1、考研数学一-428 (1)及答案解析(总分：101.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：20，分数：20.00)1.随机变量 X 的密度函数为 （分数：1.00）2.从学校乘汽车到火车站的途中有三个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，且遇到红灯的概率为 （分数：1.00）3.设随机变量 XB(n，p)，且 E(X)=5， （分数：1.00）4.随机变量 X 的密度函数为 f(x)=ke -|x| (-x+)，则 E(X 2 )= 1 （分数：1.00）5.设 X 表示 12 次独立重复射击击中目标的次数，每次击中目标的概率为 0.5，则 E(X 2 )= 1 （分数
2、：1.00）6.设随机变量 X 服从参数为 的指数分布，则 （分数：1.00）7.设随机变量 X 在-1，2上服从均匀分布，随机变量 （分数：1.00）8.设随机变量 X 1 ，X 2 ，X 3 相互独立，且 X 1 U0，6，X 2 N(0，2 2 )，X 3 P(3)，记 Y=X 1 -2X 2 +3X 3 ，则 D(Y)= 1 （分数：1.00）9.设随机变量 X 服从参数为 2 的泊松分布，令 Y=4X-3，则 E(Y)= 1，D(Y)= 2 （分数：1.00）10.若随机变量 XN(2， 2 )，且 P(2X4)=0.3，则 P(X0)= 1 （分数：1.00）11.设随机变量 X，
3、Y，Z 相互独立，且 XU-1，3， （分数：1.00）12.设常数 a0，1，随机变量 XU0，1，Y=|X-a|，则 E(XY)= 1 （分数：1.00）13.设随机变量 X，Y 相互独立，D(X)=4D(Y)，令 U=3X+2Y，V=3X-2Y，则 UV = 1 （分数：1.00）14.设 X，Y 为两个随机变量，且 D(X)=9，Y=2X+3，则 X，Y 的相关系数为 1 （分数：1.00）15.设 X，Y 为两个随机变量，D(X)=4，D(Y)=9，相关系数为 （分数：1.00）16.设 X，Y 为两个随机变量，E(X)=E(Y)=1，D(X)=9，D(Y)=1，且 （分数：1.00
4、）17.设 X，Y 相互独立且都服从标准正态分布，则 E|X-Y|= 1，D|X-Y|= 2 （分数：1.00）18.设 D(X)=1，D(Y)=9， XY =-0.3，则 Cov(X，Y)= 1 （分数：1.00）19.设随机变量 X 方差为 2，则根据切比雪夫不等式有估计 P|X-E(X)|2 1 （分数：1.00）20.若随机变量 X 1 ，X 2 ，X n 相互独立同分布于 N(/z，22)，则根据切比雪夫不等式得 P| （分数：1.00）二、选择题(总题数：7，分数：7.00)21.设 X 为随机变量，E(X)=，D(X)= 2 ，则对任意常数 C 有_ A.E(X-C)2=E(X-
5、) 2 B.E(X-C)2E(X-) 2 C.E(X-C)2=E(X2)-C2 D.E(X-C)2E(X-) 2（分数：1.00）A.B.C.D.22.设 X，Y 为两个随机变量，若 E(XY)=E(X)E(Y)，则_（分数：1.00）A.D(XY)=D(X)D(Y)B.D(X+Y)=D(X)+D(Y)C.X，Y 独立D.X，Y 不独立23.设 X，Y 为两个随机变量，若对任意非零常数 a，b 有 D(aX+bY)=D(aX-bY)，下列结论正确的是_（分数：1.00）A.D(XY)=D(X)D(Y)B.X，Y 不相关C.X，Y 独立D.X，Y 不独立24.设 X，Y 为随机变量，若 E(XY
6、)=E(X)E(Y)，则_（分数：1.00）A.X，Y 独立B.X，Y 不独立C.X，Y 相关D.X，Y 不相关25.若 E(XY)=E(X)E(Y)，则_ A.X 和 Y 相互独立 B.X2与 Y2相互独立 C.D(XY)=D(X)D(Y) D.D(X+Y)=D(X)+D(Y)（分数：1.00）A.B.C.D.26.设随机变量 XU0，2，Y=X 2 ，则 X，Y_（分数：1.00）A.相关且相互独立B.不相互独立但不相关C.不相关且相互独立D.相关但不相互独立27.设 X 1 ，X 2 ，X n 相互独立，则 X 1 ，X 2 ，X n 满足辛钦大数定律的条件是_（分数：1.00）A.X1
7、，X2，Xn，同分布且有相同的数学期望与方差B.X1，X2，Xn，同分布且有相同的数学期望C.X1，X2，Xn，为同分布的离散型随机变量D.X1，X2，Xn，为同分布的连续型随机变量三、解答题(总题数：14，分数：74.00)28.一台设备由三大部件构成，在设备运转过程中各部件需要调整的概率分别为 0.1，0.2，0.3，假设各部件的状态相互独立，以 X 表示同时需要调整的部件数，求 E(X)，D(X) （分数：5.00）_29.设随机变量 X 服从参数为 （分数：5.00）_设随机变量 X，Y 同分布，X 的密度为 设 A=Xa与 B=Ya相互独立，且 （分数：5.00）(1).求 a；（分
8、数：2.50）_(2).求 （分数：2.50）_30.某流水线上产品不合格的概率为 （分数：5.00）_31.设试验成功的概率为 ，失败的概率为 （分数：5.00）_32.游客乘电梯从底层到顶层观光，电梯于每个整点的 5 分、25 分、55 分从底层上行，设一游客早上 8点 X 分到达底层，且 X 在0，60上服从均匀分布，求游客等待时间的数学期望 （分数：5.00）_33.设 对 X 进行独立重复观察 4 次，用 Y 表示观察值大于 （分数：5.00）_34.设某种零件的长度 LN(18，4)，从一大批这种零件中随机取出 10 件，求这 10 件中长度在 1622 之间的零件数 X 的概率分
9、布、数学期望和方差 （分数：5.00）_35.一民航班车上有 20 名旅客，自机场开出，旅客有 10 个车站可以下车，如到达一个车站没有旅客下车就不停车，以 X 表示停车次数，求 E(X)(设每位旅客下车是等可能的) （分数：5.00）_设某箱装有 100 件产品，其中一、二、三等品分别为 80 件、10 件和 10 件，现从中随机抽取一件，记（分数：5.00）(1).求(X 1 ，X 2 )的联合分布：（分数：2.50）_(2).求 X 1 ，X 2 的相关系数（分数：2.50）_36.在长为 L 的线段上任取两点，求两点之间距离的数学期望及方差 （分数：6.00）_37.设 X 与 Y 相
10、互独立，且 XN(0， 2 )，YN(0， 2 )，令 （分数：6.00）_设随机变量 X，Y 独立同分布，且 XN(0， 2 )，再设 U=aX+bY，V=aX-bY，其中 a，b 为不相等的常数求：（分数：6.00）(1).E(U)，E(V)，D(U)，D(V)， UV ；（分数：3.00）_(2).设 U，V 不相关，求常数 a，b 之间的关系（分数：3.00）_38.设 XU(-1，1)，Y=X 2 ，判断 X，Y 的独立性与相关性 （分数：6.00）_考研数学一-428 (1)答案解析(总分：101.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：20，分数：20.00)1.随机变量
11、 X 的密度函数为 （分数：1.00）解析： 解析 ，则 D(X)=E(X 2 )-E(X) 2 = 2.从学校乘汽车到火车站的途中有三个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，且遇到红灯的概率为 （分数：1.00）解析：解析 显然 ，则 3.设随机变量 XB(n，p)，且 E(X)=5， （分数：1.00）解析：15 解析 因为 E(X)=np，D(X)=np(1-p)，E(X 2 )=D(X)+E(X) 2 =np(1-p)+n 2 p 2 ，所以 np=5，np(1-p)+n 2 p 2 = ，解得 n=15， 4.随机变量 X 的密度函数为 f(x)=ke -|x| (-x
12、+)，则 E(X 2 )= 1 （分数：1.00）解析：2 解析 因为 ，所以 ，解得 ， 于是 5.设 X 表示 12 次独立重复射击击中目标的次数，每次击中目标的概率为 0.5，则 E(X 2 )= 1 （分数：1.00）解析：39 解析 XB(12，0.5)， E(X)=6，D(X)=3，E(X 2 )=D(X)+E(X) 2 =3+36=396.设随机变量 X 服从参数为 的指数分布，则 （分数：1.00）解析：e -1 解析 因为 XE()，所以 ， 则 7.设随机变量 X 在-1，2上服从均匀分布，随机变量 （分数：1.00）解析： 解析 随机变量 X 的密度函数为 随机变量 Y
13、的可能取值为-1，0，1， Y 的分布律为 则 D(Y)=E(Y 2 )-E(Y) 2 = 8.设随机变量 X 1 ，X 2 ，X 3 相互独立，且 X 1 U0，6，X 2 N(0，2 2 )，X 3 P(3)，记 Y=X 1 -2X 2 +3X 3 ，则 D(Y)= 1 （分数：1.00）解析：46 解析 由 9.设随机变量 X 服从参数为 2 的泊松分布，令 Y=4X-3，则 E(Y)= 1，D(Y)= 2 （分数：1.00）解析：5 32 解析 因为 XP(2)，所以 E(X)=D(X)=2， 于是 E(Y)=4E(X)-3=5，D(Y)=16D(X)=3210.若随机变量 XN(2，
14、 2 )，且 P(2X4)=0.3，则 P(X0)= 1 （分数：1.00）解析：0.2 解析 由 P(2X4)=0.3 得 ， 则 11.设随机变量 X，Y，Z 相互独立，且 XU-1，3， （分数：1.00）解析： 解析 由 XU-1，3， ，ZN(1，3 2 )得 于是 D(U)=D(X)+4D(Y)+9D(Z)= 12.设常数 a0，1，随机变量 XU0，1，Y=|X-a|，则 E(XY)= 1 （分数：1.00）解析：解析 13.设随机变量 X，Y 相互独立，D(X)=4D(Y)，令 U=3X+2Y，V=3X-2Y，则 UV = 1 （分数：1.00）解析： 解析 Cov(U，V)=
15、Cov(3X+2Y，3X-2Y)=9Cov(X，X)-4Cov(Y，Y)=9D(X)-4D(Y)=32D(Y) 由 X，Y 独立，得 D(U)=D(3X+2Y)=9D(X)+4D(Y)=40D(Y)， D(V)=D(3X-2Y)=9D(X)+4D(Y)=40D(Y)， 所以 14.设 X，Y 为两个随机变量，且 D(X)=9，Y=2X+3，则 X，Y 的相关系数为 1 （分数：1.00）解析：1 解析 D(Y)=4D(X)=36， Cov(X，Y)=Cov(X，2X+3)=2Cov(X，X)+Cov(X，3)=2D(X)+Cov(X，3) 因为 Cov(X，3)=E(3X)-E(3)E(X)=
16、3E(X)-3E(X)=0，所以 Cov(X，Y)=2D(X)=18， 于是 15.设 X，Y 为两个随机变量，D(X)=4，D(Y)=9，相关系数为 （分数：1.00）解析：36 解析 16.设 X，Y 为两个随机变量，E(X)=E(Y)=1，D(X)=9，D(Y)=1，且 （分数：1.00）解析：25 解析 E(X-2Y+3)=E(X)-2E(Y)+3=2， D(X-2Y+3)=D(X-2Y)=D(X)+4D(Y)-4Cov(X，Y)， 由 17.设 X，Y 相互独立且都服从标准正态分布，则 E|X-Y|= 1，D|X-Y|= 2 （分数：1.00）解析： 解析 令 Z=X-Y，则 ZN(
17、0，2)， 因为 E|Z| 2 =E(Z 2 )=D(Z)+EZ(Z) 2 =2， 所以 D|Z|=E|Z| 2 -(E|Z|) 2 = 18.设 D(X)=1，D(Y)=9， XY =-0.3，则 Cov(X，Y)= 1 （分数：1.00）解析：-0.9解析 19.设随机变量 X 方差为 2，则根据切比雪夫不等式有估计 P|X-E(X)|2 1 （分数：1.00）解析：解析 20.若随机变量 X 1 ，X 2 ，X n 相互独立同分布于 N(/z，22)，则根据切比雪夫不等式得 P| （分数：1.00）解析： 解析 因为 X 1 ，X 2 ，X n 相互独立同分布于 N(，2 2 )，所以
18、， 从而 二、选择题(总题数：7，分数：7.00)21.设 X 为随机变量，E(X)=，D(X)= 2 ，则对任意常数 C 有_ A.E(X-C)2=E(X-) 2 B.E(X-C)2E(X-) 2 C.E(X-C)2=E(X2)-C2 D.E(X-C)2E(X-) 2（分数：1.00）A.B. C.D.解析：解析 E(X-C) 2 E(X-) 2 =E(X 2 )-2CE(X)+C 2 -E(X 2 )-2E(X)+ 2 =C 2 +2E(X)E(X)-C-E(X) 2 =C-E(X) 2 0，选 B22.设 X，Y 为两个随机变量，若 E(XY)=E(X)E(Y)，则_（分数：1.00）A
19、.D(XY)=D(X)D(Y)B.D(X+Y)=D(X)+D(Y) C.X，Y 独立D.X，Y 不独立解析：解析 因为 E(XY)=E(X)E(Y)，所以 Cov(X，Y)=0， 又 D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X，Y)，所以 D(X+Y)=D(X)+D(Y)，选 B23.设 X，Y 为两个随机变量，若对任意非零常数 a，b 有 D(aX+bY)=D(aX-bY)，下列结论正确的是_（分数：1.00）A.D(XY)=D(X)D(Y)B.X，Y 不相关 C.X，Y 独立D.X，Y 不独立解析：解析 D(aX+bY)=a 2 D(X)+b 2 D(Y)+2abCov(X，Y)， D
20、(aX-bY)=a 2 D(X)+b 2 D(Y)-2abCov(X，Y)， 因为 D(aX+bY)=D(aX-bY)，所以 Cov(X，Y)=0，即 X，Y 不相关，选 B24.设 X，Y 为随机变量，若 E(XY)=E(X)E(Y)，则_（分数：1.00）A.X，Y 独立B.X，Y 不独立C.X，Y 相关D.X，Y 不相关 解析：解析 因为 Cov(X，Y)=E(XY)-E(X)E(Y)，所以若 E(XY)=E(X)E(Y)，则有 Cov(X，Y)=0，于是X，Y 不相关，选 D25.若 E(XY)=E(X)E(Y)，则_ A.X 和 Y 相互独立 B.X2与 Y2相互独立 C.D(XY)
21、=D(X)D(Y) D.D(X+Y)=D(X)+D(Y)（分数：1.00）A.B.C.D. 解析：解析 因为 E(XY)=E(X)E(Y)，所以 Cov(X，Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0， 而 D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X，Y)，所以 D(X+Y)=D(X)+D(Y)，正确答案为 D26.设随机变量 XU0，2，Y=X 2 ，则 X，Y_（分数：1.00）A.相关且相互独立B.不相互独立但不相关C.不相关且相互独立D.相关但不相互独立 解析：解析 由 XU0，2得 E(X)=1，E(Y)=E(X 2 )= ，E(XY)=E(X 3 )= 27.设 X 1 ，X 2
22、，X n 相互独立，则 X 1 ，X 2 ，X n 满足辛钦大数定律的条件是_（分数：1.00）A.X1，X2，Xn，同分布且有相同的数学期望与方差B.X1，X2，Xn，同分布且有相同的数学期望 C.X1，X2，Xn，为同分布的离散型随机变量D.X1，X2，Xn，为同分布的连续型随机变量解析：解析 根据辛钦大数定律的条件，应选 B三、解答题(总题数：14，分数：74.00)28.一台设备由三大部件构成，在设备运转过程中各部件需要调整的概率分别为 0.1，0.2，0.3，假设各部件的状态相互独立，以 X 表示同时需要调整的部件数，求 E(X)，D(X) （分数：5.00）_正确答案：()解析：解
23、 令 A i =第 i 个部件需要调整(i=1，2，3)，X 的可能取值为 0，1，2，3， P(X=3)=P(A 1 A 2 A 3 )=0.006， P(X=2)=1-0.504-0.398-0.006=0.092， 所以 X 的分布律为 29.设随机变量 X 服从参数为 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 显然 YB(4，p)，其中 p=P(X3)=1-P(X3)， 因为 ，所以 设随机变量 X，Y 同分布，X 的密度为 设 A=Xa与 B=Ya相互独立，且 （分数：5.00）(1).求 a；（分数：2.50）_正确答案：()解析：解 因为 P(A)=P(B)且 P(AB)=P(
24、A)P(B)，所以令 P(A)=p， 于是 ，解得 ，即 P(A)=P(Xa)= ， 而 ，解得 (2).求 （分数：2.50）_正确答案：()解析：解 30.某流水线上产品不合格的概率为 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 X 的分布律为 P(X=k)=(1-p) k-1 p(X=1，2，) 令 故 则 故 31.设试验成功的概率为 ，失败的概率为 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 设试验的次数为 X，则 X 的分布律为 令 所以 32.游客乘电梯从底层到顶层观光，电梯于每个整点的 5 分、25 分、55 分从底层上行，设一游客早上 8点 X 分到达底层，且 X 在0，60
25、上服从均匀分布，求游客等待时间的数学期望 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 因为 X0，60，所以 X 的密度函数为 游客等电梯时间设为 T，则 于是 33.设 对 X 进行独立重复观察 4 次，用 Y 表示观察值大于 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 YB(4，p)，其中 34.设某种零件的长度 LN(18，4)，从一大批这种零件中随机取出 10 件，求这 10 件中长度在 1622 之间的零件数 X 的概率分布、数学期望和方差 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 显然 XB(10，p)，其中 p=P(16L22)因为 LN(18，4)，所以 ， 所以 p=P(1
26、6L22)= 35.一民航班车上有 20 名旅客，自机场开出，旅客有 10 个车站可以下车，如到达一个车站没有旅客下车就不停车，以 X 表示停车次数，求 E(X)(设每位旅客下车是等可能的) （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 令 ，显然 X=X 1 +X 2 +X 10 因为任一旅客在第 i 个站不下车的概率为 0.9，所以20 位旅客都不在第 i 个站下车的概率为 0.9 20 ，从而第 i 个站有人下车的概率为 1-0.9 20 ，即 X i 的分布律为 于是 E(X i )=1-0.9 20 (i=1，2，10)，从而有 设某箱装有 100 件产品，其中一、二、三等品分别为 8
27、0 件、10 件和 10 件，现从中随机抽取一件，记（分数：5.00）(1).求(X 1 ，X 2 )的联合分布：（分数：2.50）_正确答案：()解析：解 (X 1 ，X 2 )的可能取值为(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1) P(X 1 =0，X 2 =0)=P(X 3 =1)=0.1， P(X 1 =0，X 2 =1)=P(X 2 =1)=0.1， P(X 1 =1，X 2 =0)=P(X 1 =1)=0.8， P(X 1 =1，X 2 =1)=0 (X 1 ，X 2 )的联合分布律为 (2).求 X 1 ，X 2 的相关系数（分数：2.50）_正确答案：()解析：解 则 D(
28、X 1 )=0.16，D(X 2 )=0.09，Cov(X 1 ，X 2 )=-0.08， 于是 36.在长为 L 的线段上任取两点，求两点之间距离的数学期望及方差 （分数：6.00）_正确答案：()解析：解 线段在数轴上的区间为0，L，设 X，Y 为两点在数轴上的坐标，两点之间的距离为 U=|X-Y|，X，Y 的边缘密度为 因为 X，Y 独立，所以(X，Y)的联合密度函数为 于是 则 D(U)=E(U 2 )-E(U) 2 = 37.设 X 与 Y 相互独立，且 XN(0， 2 )，YN(0， 2 )，令 （分数：6.00）_正确答案：()解析：解 因为 X 与 y 相互独立，且 XN(0，
29、 2 )，YN(0， 2 )， 所以(X，Y)的联合密度函数为 ， 故 设随机变量 X，Y 独立同分布，且 XN(0， 2 )，再设 U=aX+bY，V=aX-bY，其中 a，b 为不相等的常数求：（分数：6.00）(1).E(U)，E(V)，D(U)，D(V)， UV ；（分数：3.00）_正确答案：()解析：解 E(U)=E(aX+bY)=0，E(V)=E(aX-bY)=0， D(U)=D(V)=(a 2 +b 2 ) 2 Cov(U，V)=Cov(aX+bY，aX-bY)=a 2 D(X)-b 2 D(Y)=(a 2 -b 2 ) 2 (2).设 U，V 不相关，求常数 a，b 之间的关系（分数：3.00）_正确答案：()解析：解 U，V 不相关38.设 XU(-1，1)，Y=X 2 ，判断 X，Y 的独立性与相关性 （分数：6.00）_正确答案：()解析：解 Cov(X，Y)=E(XY)-E(X)E(Y)，E(X)=0，E(XY)=E(X 3 )= ， 因此 Cov(X，Y)=0，X，Y 不相关；判断独立性，可以采用试算法 由
