1、考研数学一-423 及答案解析(总分：150.02，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.若 （分数：4.00）A.a=1，b=1B.a=2，b 为任意实数C.a=2，b=-2D.a为任意实数，b=22.设 ，则在-1，1上，f(x)的最小值 m与最大值 M为_ A B Cm=-1，M=1 D （分数：4.00）A.B.C.D.3.二元函数 z=f(x，y)=x 2 y(4-x-y)在直线 x+y=6，x 轴和 y轴所围成的闭区域 D上的最大值 M与最小值m为_（分数：4.00）A.M=4，m=-64B.M=64，m=-4C.M=64，m=4D.M=-4，m=-6
2、44.设 a 0 ，a 1 ，是公差为 2的等差数列，则级数 _ A3(a 0 +1) B C （分数：4.00）A.B.C.D.5.设 1 ， 2 ， 3 ， 均为 3维列向量，则下列命题正确的是_ 若 不能由 1 ， 2 ， 3 线性表示，则 1 ， 2 ， 3 必线性相关 若 不能由 1 ， 2 ， 3 线性表示，则 1 ， 2 ， 3 必线性无关 若 1 ， 2 ， 3 线性相关，则 不可由 1 ， 2 ， 3 线性表示 若 1 ， 2 ， 3 线性无关，则 必可由 1 ， 2 ， 3 线性表示（分数：4.00）A.B.C.D.6.设 A，B 均为 n阶矩阵，且 R(A)+R(B)n，
3、则 A与 B_（分数：4.00）A.必有相同的非零特征值B.必有全部相同的特征值C.均有零特征值，但没有公共特征向量D.均有零特征值，且有公共特征向量7.设随机变量 X的概率密度为 且 Y=aX+bN(0，1)，则在下列各组数中应取_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.8.设 X 1 ，X 2 ，X n 是来自总体 XN(， 2 )的简单随机样本， 是样本均值，则下列随机变量中服从 t分布的是_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）10. （分数：4.00）11.(y 2 -2x)dy-ydx=0的
4、通解是 1 （分数：4.00）12.设曲线 （分数：4.00）13.已知三阶方阵 A，B 满足关系式 E+B=AB，A 的三个特征值分别为 3，-3，0，则|B -1 +2E|= 1 （分数：4.00）14.设随机变量 （分数：4.00）三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.已知 且 f(0)=g(0)=0，试求 （分数：10.00）_16.将函数 展开成 x的幂级数，并求 （分数：10.00）_17.计算曲面积分 ，其中是曲线 （分数：10.00）_18.设函数 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，其中 a0 且 f(a)=0，试证明：在(a，b)内必存在一点 ，使 （分数
5、：10.00）_19.求曲面 4z=3x 2 +3y 2 -2xy上的点到平面 x-y-z=1的最短距离 （分数：10.00）_已知向量 =(a 1 ，a 2 ，a n ) T ，a 1 0，A= T （分数：11.01）(1).求方程组 Ax=0的通解（分数：3.67）_(2).求 A的非零特征值与对应的特征向量（分数：3.67）_(3).求可逆矩阵 P，使 P -1 AP为对角矩阵，并写出该对角矩阵（分数：3.67）_20.设 A=(a ij ) mn ，R(A)=mn，设向量组 b i =(b i1 ，b i2 ，b in ) T (i=1，2，n-m)为方程组 Ax=0的一个基础解系，
6、试求出方程组 （分数：11.00）_21.假设 X 1 ，X 2 ，X 3 ，X 4 相互独立且同分布PX i =0=0.6，PX i =1=0.4(i=1，2，3，4)， 求行列式 （分数：11.00）_设随机变量 X的概率密度为 其中 A，B 为大于零的常数，且已知 （分数：11.01）(1).A，B 的值；（分数：3.67）_(2).随机变量 X的分布函数 F(x) （分数：3.67）_(3).数学期望 E(X)（分数：3.67）_考研数学一-423 答案解析(总分：150.02，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.若 （分数：4.00）A.a=1，b=1
7、B.a=2，b 为任意实数 C.a=2，b=-2D.a为任意实数，b=2解析：解析 做多项式的除法! 2.设 ，则在-1，1上，f(x)的最小值 m与最大值 M为_ A B Cm=-1，M=1 D （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 当-1x0 时， 令 f“(x)=0，得驻点 (唯一的驻点) 比较 3.二元函数 z=f(x，y)=x 2 y(4-x-y)在直线 x+y=6，x 轴和 y轴所围成的闭区域 D上的最大值 M与最小值m为_（分数：4.00）A.M=4，m=-64 B.M=64，m=-4C.M=64，m=4D.M=-4，m=-64解析：解析 第一步：找驻点 4.设 a 0
8、 ，a 1 ，是公差为 2的等差数列，则级数 _ A3(a 0 +1) B C （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 由 a n =a 0 +2n， 5.设 1 ， 2 ， 3 ， 均为 3维列向量，则下列命题正确的是_ 若 不能由 1 ， 2 ， 3 线性表示，则 1 ， 2 ， 3 必线性相关 若 不能由 1 ， 2 ， 3 线性表示，则 1 ， 2 ， 3 必线性无关 若 1 ， 2 ， 3 线性相关，则 不可由 1 ， 2 ， 3 线性表示 若 1 ， 2 ， 3 线性无关，则 必可由 1 ， 2 ， 3 线性表示（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 本题极为重要，
9、涉及如下命题： 命题 1 n+1个 n维向量 1 ， 2 ， n ， n+1 线性相关 命题 2 1 ， 2 ， m 线性无关， 1 ， 2 ， m ， 线性相关，则 可由 1 ， 2 ， m 线性表示，且表示式唯一 (由于涉及线性无关，线性相关，线性表示，命题 2被叶老师戏称为三线定理) 再回到本题由于 1 ， 2 ， m ， 是 4个 3维列向量，由命题 1， 1 ， 2 ， 3 ， 线性相关，倘若 1 ， 2 ， 3 线性无关，于是由命题 2， 可由 1 ， 2 ， 3 线性表示 正确，其逆否命题就是，正确选 C 另外，若取 当然不能由 1 ， 2 ， 3 线性表示，然而 1 ， 2 ，
10、 3 线性相关，排除 若取 6.设 A，B 均为 n阶矩阵，且 R(A)+R(B)n，则 A与 B_（分数：4.00）A.必有相同的非零特征值B.必有全部相同的特征值C.均有零特征值，但没有公共特征向量D.均有零特征值，且有公共特征向量 解析：解析 R(A)+R(B)n， R(A)n，R(B)n A，B 均有零特征值 又 7.设随机变量 X的概率密度为 且 Y=aX+bN(0，1)，则在下列各组数中应取_ A B C D （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 由 f(x)知，XN(-2，2)，EX=-2，DX=2 要 Y=aX+bN(0，1)，于是 EY=0，DY=1 EY=E(aX
11、+b)=aEX+b=-2a+b=0， DY=D(aX+b)=a 2 DX=2a 2 =1， 8.设 X 1 ，X 2 ，X n 是来自总体 XN(， 2 )的简单随机样本， 是样本均值，则下列随机变量中服从 t分布的是_ A B C D （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 A不正确 又 不服从 N(0，1)，排除 B 又 上式服从 t(n-1)分布选 C 又 分子中的 与分母根号中的 二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）解析：e -1 解析 10. （分数：4.00）解析：解析 11.(y 2 -2x)dy-ydx=0的通解是 1 （分数：4.00）解
12、析： 解析 原方程即为 (一阶线性微分方程) 第一步，先解 (可分离) ln x=-2ln y+ln C， (齐通) 第二步，常数变易法 令 即 12.设曲线 （分数：4.00）解析： 解析 积分曲线 L关于 x，y，z 有轮换对称性，因此， 13.已知三阶方阵 A，B 满足关系式 E+B=AB，A 的三个特征值分别为 3，-3，0，则|B -1 +2E|= 1 （分数：4.00）解析：-8 解析 由 E+B=AB得 E=(A-E)B，因而 A-E可逆，B 可逆 再由 E+B=AB，得 B -1 +E=A，于是 B -1 +2E=A+E，A 的特征值为 3，-3，0，A+E 的特征值为 4，-
13、2，1，亦即 B -1 +2E的特征值为 4，-2，1， |B -1 +2E|=4(-2)1=-814.设随机变量 （分数：4.00）解析： 解析 而 XY的可能取值为 0，1，所以 X，Y 的联合分布律为： 三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.已知 且 f(0)=g(0)=0，试求 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 由 f(0)=0，得 ； 同理，得 g(x)=ln(1+x) 于是 而 x0 时， 16.将函数 展开成 x的幂级数，并求 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 17.计算曲面积分 ，其中是曲线 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 如下图
14、，：z=1-x 2 -y 2 (z0)， 1 =z=0(x 2 +y 2 1)，下侧 而 18.设函数 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，其中 a0 且 f(a)=0，试证明：在(a，b)内必存在一点 ，使 （分数：10.00）_正确答案：()解析：证 分析 欲证 即证 令 =x，得 证 令 F(x)=(b-x) a f(x)， F(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 F(a)=F(b)=0 由罗尔定理，在(a，b)内至少存在一点 ，使得 F“()=0，即有 (b-)af“()-a(b-) a-1 f()=0， 即有 19.求曲面 4z=3x 2 +3y 2 -2xy上的点到
15、平面 x-y-z=1的最短距离 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 曲面上的点设为(x，y，z)，它到平面 x-y-z=1的距离为 在约束条件 3x 2 +3y 2 -2xy-4z=0下求 d 2 的最小值，为此令 解得 此点到平面 x-y-z=1的距离最小 已知向量 =(a 1 ，a 2 ，a n ) T ，a 1 0，A= T （分数：11.01）(1).求方程组 Ax=0的通解（分数：3.67）_正确答案：()解析：解 1R(A)=R( T )R()=1，R(A)=1 Ax=0等价于 a 1 x 1 +a 2 x 2 +a n x n =0，(a 1 0) (2).求 A的非零
16、特征值与对应的特征向量（分数：3.67）_正确答案：()解析：A= T 为实对称矩阵，R(A)=1，故 A有 n-R(A)=n-1个特征值为 0，记作 1 = 2 = n-1 =0，其特征向量为 1 ， 2 ， n-1 又 1 + 2 + n =迹， (3).求可逆矩阵 P，使 P -1 AP为对角矩阵，并写出该对角矩阵（分数：3.67）_正确答案：()解析：取 且有 说明：当 20.设 A=(a ij ) mn ，R(A)=mn，设向量组 b i =(b i1 ，b i2 ，b in ) T (i=1，2，n-m)为方程组 Ax=0的一个基础解系，试求出方程组 （分数：11.00）_正确答案
17、：()解析：解记 B=(b 1 ，b 2 ，b n-m )，则由题意 AB=0，R(A)=m，R(B)=n-m由此得 B T A T =0，这表明 A T 的 m个向量，即 A的 m个行向量的转置向量为方程组 B T y=0的解向量，即方程组 (i=1，2，n-m)的解向量 又因 R(B T )=R(B)=n-m于是 B T y=0有且仅有 n-(n-m)=m个线性无关的解向量，即 1 =(a 11 ，a 12 ，a 1n ) T ， 2 =(a 21 ，a 22 ，a 2n ) T ， m =(a m1 ，a m2 ，a mn ) T 为方程组 21.假设 X 1 ，X 2 ，X 3 ，X
18、4 相互独立且同分布PX i =0=0.6，PX i =1=0.4(i=1，2，3，4)， 求行列式 （分数：11.00）_正确答案：()解析：解 由于 X 1 ，X 2 ，X 3 ，X 4 相互独立，所以(X 1 ，X 4 )与(X 2 ，X 3 )相互独立，所以 X 1 X 4 的连续函数 Y 1 =X 1 X 4 与 X 2 X 3 的连续函数 Y 2 =X 2 X 3 独立， 于是 设随机变量 X的概率密度为 其中 A，B 为大于零的常数，且已知 （分数：11.01）(1).A，B 的值；（分数：3.67）_正确答案：()解析：解 而已知 而 (2).随机变量 X的分布函数 F(x) （分数：3.67）_正确答案：()解析：当 x1 时， 当 1x3 时， 当 x3 时，F(x)=1 故 (3).数学期望 E(X)（分数：3.67）_正确答案：()解析：
