1、考研数学一-423 (1)及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：5，分数：5.00)1. （分数：1.00）2.设 A=( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )为 4 阶方阵，且 AX=0 的通解为 X=k(1，1，2，-3) T ，则 2 由 1 ， 3 ， 4 表示的表达式为 1 （分数：1.00）3.设向量组 1 ， 2 ， 3 线性无关，且 1 +a 2 +4 3 ，2 1 + 2 - 3 ， 2 + 3 线性相关，则 a= 1 （分数：1.00）4.设 （分数：1.00）5.设 （分数：1.00）二、选择题(总题数：10，分数：10.00)6.若 1 ，
2、 2 ， 3 线性相关， 3 ， 3 ， 4 线性无关，则_（分数：1.00）A.1 可由 2，3 线性表示B.4 可由 1，2，3 线性表示C.4 可由 1，3 线性表示D.4 可由 1，2 线性表示7.设向量组 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性无关，则向量组_（分数：1.00）A.1+2，2+3，3+4，4+1 线性无关B.1-2，2-3，3-4，4-1 线性无关C.1+2，2+3，3+4，4-1 线性无关D.1+2，2+3，3-4，4-1 线性无关8.向量组 1 ， 2 ， m 线性无关的充分必要条件是 _ （分数：1.00）A.向量组 1，2，m， 线性无关B.存在一组不全为零的常数
3、k1，k2，km，使得 k11+k22+kmm0C.向量组 1，2，m 的维数大于其个数D.向量组 1，2，m 的任意一个部分向量组线性无关9.设向量组 1 ， 2 ， m 线性无关， 1 可由 1 ， 2 ， m 线性表示，但 2 不可由 1 ， 2 ， m 线性表示，则_（分数：1.00）A.1，2，m-1，1 线性相关B.1，2，m-1，1，2 线性相关C.1，2，m，1+2 线性相关D.1，2，m，1+2 线性无关10.设 n 维列向量组 1 ， 2 ， m (mn)线性无关，则 n 维列向量组 1 ， 2 ， m 线性无关的充分必要条件是_（分数：1.00）A.向量组 1，2，m 可
4、由向量组 1，2，m 线性表示B.向量组 1，2，m 可由向量组 1，2，m 线性表示C.向量组 1，2，m 与向量组 1，2，m 等价D.矩阵 A=(1，2，m)与矩阵 B=(1，2，m)等价11.设 1 ， 2 ， 3 线性无关， 1 可由 1 ， 2 ， 3 线性表示， 2 不可由 1 ， 2 ， 3 线性表示，对任意的常数 k 有_（分数：1.00）A.1，2，3，k1+2 线性无关B.1，2，3，k1+2 线性相关C.1，2，3，1+k2 线性无关D.1，2，3，1+k2 线性相关12.设 n 阶矩阵 A=( 1 ， 2 ， n )，B=( 1 ， 2 ， n )，AB=( 1 ，
5、2 ， n )，记向量组()： 1 ， 2 ， n ；()： 1 ， 2 ， n ；()： 1 ， 2 ， n ，若向量组()线性相关，则_（分数：1.00）A.()，()都线性相关B.()线性相关C.()线性相关D.()，()至少有一个线性相关13.设向量组()： 1 ， 2 ， s 的秩为 r 1 ，向量组()： 1 ， 2 ， s 的秩为r 2 ，且向量组()可由向量组()线性表示，则_（分数：1.00）A.1+1，2+2，s+s 的秩为 r1+r2B.向量组 1-1，2-2，s-s 的秩为 r1-r2C.向量组 1，2，s，1，2，s 的秩为 r1+r2D.向量组 1，2，s，1，2，
6、s 的秩为 r114.向量组 1 ， 2 ， s 线性无关的充分条件是_（分数：1.00）A.1，2，s 都不是零向量B.1，2，s 中任意两个向量不成比例C.1，2，s 中任一向量都不可由其余向量线性表示D.1，2，s 中有一个部分向量组线性无关15.设 A 为 n 阶矩阵，且|A|=0，则 A_（分数：1.00）A.必有一列元素全为零B.必有两行元素对应成比例C.必有一列是其余列向量的线性组合D.任一列都是其余列向量的线性组合三、解答题(总题数：26，分数：85.00)16.设 A，B 为 n 阶矩阵，且 A 2 =A，B 2 =B，(A+B) 2 =A+B证明：AB=O （分数：3.00
7、）_17.设 （分数：3.00）_18.设四阶矩阵 B 满足 ，且 （分数：3.00）_19.设 A，B 满足 A * BA=2BA-8E，且 （分数：3.00）_20.设 AX=A+2X，其中 （分数：3.00）_21.设 （分数：3.00）_设 n 阶矩阵 A 满足 A 2 +2A-3E=O求：（分数：3.00）(1).(A+2E) -1 ；（分数：1.50）_(2).(A+4E) -1 （分数：1.50）_22.设 A 为 n 阶矩阵，且 A k =O，求(E-A) -1 （分数：3.00）_设 A，B 为 n 阶矩阵， （分数：3.00）(1).求 PQ；（分数：1.50）_(2).证
8、明：当 P 可逆时，Q 也可逆（分数：1.50）_23.设 A 为 n 阶可逆矩阵，A 2 =|A|E证明：A=A * （分数：3.00）_24.设 A 为 n 阶矩阵，且 A 2 -2A-8E=O证明：r(4E-A)+r(2E+A)=n （分数：3.00）_25.证明：若矩阵 A 可逆，则其逆矩阵必然唯一 （分数：3.00）_26.设 A 是 mn 阶矩阵，若 A T A=O，证明：A=O （分数：3.00）_27.设向量组 1 ， 2 ， 3 线性无关，证明： 1 + 2 + 3 ， 1 +2 2 +3 3 ， 1 +4 2 +9 3 线性无关 （分数：3.00）_28.设 1 ， m ，
9、 为 m+1 维向量，= 1 + m (m1)证明：若 1 ， m 线性无关，则 - 1 ，- m 线性无关 （分数：3.00）_29.设 1 ， 2 ， n (n2)线性无关，证明：当且仅当 n 为奇数时， 1 + 2 ， 2 + 3 ， n + 1 线性无关 （分数：3.00）_30.设 A 为 n 阶矩阵， 1 ， 2 ， 3 为 n 维列向量，其中 1 0，且 A 1 = 1 ，A 2 = 1 + 2 ，A 3 = 2 + 3 ，证明： 1 ， 2 ， 3 线性无关 （分数：3.00）_31.证明：若一个向量组中有一个部分向量组线性相关，则该向量组一定线性相关 （分数：3.00）_32
10、.n 维列向量组 1 ， n-1 线性无关，且与非零向量 正交证明： 1 ， n-1 ， 线性无关 （分数：3.00）_33.设向量组 1 ， n 为两两正交的非零向量组，证明： 1 ， n 线性无关，举例说明逆命题不成立 （分数：4.00）_34.设 A 为 nm 矩阵，B 为 mn 矩阵(mn)，且 AB=E证明：B 的列向量组线性无关 （分数：4.00）_35.设 1 ， 2 ， m ， 1 ， 2 ， n 线性无关，而向量组 1 ， 2 ， m ， 线性相关证明：向量 可由向量组 1 ， 2 ， m ， 1 ， 2 ， n 线性表示 （分数：4.00）_36.设向量组 （分数：4.00
11、）_37.设 1 ， 2 ， n 为 n 个线性无关的 n 维向量，且与向量 正交证明：向量 为零向量 （分数：4.00）_38.设三维向量空间的两组基 ，向量 在基 1 ， 2 ， 3 下的坐标为 （分数：4.00）_39.设三维向量空间 R 3 中的向量 在基 1 =(1，-2，1) T ， 2 =(0，1，1) T ， 3 =(3，2，1) T 下的坐标为(x 1 ，x 2 ，x 3 ) T ，在基 1 ， 2 ， 3 下的坐标为(y 1 ，y 2 ，y 3 ) T ，且 y 1 =x 1 -x 2 -x 3 ，y 2 =-x 1 +x 2 ，y 3 x 1 +2x 3 ，求从基 1 ，
12、 2 ， 3 到基 1 ， 2 ， 3 的过渡矩阵 （分数：4.00）_考研数学一-423 (1)答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：5，分数：5.00)1. （分数：1.00）解析： 解析 ，因为 ，所以 ，于是 2.设 A=( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )为 4 阶方阵，且 AX=0 的通解为 X=k(1，1，2，-3) T ，则 2 由 1 ， 3 ， 4 表示的表达式为 1 （分数：1.00）解析： 2 =- 1 -2 2 +3 4 解析 因为(1，1，2，-3) T 为 AX=0 的解， 所以 1 + 2 +2 3 -3 4 =0，故 2 =-
13、1 -2 2 +3 4 3.设向量组 1 ， 2 ， 3 线性无关，且 1 +a 2 +4 3 ，2 1 + 2 - 3 ， 2 + 3 线性相关，则 a= 1 （分数：1.00）解析：5 解析 ， 因为 1 ， 2 ， 3 线性无关，而 1 +a 2 +4 3 ，2 1 + 2 - 3 ， 2 + 3 线性相关，所以 4.设 （分数：1.00）解析：-4 -13解析 因为 ， 正交，所以5.设 （分数：1.00）解析： 解析 令过渡矩阵为 Q，则(e 1 ，e 2 ，e 3 )=( 1 ， 2 ， 3 )Q， Q=( 1 ， 2 ， 3 ) -1 (e 1 ，e 2 ，e 3 ) 由 得过渡
14、矩阵为 二、选择题(总题数：10，分数：10.00)6.若 1 ， 2 ， 3 线性相关， 3 ， 3 ， 4 线性无关，则_（分数：1.00）A.1 可由 2，3 线性表示 B.4 可由 1，2，3 线性表示C.4 可由 1，3 线性表示D.4 可由 1，2 线性表示解析：解析 因为 2 ， 3 ， 4 线性无关，所以 2 ， 3 线性无关，又因为 1 ， 2 ， 3 线性相关，所以 1 可由 2 ， 3 线性表示，选 A7.设向量组 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性无关，则向量组_（分数：1.00）A.1+2，2+3，3+4，4+1 线性无关B.1-2，2-3，3-4，4-1 线性无关C.
15、1+2，2+3，3+4，4-1 线性无关 D.1+2，2+3，3-4，4-1 线性无关解析：解析 因为-( 1 + 2 )+( 2 + 3 )-( 3 + 4 )+( 4 + 1 )=0， 所以 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 + 4 ， 4 + 1 线性相关； 因为( 1 - 2 )+( 2 - 3 )+( 3 - 4 )+( 4 - 1 )=0， 所以 1 - 2 ， 2 - 3 ， 3 - 4 ， 4 - 1 线性相关； 因为( 1 + 2 )-( 2 + 3 )+( 3 - 4 )+( 4 - 1 )=0， 所以 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 - 4 ， 4 - 1 线性相关
16、，容易通过证明向量组线性无关的定义法得 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 + 4 ， 4 - 1 线性无关，选 C8.向量组 1 ， 2 ， m 线性无关的充分必要条件是 _ （分数：1.00）A.向量组 1，2，m， 线性无关B.存在一组不全为零的常数 k1，k2，km，使得 k11+k22+kmm0C.向量组 1，2，m 的维数大于其个数D.向量组 1，2，m 的任意一个部分向量组线性无关 解析：解析 A 不对，因为 1 ， 2 ， m ， 线性无关可以保证 1 ， 2 ， m 线性无关，但 1 ， 2 ， m 线性无关不能保证 1 ， 2 ， m ， 线性无关； B 不对，因为 1 ，
17、 2 ， m 线性无关可以保证对任意一组非零常数 k 1 ，k 2 ，k m ，有k 1 1 +k 2 2 +k m m 0，但存在一组不全为零的常数 k 1 ，k 2 ，k m 使得 k 1 1 +k 2 2 +k m m 0 不能保证 1 ， 2 ， m 线性无关； C 不对，向量组 1 ， 2 ， m 线性无关不能得到其维数大于其个数，如 1 = ， 2 = 9.设向量组 1 ， 2 ， m 线性无关， 1 可由 1 ， 2 ， m 线性表示，但 2 不可由 1 ， 2 ， m 线性表示，则_（分数：1.00）A.1，2，m-1，1 线性相关B.1，2，m-1，1，2 线性相关C.1，2
18、，m，1+2 线性相关D.1，2，m，1+2 线性无关 解析：解析 A 不对，因为 1 可由向量组 1 ， 2 ， m 线性表示，但不一定能被 1 ， 2 ， m-1 线性表示，所以 1 ， 2 ， m-1 ， 1 不一定线性相关； B 不对，因为 1 ， 2 ， m-1 ， 1 不一定线性相关， 2 不一定可由 1 ， 2 ， m-1 ， 1 线性表示，所以 1 ， 2 ， m-1 ， 1 ， 2 不一定线性相关； C 不对，因为 2 不可由 1 ， 2 ， m 线性表示，而 1 可由 1 ， 2 ， m 线性表示，所以 1 + 2 不可由 1 ， 2 ， m 线性表示，于是 1 ， 2 ，
19、 m ， 1 + 2 线性无关，选 D10.设 n 维列向量组 1 ， 2 ， m (mn)线性无关，则 n 维列向量组 1 ， 2 ， m 线性无关的充分必要条件是_（分数：1.00）A.向量组 1，2，m 可由向量组 1，2，m 线性表示B.向量组 1，2，m 可由向量组 1，2，m 线性表示C.向量组 1，2，m 与向量组 1，2，m 等价D.矩阵 A=(1，2，m)与矩阵 B=(1，2，m)等价 解析：解析 因为 1 ， 2 ， m 线性无关，所以向量组 1 ， 2 ， m 的秩为 m，向量组 1 ， 2 ， m 线性无关的充分必要条件是其秩为 m，所以选 D11.设 1 ， 2 ，
20、3 线性无关， 1 可由 1 ， 2 ， 3 线性表示， 2 不可由 1 ， 2 ， 3 线性表示，对任意的常数 k 有_（分数：1.00）A.1，2，3，k1+2 线性无关 B.1，2，3，k1+2 线性相关C.1，2，3，1+k2 线性无关D.1，2，3，1+k2 线性相关解析：解析 因为 1 可由 1 ， 2 ， 3 线性表示， 2 不可由 1 ， 2 ， 3 线性表示，所以 k 1 + 2 一定不可以由向量组 1 ， 2 ， 3 线性表示，所以 1 ， 2 ， 3 ，k 1 + 2 线性无关，选 A12.设 n 阶矩阵 A=( 1 ， 2 ， n )，B=( 1 ， 2 ， n )，A
21、B=( 1 ， 2 ， n )，记向量组()： 1 ， 2 ， n ；()： 1 ， 2 ， n ；()： 1 ， 2 ， n ，若向量组()线性相关，则_（分数：1.00）A.()，()都线性相关B.()线性相关C.()线性相关D.()，()至少有一个线性相关 解析：解析 若 1 ， 2 ， n 线性无关， 1 ， 2 ， n 线性无关，则 r(A)=n，r(B)=n，于是 r(AB)=n因为 1 ， 2 ， n 线性相关，所以 r(AB)=r( 1 ， 2 ， n )n，故 1 ， 2 ， n 与 1 ， 2 ， n 至少有一个线性相关，选 D13.设向量组()： 1 ， 2 ， s 的秩
22、为 r 1 ，向量组()： 1 ， 2 ， s 的秩为r 2 ，且向量组()可由向量组()线性表示，则_（分数：1.00）A.1+1，2+2，s+s 的秩为 r1+r2B.向量组 1-1，2-2，s-s 的秩为 r1-r2C.向量组 1，2，s，1，2，s 的秩为 r1+r2D.向量组 1，2，s，1，2，s 的秩为 r1 解析：解析 因为向量组 1 ， 2 ， s 可由向量组 1 ， 2 ， s 线性表示，所以向量组 1 ， 2 ， s 与向量组 1 ， 2 ， s ， 1 ， 2 ， s 等价，选D14.向量组 1 ， 2 ， s 线性无关的充分条件是_（分数：1.00）A.1，2，s 都
23、不是零向量B.1，2，s 中任意两个向量不成比例C.1，2，s 中任一向量都不可由其余向量线性表示 D.1，2，s 中有一个部分向量组线性无关解析：解析 若向量组 1 ， 2 ， s 线性无关，则其中任一向量都不可由其余向量线性表示，反之，若 1 ， 2 ， s 中任一向量都不可由其余向量线性表示，则 1 ， 2 ， s 一定线性无关，因为若 1 ， 2 ， s 线性相关，则其中至少有一个向量可由其余向量线性表示，故选 C15.设 A 为 n 阶矩阵，且|A|=0，则 A_（分数：1.00）A.必有一列元素全为零B.必有两行元素对应成比例C.必有一列是其余列向量的线性组合 D.任一列都是其余列
24、向量的线性组合解析：解析 因|A|=0，所以 r(A)n，从而 A 的 n 个列向量线性相关，于是其列向量中至少有一个向量可由其余向量线性表示，选 C三、解答题(总题数：26，分数：85.00)16.设 A，B 为 n 阶矩阵，且 A 2 =A，B 2 =B，(A+B) 2 =A+B证明：AB=O （分数：3.00）_正确答案：()解析：证明 由 A 2 =A，B 2 =B 及(A+B) 2 =A+B=A 2 +B 2 +AB+BA 得 AB+BA=O 或 AB=-BA，AB=-BA 两边左乘 A 得 AB=-ABA，再在 AB=-BA 两边右乘 A 得 ABA=-BA，则 AB=BA，于是
25、AB=O17.设 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 由 AX=|A|E=A * +X 得 (A-E)X=A * -|A|E=A * -AA * =(E-A)A * ， 因为|E-A|=-30，所以 E-A 可逆，于是 X=-A * ， 由|A|=6 得 X=-6A -1 ， 由 得 ，于是 18.设四阶矩阵 B 满足 ，且 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 19.设 A，B 满足 A * BA=2BA-8E，且 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 由 A * BA=2BA-8E 得 AA * BA=2ABA-8A， 即-2BA=2ABA-8A，整理得(A+E)B=4
26、E，所以 20.设 AX=A+2X，其中 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 由 AX=A+2X 得(A-2E)X=A，其中 ， 因为|A-2E|=-10，所以 X=(A-2E) -1 A， 由 得 21.设 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 令 则 ，从而 设 n 阶矩阵 A 满足 A 2 +2A-3E=O求：（分数：3.00）(1).(A+2E) -1 ；（分数：1.50）_正确答案：()解析：解 由 A 2 +2A-3E=O 得 A(A+2E)=3E， ，根据逆矩阵的定义，有 (2).(A+4E) -1 （分数：1.50）_正确答案：()解析：解 由 A 2 +2A-3
27、E=O 得(A+4E)(A-2E)+5E=O，则 22.设 A 为 n 阶矩阵，且 A k =O，求(E-A) -1 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 E k -A k =(E-A)(E+A+A 2 +A k-1 )，又 E k -A k =E， 所以(E-A) -1 =E+A+A 2 +A k-1 设 A，B 为 n 阶矩阵， （分数：3.00）(1).求 PQ；（分数：1.50）_正确答案：()解析：解 (2).证明：当 P 可逆时，Q 也可逆（分数：1.50）_正确答案：()解析：证明 因为|P|=|A|B|，所以当 P 可逆时，|A|B|0，而 PQ=|A|B|E，即 ，于是
28、 Q 可逆且23.设 A 为 n 阶可逆矩阵，A 2 =|A|E证明：A=A * （分数：3.00）_正确答案：()解析：证明 因为 AA * =|A|E，又已知 A 2 =|A|E，所以 AA * =A 2 ，而 A 可逆，故 A=A * 24.设 A 为 n 阶矩阵，且 A 2 -2A-8E=O证明：r(4E-A)+r(2E+A)=n （分数：3.00）_正确答案：()解析：证明 由 A 2 -2A-8E=O 得(4E-A)(2E+A)=O，根据矩阵秩的性质得 r(4E-A)+r(2E+A)n又 r(4E-A)+r(2E+A)r(4E-A)+(2E+A)=r(6E)=n，所以有 r(4E-
29、A)+r(2E+A)=n25.证明：若矩阵 A 可逆，则其逆矩阵必然唯一 （分数：3.00）_正确答案：()解析：证明 设存在可逆阵 B，C，使得 AB=AC=E，于是 A(B-C)=O，故 r(A)+r(B-C)n，因为 A 可逆，所以 r(A)=n，从而 r(B-C)=0，B-C=O，于是 B=C，即 A 的逆矩阵是唯一的26.设 A 是 mn 阶矩阵，若 A T A=O，证明：A=O （分数：3.00）_正确答案：()解析：证明 因为 r(A)=r(A T A)，而 A T A=O，所以 r(A)=0，于是 A=O27.设向量组 1 ， 2 ， 3 线性无关，证明： 1 + 2 + 3
30、， 1 +2 2 +3 3 ， 1 +4 2 +9 3 线性无关 （分数：3.00）_正确答案：()解析：证明 方法一 令 k 1 ( 1 + 2 + 3 )+k 2 ( 1 +2 2 +3 3 )+k 3 ( 1 +4 2 +9 3 )=0，即 (k 1 +k 2 +k 3 ) 1 +(k 1 +2k 2 +4k 3 ) 2 +(k 1 +3k 2 +9k 3 ) 3 =0， 因为 1 ， 2 ， 3 线性无关，所以有 而 ，由克拉默法则得 k 1 =k 2 =k 3 =0， 所以 1 + 2 + 3 ， 1 +2 2 +3 3 ， 1 +4 2 +9 3 线性无关 方法二 令 A=( 1
31、， 2 ， 3 )，B=( 1 + 2 + 3 ， 1 +2 2 +3 3 ， 1 +4 2 +9 3 )， 则 因为 28.设 1 ， m ， 为 m+1 维向量，= 1 + m (m1)证明：若 1 ， m 线性无关，则 - 1 ，- m 线性无关 （分数：3.00）_正确答案：()解析：证明 令 k 1 (- 1 )+k m (- m )=0，即 k 1 ( 2 + 3 + m )+k m ( 2 + 3 + m-1 )=0 或 (k 2 +k 3 +k m ) 1 +(k 1 +k 3 +k m ) 2 +(k 1 +k 2 +k m-1 ) m =0， 因为 1 ， m 线性无关，所以 因为 29.设 1 ， 2 ， n (n2)线性无关，证明：当且仅当 n 为奇数时， 1 + 2
