n B.r(B)n C.A2-B2=(A+B)(A-B) D.|A|=0（分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 因为 AB=O，所以 r(A)+r(B)n，又因为 B 是非零矩阵，所以 r(B)1，从而 r(A)n，于是|A|=0，选 D35.设 A，B 分别为 m 阶和 n 阶可逆矩阵，则 的逆矩阵为_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 A，B 都是可逆矩阵，因为 ， 所以 36.设 （分数：2.00）A.B=P1P2AB.B=P2P1AC.B=P2AP1D.B=AP2P1 解析：解析
22、 p 1 =E 12 ，P 2 =E 23 (2)，显然 A 首先将第 2 列的两倍加到第 3 列，再将第 1 及第 2 列对调，所以 B=AE 23 (2)E 12 =AP 2 P 1 ，选 D37.设 ，又 ， ，则_ AB=P 1 AP 2 BB=P 2 AP 1 C D （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 显然 ， 因为 三、解答题(总题数：4，分数：26.00)38.计算行列式 （分数：6.00）_正确答案：()解析：解 39.计算 （分数：6.00）_正确答案：()解析：解 40.证明： （分数：7.00）_正确答案：()解析：证明 设 （分数：7.00）(1).计算 D；（分数：3.50）_正确答案：()解析：解 (2).求 M 31 +M 33 +M 34 （分数：3.50）_正确答案：()解析：M 31 +M 33 +M 34 =1A 31 +0A 32 +1A 33 +(-1)A 34
