1、考研数学一-422 及答案解析(总分：150.01，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.当 x0 时，3x-4sin x+sin xcos x 与 x n 为同阶无穷小，则，n=_（分数：4.00）A.2B.3C.4D.52.有三个命题 设幂级数 条件收敛，则它的收敛半径 R=1； 设幂级数 的收敛半径分别为 R 1 ，R 2 ，则 的收敛半径 R=min(R 1 ，R 2 )； 设 a n 0，且满足 ，(n=1，2，)，则 （分数：4.00）A.0 个B.1 个C.2 个D.3 个3.设 （分数：4.00）A.x=0 是 y=f(x)的极小值点B.x=0 是
2、 y=f(x)的极大值点C.x=0 不是 y=f(x)的驻点D.存在 x=0 的一个邻域，在此邻域内 y=f(x)是单调的4.设 y=y(x)是 y“+b“+cy=0 的解，其中 b，c 为正常数，则 （分数：4.00）A.与解 y(x)的初值 y(0)，y“(0)有关，与 b，c 无关B.与解 y(x)的初值 y(0)，y“(0)及 b，c 均无关C.与解 y(x)的初值 y(0)，y“(0)及 c 无关，只与 b 有关D.与解 y(x)的初值 y(0)，y“(0)及 b 无关，只与 c 有关5.表示的曲面是_ （分数：4.00）A.椭球面B.双曲抛物面C.锥面D.椭圆柱面6.已知 （分数：
3、4.00）A.1B.2C.3D.不能确定，与 a 有关7.设随机变量 X 与 Y 相互独立，且均服从标准正态分布 N(0，1)，则_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.8.设 X 1 ，X 2 ，X n 为总体 X 的一个简单随机样本，EX=，DX= 2 ，为使 为 2 的无偏估计c 应为_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.定积分 （分数：4.00）10.过点 A(3，2，1)且平行于直线 （分数：4.00）11.设 f(x)在区间-3，0)上的表达式为 （分数：4.00）12.设 L 为曲线|x|+|y|=1，则
4、 （分数：4.00）13.已知|B|=|2-，2-，2-|=a，则|A|=|，|= 1 （分数：4.00）14.设总体 XN(， 2 )，X 1 ，X 2 ，X n 为取自 X 的简单随机样本， （分数：4.00）三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 f“(1)存在，且 ，记 （分数：10.00）_若 f(u)是连续函数，（分数：10.00）(1).证明： （分数：5.00）_(2).求 （分数：5.00）_16.设曲线 y=x 3 +3x 2 -14x+2 与直线 y=10x+2k 有三个不同的交点，问：k 必须取何值? （分数：10.00）_17. （分数：10.00）_18
5、.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 证明：在(a，b)内至少存在两点 1 ， 2 ，使 （分数：10.00）_设 A 为三阶实对称矩阵，且存在可逆矩阵 使得 （分数：11.01）(1).求 0 的值；（分数：3.67）_(2).计算(A * ) -1 ；（分数：3.67）_(3).计算行列式|A * +E|（分数：3.67）_19.设 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 为四维列向量组，A=( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )已知方程组Ax= 的通解为(-1，1，0，2) T +k(1，-1，2，0) T () 能否由 1 ， 2 ， 3 线性表示? ()求 1 ， 2 ， 3 ，
6、 4 ， 的一个极大无关组 （分数：11.00）_有两个盒子，第一个盒子装有 2 个红球，1 个黑球，第二个盒子装有 2 个红球，2 个黑球现从这两盒中各任取一球放在一起，再从中任取一球，问：（分数：11.00）(1).这个球是红球的概率；（分数：5.50）_(2).重复上述过程 10 次，记 X 表示出现取出的球为红球的次数，求 EX 2 （分数：5.50）_设总体 XN(0， 2 )，X 1 ，X 2 ，X n 为取自 X 的简单随机样本（分数：11.00）(1).求 2 的极大似然估计；（分数：5.50）_(2).求 =PX1的极大似然估计（分数：5.50）_考研数学一-422 答案解析
7、(总分：150.01，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.当 x0 时，3x-4sin x+sin xcos x 与 x n 为同阶无穷小，则，n=_（分数：4.00）A.2B.3C.4D.5 解析：解析 2.有三个命题 设幂级数 条件收敛，则它的收敛半径 R=1； 设幂级数 的收敛半径分别为 R 1 ，R 2 ，则 的收敛半径 R=min(R 1 ，R 2 )； 设 a n 0，且满足 ，(n=1，2，)，则 （分数：4.00）A.0 个B.1 个 C.2 个D.3 个解析：解析 若 R1，则当|x|R 时， 绝对收敛，因而 绝对收敛，与已知矛盾； 若 R1，
8、则当|x|R 时， 发散，这也与已知矛盾因此，R=1 正确 当 R 1 R 2 时，R=min(R 1 ，R 2 )；但当 R 1 =R 2 时，有可能 R 比 R 1 (或 R 2 )还大例如 它们的收敛半径均为 R 1 =R 2 =1，然而 其收敛半径为 R=2所以不正确 对于正项级数，由 推不出 ，因而得不出正项级数 收敛，例如调和级数 3.设 （分数：4.00）A.x=0 是 y=f(x)的极小值点B.x=0 是 y=f(x)的极大值点 C.x=0 不是 y=f(x)的驻点D.存在 x=0 的一个邻域，在此邻域内 y=f(x)是单调的解析：解析 x=arctan t，x=0，t=0；x
9、0，t0；x0，t0y=ln(1-t 2)-sin y，x=0，t=0，y=0， (y)“ t =ln(1-t 2 )-sin y“ t ， 4.设 y=y(x)是 y“+b“+cy=0 的解，其中 b，c 为正常数，则 （分数：4.00）A.与解 y(x)的初值 y(0)，y“(0)有关，与 b，c 无关B.与解 y(x)的初值 y(0)，y“(0)及 b，c 均无关 C.与解 y(x)的初值 y(0)，y“(0)及 c 无关，只与 b 有关D.与解 y(x)的初值 y(0)，y“(0)及 b 无关，只与 c 有关解析：解析 特征方程 r 2 +br+c=0，特征根为 它或为相异实根或为二重
10、实根，或为共轭复根，其实部均为负的，因而有 其中 0 为常数，因此对 y“+by“+cy=0 的任一解 y=y(x)均有 5.表示的曲面是_ （分数：4.00）A.椭球面B.双曲抛物面C.锥面D.椭圆柱面 解析：解析 由|A-E|=0， 1 = 2 =3， 3 =0 于是经正交变换，可得 6.已知 （分数：4.00）A.1B.2 C.3D.不能确定，与 a 有关解析：解析 矩阵中 7.设随机变量 X 与 Y 相互独立，且均服从标准正态分布 N(0，1)，则_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 X，Y 相互独立，均服从 N(0，1)，则 X 与 Y 的线性组合亦服从
11、正态分布，亦即 X+YN(0，2)，X-YN(0，2)， 排除 A 排除 B 又 排除 C 又 8.设 X 1 ，X 2 ，X n 为总体 X 的一个简单随机样本，EX=，DX= 2 ，为使 为 2 的无偏估计c 应为_ A B C D （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 依题意，c 应使 ，即有 选 C 亦可这样： 二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.定积分 （分数：4.00）解析： 令 10.过点 A(3，2，1)且平行于直线 （分数：4.00）解析：x-2y-5z+6=0 解析 11.设 f(x)在区间-3，0)上的表达式为 （分数：4.00）解析：2 解析 对 f
12、(x)进行奇延拓，接着进行周期延拓，则正弦级数的和函数 s(x)是以 6 为周期的奇函数 12.设 L 为曲线|x|+|y|=1，则 （分数：4.00）解析： 解析 如下图 1，L 关于 x 轴，y 轴对称，被积函数关于 x 轴，y 轴对称 还可利用变量的轮换对称法 L |x|ds= L |y|ds， 13.已知|B|=|2-，2-，2-|=a，则|A|=|，|= 1 （分数：4.00）解析：解析 14.设总体 XN(， 2 )，X 1 ，X 2 ，X n 为取自 X 的简单随机样本， （分数：4.00）解析：解析 三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 f“(1)存在，且 ，记
13、（分数：10.00）_正确答案：()解析：解 由 得 f(1)=0，f“(1)=0 又由 当 x1 时， 当 x=1 时， 又 若 f(u)是连续函数，（分数：10.00）(1).证明： （分数：5.00）_正确答案：()解析：令 x=-t， (2).求 （分数：5.00）_正确答案：()解析：16.设曲线 y=x 3 +3x 2 -14x+2 与直线 y=10x+2k 有三个不同的交点，问：k 必须取何值? （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 问题化为 k 为何值时，x 3 +3x 2 -24x+2-2k=0 有三个不相同的实根设 f(x)=x 3 +3x 2 -24x+2-2k，
14、 f“(x)=3x 2 +6x-24=3(x+4)(x-2)， 令 f“(x)=0，得驻点 x 1 =-4，x 2 =2 (-，-4) -4 (-4，2) 2 (2，+) f“(x) + 0 - 0 + f(x) 大 小 只要 f(-4)f(2)0，就有三个不同的实根，于是(-64+48+96+2-2k)(8+12-48+2-2k)0， 解得-13k41，这时曲线 y=x 3 +3x 2 -14x+2 与直线 y=10x+2k 有三个不同的交点17. （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 用 上 ， 下 ， 侧 分别表示的上底，下底和侧面(如下图) 而侧在 yoz 平面上的投影区域为
15、D yz ：-RyR；-RzR 18.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 证明：在(a，b)内至少存在两点 1 ， 2 ，使 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 欲证 即证 可得 即有 设 A 为三阶实对称矩阵，且存在可逆矩阵 使得 （分数：11.01）(1).求 0 的值；（分数：3.67）_正确答案：()解析：解 A 的特征值为：1，2，-1， |A|=12(-1)=-2 A * 的特征值为： (2).计算(A * ) -1 ；（分数：3.67）_正确答案：()解析：A 为实对称矩阵，其特征值为 1，2，-1，P=( 1 ， 2 ， 3 )中的 1 ， 2 ， 3
16、 是与之对应的特征向量，因而彼此正交，即有 1 ， 3 =0，即-2-5a+2=0，a=0， 2 ， 3 =0，即-26-5(a+1)+1=0，b=-2 又因为 A 为实对称矩阵， A * =|A|A -1 =-2A -1 ， (A * ) T =(-2A -1 ) T =-2(A T ) -1 =-2A -1 =A * A * 亦为实对称矩阵，(A * ) -1 亦为实对称矩阵，其特征值分别为 为其对应的特征向量，且有 (A * ) -1 的特征值为 (A * ) -1 的迹为 (3).计算行列式|A * +E|（分数：3.67）_正确答案：()解析：A * 的特征值为-2，-1，2A *
17、+E 的特征值为-1，0，3|A * +E|=(-1)03=019.设 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 为四维列向量组，A=( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )已知方程组Ax= 的通解为(-1，1，0，2) T +k(1，-1，2，0) T () 能否由 1 ， 2 ， 3 线性表示? ()求 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 的一个极大无关组 （分数：11.00）_正确答案：()解析：解 R(A)=R(A 有两个盒子，第一个盒子装有 2 个红球，1 个黑球，第二个盒子装有 2 个红球，2 个黑球现从这两盒中各任取一球放在一起，再从中任取一球，问：（分数：11.00）(1).这个球是红球的概率；（
18、分数：5.50）_正确答案：()解析：解 A=“取得一个红球”， B i =“第 i 盒中取出一个红球”，(i=1，2) 于是， 构成一个完备事件群 所以， (2).重复上述过程 10 次，记 X 表示出现取出的球为红球的次数，求 EX 2 （分数：5.50）_正确答案：()解析： 故 设总体 XN(0， 2 )，X 1 ，X 2 ，X n 为取自 X 的简单随机样本（分数：11.00）(1).求 2 的极大似然估计；（分数：5.50）_正确答案：()解析：解 于是 (2).求 =PX1的极大似然估计（分数：5.50）_正确答案：()解析： 由极大似然估计的性质知， 的极大似然估计 所以 的极大似然估计：
