1、考研数学一-425 (1)及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：5，分数：5.00)1.设 ， 为三维非零列向量，(，)=3，A= T ，则 A 的特征值为 1 （分数：1.00）2.二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=(x 1 -2x 2 ) 2 +4x 2 x 3 的矩阵为 1 （分数：1.00）3.设 （分数：1.00）4.设二次型 （分数：1.00）5.设 （分数：1.00）二、选择题(总题数：9，分数：9.00)6.设 A， B 为 n 阶可逆矩阵，则_ A存在可逆矩阵 P 1 ，P 2 ，使得 为对角矩阵 B存在正交矩阵 Q 1 ，Q 2
2、 ，使得 （分数：1.00）A.B.C.D.7.n 阶实对称矩阵 A 正定的充分必要条件是_ A.A 无负特征值 B.A 是满秩矩阵 C.A 的每个特征值都是单值 D.A*是正定矩阵（分数：1.00）A.B.C.D.8.下列说法正确的是_（分数：1.00）A.任一个二次型的标准形是唯一的B.若两个二次型的标准形相同，则两个二次型对应的矩阵的特征值相同C.若一个二次型的标准形系数中没有负数，则该二次型为正定二次型D.二次型的标准形不唯一，但规范形是唯一的9.设 A 为可逆的实对称矩阵，则二次型 X T AX 与 X T A -1 X_（分数：1.00）A.规范形与标准形都不一定相同B.规范形相同
3、但标准形不一定相同C.标准形相同但规范形不一定相同D.规范形和标准形都相同10.设 n 阶矩阵 A 与对角矩阵合同，则 A 是_（分数：1.00）A.可逆矩阵B.实对称矩阵C.正定矩阵D.正交矩阵11.设 A，B 都是 n 阶矩阵，且存在可逆矩阵 P，使得 AP=B，则_（分数：1.00）A.A，B 合同B.A，B 相似C.方程组 AX=0 与 BX=0 同解D.r(A)=r(B)12.设 A，B 为 n 阶实对称矩阵，则 A 与 B 合同的充分必要条件是_（分数：1.00）A.r(A)=r(B)B.|A|=|B|C.ABD.A，B 与同一个实对称矩阵合同13.设 （分数：1.00）A.相似且
4、合同B.相似不合同C.合同不相似D.不合同也不相似14.设 A，B 为三阶矩阵，且特征值均为-2，1，1，以下命题： (1)AB；(2)A，B 合同；(3)A，B 等价；(4)|A|=|B|中正确的命题个数为_（分数：1.00）A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个三、解答题(总题数：33，分数：86.00)15.设 A T A=E，证明：A 的实特征值的绝对值为 1 （分数：3.00）_设 0 为 A 的特征值（分数：3.00）(1).证明：A T 与 A 特征值相等；（分数：1.00）_(2).求 A 2 ，A 2 +2A+3E 的特征值；（分数：1.00）_(3).若|A|0，求 A
5、-1 ，A * ，E-A -1 的特征值（分数：1.00）_16.设 X 1 ，X 2 分别为 A 的属于不同特征值 1 ， 2 的特征向量证明：X 1 +X 2 不是 A 的特征向量 （分数：3.00）_17. （分数：3.00）_设向量 =(a 1 ，a 2 ，a n ) T ，其中 a 1 0，A= T （分数：3.00）(1).求方程组 AX=0 的通解；（分数：1.50）_(2).求 A 的非零特征值及其对应的线性无关的特征向量（分数：1.50）_18.设 （分数：3.00）_19.设 A 为三阶矩阵，A 的特征值为 1 =1， 2 =2， 3 =3，其对应的线性无关的特征向量分别为
6、 （分数：3.00）_20.设 A 是 n 阶矩阵， 是 A 的特征值，其对应的特征向量为 X，证明： 2 是 A 2 的特征值，X 为特征向量若 A 2 有特征值 ，其对应的特征向量为 X，X 是否一定为 A 的特征向量?说明理由 （分数：3.00）_设 A，B 为 n 阶矩阵（分数：3.00）(1).是否有 ABBA；（分数：1.50）_(2).若 A 有特征值 1，2，n，证明：ABBA（分数：1.50）_设 为 n 维非零列向量， （分数：3.00）(1).证明：A 可逆并求 A -1 ；（分数：1.50）_(2).证明： 为矩阵 A 的特征向量（分数：1.50）_设矩阵 （分数：3.
7、00）(1).求 y；（分数：1.50）_(2).求可逆矩阵 P，使得(AP) T (AP)为对角矩阵（分数：1.50）_设 A 是三阶实对称矩阵，r(A)=1，A 2 -3A=O，设(1，1，-1) T 为 A 的非零特征值对应的特征向量（分数：3.00）(1).求 A 的特征值；（分数：1.50）_(2).求矩阵 A（分数：1.50）_21.设三阶实对称矩阵 A 的特征值为 1 =8， 2 = 3 =2，矩阵 A 的属于特征值 1 =8 的特征向量为 ，属于特征值 2 = 3 =2 的特征向量为 （分数：3.00）_22.设 n 阶矩阵 A 满足(aE-A)(bE-A)=O 且 ab证明：
8、A 可对角化 （分数：3.00）_23.设非零 n 维列向量 ， 正交且 A= T 证明：A 不可以相似对角化 （分数：3.00）_设 （分数：3.00）(1).证明 A 可对角化；（分数：1.50）_(2).求 A m （分数：1.50）_24.设 （分数：3.00）_25.设 A 为 n 阶非零矩阵，且存在自然数 k，使得 A k =O证明：A 不可以对角化 （分数：3.00）_26.设 A 为三阶矩阵，A i =i i (i=1，2，3)， （分数：3.00）_27.设 （分数：3.00）_28.设 （分数：2.00）_设 AB， （分数：2.00）(1).求 a，b；（分数：1.00）
9、_(2).求可逆矩阵 P，使得 P -1 AP=B（分数：1.00）_设 （分数：2.00）(1).求 a；（分数：1.00）_(2).求可逆矩阵 P，使 P -1 AP=B（分数：1.00）_29.用配方法化下列二次型为标准形： （分数：2.00）_30.用配方法化下列二次型为标准形： f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=2x 1 x 2 +2x 1 x 3 +6x 2 x 3 （分数：2.00）_设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=X T AX，A 的主对角线上元素之和为 3，又 AB+B=O，其中 （分数：2.00）(1).求正交变换 X=QY 将二次型化为标准形；（分数：1.
10、00）_(2).求矩阵 A（分数：1.00）_二次型 经过正交变换化为标准形 （分数：2.00）(1).常数 a，b；（分数：1.00）_(2).正交变换的矩阵 Q（分数：1.00）_设二次型 （分数：2.00）(1).求 a；（分数：1.00）_(2).用正交变换法化二次型为标准形（分数：1.00）_设 n 阶实对称矩阵 A 的秩为 r，且满足 A 2 =A(A 称为幂等阵) 求：（分数：2.00）(1).二次型 X T AX 的标准形；（分数：1.00）_(2).|E+A+A 2 +A n |的值（分数：1.00）_设 A 为 n 阶实对称可逆矩阵， （分数：2.00）(1).记 X=(x
11、 1 ，x 2 ，x n ) T ，把二次型 f(x 1 ，x 2 ，x n )写成矩阵形式；（分数：1.00）_(2).二次型 g(X)=X T AX 是否与 f(x 1 ，x 2 ，x n )合同?（分数：1.00）_设 为正定矩阵，令 （分数：2.00）(1).求 P T CP；（分数：1.00）_(2).证明：D-BA -1 B T 为正定矩阵（分数：1.00）_31.设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x 1 2 +4x 2 2 +2x 3 2 +2tx 1 x 2 +2x 1 x 3 为正定二次型，求 t 的范围 （分数：2.00）_32.设 A 是 n 阶正定矩阵，证明
12、：|E+A|1 （分数：2.00）_考研数学一-425 (1)答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：5，分数：5.00)1.设 ， 为三维非零列向量，(，)=3，A= T ，则 A 的特征值为 1 （分数：1.00）解析：0 或 3 解析 因为 A 2 =3A，令 AX=X，因为 A 2 X= 2 X，所以有( 2 -3)X=0，而 X0，故 A 的特征值为 0 或者 3，因为 1 + 2 + 3 =tr(A)=(，)，所以 1 =3， 2 = 3 =02.二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=(x 1 -2x 2 ) 2 +4x 2 x 3 的矩阵为
13、1 （分数：1.00）解析：解析 因为 ，所以 3.设 （分数：1.00）解析： 解析 令 正交规范化的向量组为 4.设二次型 （分数：1.00）解析：解析 该二次型的矩阵为 ，因为该二次型的秩为 2，所以|A|=0，解得5.设 （分数：1.00）解析：t2解析 二次型的矩阵为 ，因为二次型为正定二次型，所以有 50，二、选择题(总题数：9，分数：9.00)6.设 A， B 为 n 阶可逆矩阵，则_ A存在可逆矩阵 P 1 ，P 2 ，使得 为对角矩阵 B存在正交矩阵 Q 1 ，Q 2 ，使得 （分数：1.00）A.B.C.D. 解析：解析 因为 A，B 都是可逆矩阵，所以 A，B 等价，即存
14、在可逆矩阵 P，Q，使得 PAQ=B，选 D7.n 阶实对称矩阵 A 正定的充分必要条件是_ A.A 无负特征值 B.A 是满秩矩阵 C.A 的每个特征值都是单值 D.A*是正定矩阵（分数：1.00）A.B.C.D. 解析：解析 A 正定的充分必要条件是 A 的特征值都是正数，A 不对；若 A 为正定矩阵，则 A 一定是满秩矩阵，但 A 是满秩矩阵只能保证 A 的特征值都是非零常数，不能保证都是正数，B 不对；C 既不是充分条件又不是必要条件；显然 D 既是充分条件又是必要条件8.下列说法正确的是_（分数：1.00）A.任一个二次型的标准形是唯一的B.若两个二次型的标准形相同，则两个二次型对应
15、的矩阵的特征值相同C.若一个二次型的标准形系数中没有负数，则该二次型为正定二次型D.二次型的标准形不唯一，但规范形是唯一的 解析：解析 A 不对，如 f=x 1 x 2 ，令 则 9.设 A 为可逆的实对称矩阵，则二次型 X T AX 与 X T A -1 X_（分数：1.00）A.规范形与标准形都不一定相同B.规范形相同但标准形不一定相同 C.标准形相同但规范形不一定相同D.规范形和标准形都相同解析：解析 因为 A 与 A -1 合同，所以 X T AX 与 X T A -1 X 规范形相同，但标准形不一定相同，即使是同一个二次型也有多种标准形，选 B10.设 n 阶矩阵 A 与对角矩阵合同
16、，则 A 是_（分数：1.00）A.可逆矩阵B.实对称矩阵 C.正定矩阵D.正交矩阵解析：解析 因为 A 与对角阵 A 合同，所以存在可逆矩阵 P，使得 P T AP=A， 从而 A=(P T ) -1 AP -1 =(P -1 ) T AP -1 ，A T =(P -1 ) T AP -1 T =(P -1 ) T AP -1 =A，选 B11.设 A，B 都是 n 阶矩阵，且存在可逆矩阵 P，使得 AP=B，则_（分数：1.00）A.A，B 合同B.A，B 相似C.方程组 AX=0 与 BX=0 同解D.r(A)=r(B) 解析：解析 因为 P 可逆，所以 r(A)=r(B)，选 D12.
17、设 A，B 为 n 阶实对称矩阵，则 A 与 B 合同的充分必要条件是_（分数：1.00）A.r(A)=r(B)B.|A|=|B|C.ABD.A，B 与同一个实对称矩阵合同 解析：解析 因为 A，B 与同一个实对称矩阵合同，则 A，B 合同，反之若 A，B 合同，则 A，B 的正负惯性指数相同，从而 A，B 与13.设 （分数：1.00）A.相似且合同B.相似不合同C.合同不相似 D.不合同也不相似解析：解析 由|E-A|=0 得 A 的特征值为 1，3，-5，由|E-B|=0 得 B 的特征值为 1，1，-1，所以 A与 B 合同但不相似，选 C14.设 A，B 为三阶矩阵，且特征值均为-2
18、，1，1，以下命题： (1)AB；(2)A，B 合同；(3)A，B 等价；(4)|A|=|B|中正确的命题个数为_（分数：1.00）A.1 个B.2 个 C.3 个D.4 个解析：解析 因为 A，B 的特征值为-2，1，1，所以|A|=|B|=-2，又因为 r(A)=r(B)=3，所以 A，B 等价，但 A，B 不一定相似或合同，选 B三、解答题(总题数：33，分数：86.00)15.设 A T A=E，证明：A 的实特征值的绝对值为 1 （分数：3.00）_正确答案：()解析：证明 设 AX=X，则 X T A T =X T ，从而有 X T A T AX=X T AX= 2 X T X，因
19、为 A T A=E， 所以( 2 -1)X T X=0，而 X T X=|X| 2 0，所以 2 =1，于是|=1设 0 为 A 的特征值（分数：3.00）(1).证明：A T 与 A 特征值相等；（分数：1.00）_正确答案：()解析：证明 因为|E-A T |=|(E-A) T |=|E-A|，所以 A T 与 A 的特征值相等(2).求 A 2 ，A 2 +2A+3E 的特征值；（分数：1.00）_正确答案：()解析：解 因为 A= 0 (0)， 所以 于是 A 2 ，A 2 +2A+3E 的特征值分别为 (3).若|A|0，求 A -1 ，A * ，E-A -1 的特征值（分数：1.0
20、0）_正确答案：()解析：解 因为|A|= 1 2 n 0，所以 0 0，由 A= 0 得 ， 由 A * A=|A| 得 ，又 ， 于是 A -1 ，A * ，E-A -1 的特征值分别为 16.设 X 1 ，X 2 分别为 A 的属于不同特征值 1 ， 2 的特征向量证明：X 1 +X 2 不是 A 的特征向量 （分数：3.00）_正确答案：()解析：证明 反证法 不妨设 X 1 +X 2 是 A 的属于特征值 的特征向量，则有 A(X 1 +X 2 )=(X 1 +X 2 )， 因为 AX 1 = 1 X 1 ，AX 2 = 2 X 2 ，所以( 1 -)X 1 +( 2 -)X 2 =
21、0，而 X 1 ，X 2 线性无关，于是 1 = 2 =，矛盾，故 X 1 +X 2 不是 A 的特征向量17. （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 令 T =k，则 A 2 =kA， 设 AX=X，则 A 2 X= 2 X=kX，即 (-k)X=0， 因为 X0，所以矩阵 A 的特征值为 =0 或 =k 由 1 + n =tr(A)且 tr(A)=k 得 1 = n-1 =0， n =k 因为 r(A)=1，所以方程组(0E-A)X=0 的基础解系含有 n-1 个线性无关的解向量， 即 =0 有 n-1 个线性无关的特征向量，故 A 可以对角化设向量 =(a 1 ，a 2 ，a n
22、) T ，其中 a 1 0，A= T （分数：3.00）(1).求方程组 AX=0 的通解；（分数：1.50）_正确答案：()解析：解 因为 r(A)=1，所以 AX=0 的基础解系含有 n-1 个线性无关的特征向量，其基础解系为 (2).求 A 的非零特征值及其对应的线性无关的特征向量（分数：1.50）_正确答案：()解析：解 因为 A 2 =kA，其中 18.设 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 方法一 由 得|6E-A n |=6 2 (6-2 n ) 方法二 A= T ，由|E-A|= 2 (-2)=0 得 1 - 2 =0， 3 =2， 因为 6E-A n 的特征值为 6，
23、6，6-2 n ，所以|6E-A n |=6 2 (6-2 n ) 方法三 因为 A 是实对称矩阵且 1 = 2 =0， 3 =2，所以存在可逆阵 P，使得 19.设 A 为三阶矩阵，A 的特征值为 1 =1， 2 =2， 3 =3，其对应的线性无关的特征向量分别为 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 方法一 令 ，则 方法二 令 =x 1 1 +x 2 2 +x 3 3 ，解得 x 1 =2，x 2 =-2，x 3 =1，则 20.设 A 是 n 阶矩阵， 是 A 的特征值，其对应的特征向量为 X，证明： 2 是 A 2 的特征值，X 为特征向量若 A 2 有特征值 ，其对应的特征向
24、量为 X，X 是否一定为 A 的特征向量?说明理由 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 由 AX=X 得 A 2 X=A(AX)=A(X)=AX= 2 X 可知 2 是 A 2 的特征值，X 为特征向量若A 2 X=X，其中 ，A 2 =O，A 2 的特征值为 =0，取 ，显然 A 2 X=0X，但 设 A，B 为 n 阶矩阵（分数：3.00）(1).是否有 ABBA；（分数：1.50）_正确答案：()解析：解 一般情况下，AB 与 BA 不等价，如 (2).若 A 有特征值 1，2，n，证明：ABBA（分数：1.50）_正确答案：()解析：证明 因为|A|=n!0，所以 A 为可逆矩
25、阵，取 P=A，则有 p -1 ABP=BA，故 ABBA设 为 n 维非零列向量， （分数：3.00）(1).证明：A 可逆并求 A -1 ；（分数：1.50）_正确答案：()解析：证明 因为 (2).证明： 为矩阵 A 的特征向量（分数：1.50）_正确答案：()解析：证明 因为设矩阵 （分数：3.00）(1).求 y；（分数：1.50）_正确答案：()解析：解 因为 3 为 A 的特征值，所以|3E-A|=0，解得 y=2(2).求可逆矩阵 P，使得(AP) T (AP)为对角矩阵（分数：1.50）_正确答案：()解析：解 (AP) T (AP)=P T A T AP=P T A 2 P
26、， |E-A 1 |=0 得 1 =1， 2 =9， 当 =1 时，由(E-A 1 )X=0 得 ；=9 时，由(9E-A 1 )X=0 得 ， 单位化得 设 A 是三阶实对称矩阵，r(A)=1，A 2 -3A=O，设(1，1，-1) T 为 A 的非零特征值对应的特征向量（分数：3.00）(1).求 A 的特征值；（分数：1.50）_正确答案：()解析：解 A 2 -3A=O |A|3E-A|=0 (2).求矩阵 A（分数：1.50）_正确答案：()解析：解 设特征值 0 对应的特征向量为(x 1 ，x 2 ，x 3 ) T ，则 x 1 +x 2 -x 3 =0，则 0 对应的特征向量为
27、2 =(-1，1，0) T ， 3 =(1，0，1) T ，令 21.设三阶实对称矩阵 A 的特征值为 1 =8， 2 = 3 =2，矩阵 A 的属于特征值 1 =8 的特征向量为 ，属于特征值 2 = 3 =2 的特征向量为 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 因为实对称矩阵不同的特征值对应的特征向量正交，所以有 对应的特征向量为 令 2 = 3 =2 对应的另一个特征向量为 ，由不同特征值对应的特征向量正交，得 22.设 n 阶矩阵 A 满足(aE-A)(bE-A)=O 且 ab证明：A 可对角化 （分数：3.00）_正确答案：()解析：证明 由(aE-A)(bE-A)=O，得|aE-A|bE-A|=0，则|aE-A|=0 或者 |bE-A|=0又由(aE-A)(bE-A)=O，得 r(aE-A)+r(bE-A)n 同时 r(aE-A)+r(bE-A)r(aE-A)-(bE-A)=r(a-b)E=n 所以 r(aE-A)+r(bE-A)=n (1)若|aE-A|0，则 r(aE-A)=n，所以 r(bE-A)=0，故 A=bE (2)若
