1、考研数学一-427 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 f(x)在 x=0处存在 4阶导数，且 （分数：4.00）A.x=0是 f(x)的极小值点B.x=0是 f(x)的极值点C.y=f(x)在点(0，f(0)左侧邻域是凹的，右侧邻域是凸的D.y=f(x)在点(0，f(0)左侧邻域是凸的，右侧邻域是凹的2.设以下的 A，B，C 为待定常数，微分方程 y“+2y“-3y=e x sin 2 x有特解形如_ A.ex(A+Bcos 2x+Csin 2x) B.ex(Ax+Bcos 2x+Csin 2x) C.ex(A+Bx cos
2、 2x+Cx sin 2x) D.xex(A+Bcos 2x+Csin 2x)（分数：4.00）A.B.C.D.3.曲线 （分数：4.00）A.0条B.1条C.2条D.3条4.设 是 f(x)的傅立叶级数，则 _ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.5.设 3阶矩阵 A有 3个互不相同的特征值 1 ， 2 ， 3 ，其对应的特征向量分别为 1 ， 2 ， 3 ，则向量组 1 ，A( 1 + 2 )，A 2 ( 1 + 2 + 3 )线性无关的充要条件是_（分数：4.00）A.120B.130C.230D.12306.设 是可逆矩阵， 则 B相似于_ A B C D （分数：4.0
3、0）A.B.C.D.7.设 X 1 ，X 2 ，X n 是来自总体 X的简单随机样本，E(X)=，D(X)=1，下面四个选项中正确的是_ A B C由切比雪夫不等式知 ( 为任意正数) D若 为未知参数，则样本均值 （分数：4.00）A.B.C.D.8.设 XP()，其中 0 是未知参数，x 1 ，x 2 ，x n 是总体 X的一组样本值，则 PX-0的最大似然估计值为_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 f(x)=(x 2 -1) n ，则 f (n+1) (-1)= 1 （分数：4.00）10.微分方程 yy“+y“ 2 =
4、yy“满足初始条件 （分数：4.00）11. （分数：4.00）12.设 （分数：4.00）13.设 A是 n阶矩阵， 是 n维列向量，a，b，c 为常数，已知 （分数：4.00）14.已知随机变量 X与 Y都服从正态分布 N(， 2 )，且 PX0，Y2=a，则 PX0，Y2= 1 （分数：4.00）三、解答题(总题数：9，分数：94.00)(1).设 f(x)在0，+)上连续且 则 （分数：5.00）_(2).设 f(x)在(a，b)内二阶可导，且 x(a，b)时 f(x)0， （分数：5.00）_15.设函数 z=f(x，y)具有二阶连续偏导数，且 （分数：10.00）_设 f(x)在0
5、，1上连续（分数：10.00）(1).证明：存在 (0，1)，使得 （分数：5.00）_(2).若进一步设当 x0，1时，f(x)0 且单调减少，证明 是唯一的（分数：5.00）_16.求幂级数 （分数：10.00）_17.球面 上侧，a，b，c 为任意常数，求曲面积分 （分数：10.00）_设非齐次线性方程组 Ax=( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )x= 5 有通解 k(-1，2，0，3) T +(2，-3，1，5) T （分数：11.00）(1).求方程组( 2 ， 3 ， 4 )x= 5的通解；（分数：5.50）_(2).求方程组( 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 4 + 5 )x= 5
6、 的通解（分数：5.50）_已知 （分数：11.00）(1).a，b；（分数：5.50）_(2).正交矩阵 P，使 P -1 AP=P T AP= （分数：5.50）_设 X的概率密度为 令 （分数：11.00）(1).求 F Y (y)；（分数：5.50）_(2).Cov(X，Y)（分数：5.50）_已知随机变量 X的概率密度为 （分数：11.00）(1).求 的矩估计量和最大似然估计量 （分数：5.50）_(2).证明 的矩估计量是 的无偏估计量（分数：5.50）_考研数学一-427 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 f(
7、x)在 x=0处存在 4阶导数，且 （分数：4.00）A.x=0是 f(x)的极小值点B.x=0是 f(x)的极值点C.y=f(x)在点(0，f(0)左侧邻域是凹的，右侧邻域是凸的D.y=f(x)在点(0，f(0)左侧邻域是凸的，右侧邻域是凹的 解析：解析 若 f(0)0，则上式右边，与题设极限等于 a矛盾，进一步类似地讨论可得 f“(0)=0，f“(0)=0，从而f“(0)=2a0由 由保函数号定理，存在 0，当 x(-，0)(0，)时， 2.设以下的 A，B，C 为待定常数，微分方程 y“+2y“-3y=e x sin 2 x有特解形如_ A.ex(A+Bcos 2x+Csin 2x) B
8、.ex(Ax+Bcos 2x+Csin 2x) C.ex(A+Bx cos 2x+Cx sin 2x) D.xex(A+Bcos 2x+Csin 2x)（分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 y“+2y“-3y=e x sin 2 x， 即为 对应的二阶常系数齐次线性微分方程 y“+2y“-3y=0的特征方程为 r 2 +2r-3=0，解得 r 1 =1，r 2 =-3 1是特征方程的一重根， 的特解应为 y 1 * =Axe x (要修正)； 1+2i不是特征方程的根， 的特解应为 y 2 * =e x (Bcos 2x+Csin 2x)(不修正) 因而 3.曲线 （分数：4.00）
9、A.0条B.1条C.2条D.3条 解析：解析 有垂直渐近线 x=0； 有水平渐近线 y=0； 4.设 是 f(x)的傅立叶级数，则 _ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 和函数 是 f(x)的正弦级数，所以应将 f(x)延拓成-1，1上的奇函数，再将其延拓成周期为 2的周期函数，由狄利克雷收敛定理， 5.设 3阶矩阵 A有 3个互不相同的特征值 1 ， 2 ， 3 ，其对应的特征向量分别为 1 ， 2 ， 3 ，则向量组 1 ，A( 1 + 2 )，A 2 ( 1 + 2 + 3 )线性无关的充要条件是_（分数：4.00）A.120B.130C.230 D.123
10、0解析：解析 向量组 1 ，A( 1 + 2 )，A 2 ( 1 + 2 + 3 )线性无关的充要条件是行列式 6.设 是可逆矩阵， 则 B相似于_ A B C D （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 对 A进行行变换： 又 于是 7.设 X 1 ，X 2 ，X n 是来自总体 X的简单随机样本，E(X)=，D(X)=1，下面四个选项中正确的是_ A B C由切比雪夫不等式知 ( 为任意正数) D若 为未知参数，则样本均值 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 没有总体 X服从正态分布这个条件，排除(A)；没有总体 X的密度函数，没法求最大似然估计，排除 D； 8.设 X
11、P()，其中 0 是未知参数，x 1 ，x 2 ，x n 是总体 X的一组样本值，则 PX-0的最大似然估计值为_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 XP()， 先求 的最大似然估计值 由于函数 u=e - 具有单值反函数，由最大似然估计的不变性，得 PX=0的最大似然估计值为 二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 f(x)=(x 2 -1) n ，则 f (n+1) (-1)= 1 （分数：4.00）解析：(n+1)!n(-2) n-1 解析 f(x)=(x 2 -1) n =(x+1) n (x-1) n ，由莱布尼兹公式， 10.微分方程 yy“
12、+y“ 2 =yy“满足初始条件 （分数：4.00）解析： 解析 本题为缺 x的可降阶的二阶微分方程，可按常规套路求解，不过，太烦琐!仔细观察 yy“+y“ 2 =yy“即(yy“)“=yy“，于是 11. （分数：4.00）解析：1-2ln 2解析 12.设 （分数：4.00）解析： 解析 由轮换对称性， 所以 问题归结到求 L的弧长L 是平面 x+y+z=a上的圆周，点 O到平面 x+y+z=a的距离，即到圆心的距离为 ，所以 L的半径为 所以 13.设 A是 n阶矩阵， 是 n维列向量，a，b，c 为常数，已知 （分数：4.00）解析：(c-b)a解析 14.已知随机变量 X与 Y都服从
13、正态分布 N(， 2 )，且 PX0，Y2=a，则 PX0，Y2= 1 （分数：4.00）解析：a 解析 记 A=X0，B=Y2，P(AB)=a， 三、解答题(总题数：9，分数：94.00)(1).设 f(x)在0，+)上连续且 则 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 当 x0 时， (2).设 f(x)在(a，b)内二阶可导，且 x(a，b)时 f(x)0， （分数：5.00）_正确答案：()解析：y=lnf(x)，x(a，b)时 f(x)0， 15.设函数 z=f(x，y)具有二阶连续偏导数，且 （分数：10.00）_正确答案：()解析：证 先证必要性若 f(x，y)=C 为一直线
14、，则 均为常数，f“ xx =f“ xy =f“ yy =0，从而等式成立 再证充分性因 由 f(x，y)=C 确定隐函数 y=y(x)，于是 f(x，y(x)=C，两边对 x求导，得 上式两边再对 x求导，得 由已知条件，得 设 f(x)在0，1上连续（分数：10.00）(1).证明：存在 (0，1)，使得 （分数：5.00）_正确答案：()解析：证 欲证 F(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，且 F(0)=F(1)=0，由罗尔定理，存在 (0，1)，使得 F“()=0，则有 (2).若进一步设当 x0，1时，f(x)0 且单调减少，证明 是唯一的（分数：5.00）_正确答案：()解析
15、：用反证法假设存在 (0，1)，(0，1)，不妨设 ，使得 两式相减，得 16.求幂级数 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 当|x|1，即当-1x1 时，幂级数 收敛，且为绝对收敛 当|x|=1，即当 x=1时，幂级数的一般项不趋向于零，幂级数发散，所以，幂级数的收敛域为(-1，1) 再求 的和函数 17.球面 上侧，a，b，c 为任意常数，求曲面积分 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 方法 1 由于是在球面上积分， 其中， 方法 2 曲面：F(x，y，z)=x 2 +y 2 +z 2 -1=0， 设非齐次线性方程组 Ax=( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )x= 5 有
16、通解 k(-1，2，0，3) T +(2，-3，1，5) T （分数：11.00）(1).求方程组( 2 ， 3 ， 4 )x= 5的通解；（分数：5.50）_正确答案：()解析：解 由已知可得，R(A)=R(A 5 )=3，且由 x T =k(-1，2，0，3) T +(2，-3，1，5) T ， 得 于是， 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性相关， 1 可由 2 ， 3 ， 4 线性表示， 2 ， 3 ， 4 线性无关；随之， 5 可由 2 ， 3 ， 4 线性表示，因而 R( 2 ， 3 ， 4 )=R( 2 ， 3 ， 4 (2).求方程组( 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 4 + 5
17、)x= 5 的通解（分数：5.50）_正确答案：()解析：方程组( 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 4 + 5 )x= 5 中未知数的个数为 5， R( 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 4 + 5 )=R( 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 4 + 5 5 )=35 方程组( 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 4 + 5 )x= 5 有无穷多解： x T =k 1 1 +k 2 2 + * 由可得， 1 =(-1，2，0，3，0) T ， 1 =(2，-3，1，5，0) T ， 再由方程组( 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 4 + 5 )x= 5 ，得 2 =(0，0，0，-1，1) T ， 2
18、= 1 - 2 =(2，-3，1，6，-1) T 已知 （分数：11.00）(1).a，b；（分数：5.50）_正确答案：()解析：解 由 1 + 2 + 3 (-1)+(-1)+a=-3，则 a=-1 (2).正交矩阵 P，使 P -1 AP=P T AP= （分数：5.50）_正确答案：()解析：第一步：求 A的特征值 第二步：求 A的特征向量 当 1 = 2 =-2时，由(A- 1 E)x=0， 当 3 =1时，由(A- 3 E)x=0， 第三步：把特征向量正交化 取 第四步：把特征向量单位化 A的特征值分别为：-2，-2，1，经正交化后与之对应的特征向量为 单位化得 取 于是有 设 X
19、的概率密度为 令 （分数：11.00）(1).求 F Y (y)；（分数：5.50）_正确答案：()解析：解 F Y (y)=PYy 当 y1 时，F Y (y)=PYy=0； 当 y10 时，F Y (y)=PYy=1； 当 1y2 时， 当 2y10 时， 图 1(2).Cov(X，Y)（分数：5.50）_正确答案：()解析： (f(x)为偶函数) 已知随机变量 X的概率密度为 （分数：11.00）(1).求 的矩估计量和最大似然估计量 （分数：5.50）_正确答案：()解析：解 由 再求最大似然估计量 由似然函数 令ln L()“ =0，解得 (2).证明 的矩估计量是 的无偏估计量（分数：5.50）_正确答案：()解析：
