1、考研数学一-429 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.下列各选项正确的是 A若 存在， 存在，则 必存在 B若 不存在， 不存在，则 必不存在 C若 不存在， 存在，则 必存在 D若 不存在， 存在，则 （分数：4.00）A.B.C.D.2.设曲线 L 1 为 L 在第一卦限中的部分，则有 A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.3.设 f(x，y)连续，且 其中 D=(x，y)|1x 2 +y 2 9，则 f(x，y)= Ax 2 Bx 2 +y 2 C D （分数：4.00）A.B.C.D.4.设函数 f(u，v)
2、满足 ，已知 ，则 A B C （分数：4.00）A.B.C.D.5.设 3 阶矩阵 A 的特征值为 1，-1，2，E 为 3 阶单位矩阵，则下列矩阵中可逆的是（分数：4.00）A.E-AB.E+AC.2E-AD.2E+A6.设 A 为 n 阶矩阵，A*为其伴随矩阵已知线性方程组 Ax=0 的基础解系为解向量 1 ，则 A*x=0 的基础解系（分数：4.00）A.不存在B.仅含一个非零解向量C.含有 n-1 个线性无关的解向量D.含有 n 个线性无关的解向量7.设随机变量 X 与 Y 相互独立，且 （分数：4.00）A.12B.12C.12D.128.设二维随机变量(X，Y)的概率分布为 （分
3、数：4.00）A.a=0.025B.a=0.3C.b=0.3D.c=0.25二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.由直线 y=-2x+4 与 x=1 及 y=0 所围成的封闭图形绕 y 轴旋转而成的旋转体的体积为 1 （分数：4.00）10.微分方程 xy“+x 2 y“=y“ 2 满足初始条件 y| x=0 =2，y“| x=1 的特解是 1 （分数：4.00）11.若 （分数：4.00）12.设函数 f(x)在(-，+)内有定义，且对于任意的 x，y，f(x)满足关系式 f(x+y)-f(x)=f(x)-1y+a(y)， 其中 a(y)满足 （分数：4.00）13.设 n 阶矩阵
4、A 为反对称矩阵，则对于任意非零 n 维列向量 x，x T Ax= 1 （分数：4.00）14.已知一批货物的重量 X(单位 kg)服从正态分布 N(，0.36)，从中随机地抽取 9 箱货物，得到重量的平均值为 6kg，则 的置信度为 0.95 的置信区间为 1 (注：标准正态分布函数值 （分数：4.00）三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.证明： （分数：10.00）_16.设 其中常数 a0，求极限 （分数：10.00）_17.求函数 z=f(x，y)=x 2 +y 2 -2x-4y 在区域 D=(x，y)|x 2 +y 2 20，y0上的最大值和最小值 （分数：10.00）_
5、18.计算曲面积分 （分数：10.00）_19.求级数 （分数：10.00）_20.求向量组 1 =(1，2，1，3) T ， 2 =(1，1，-1，1) T ， 3 =(1，3，3，5) T ， 4 =(4，5，-2，7) T ， 5 =(-3，-5，-1，-7) T 的秩和一个极大无关组，并将其余的向量用该极大无关组线性表出 （分数：11.00）_设 A=(a ij )(i，j=1，2，3)为 3 阶实对称矩阵， 1 =-1， 2 =1 是 A 的两个特征值已知|A|=-1，且 1 =-1 所对应的特征向量为 （分数：11.00）(1).求 A 的主对角线元素之和 （分数：5.50）_(2
6、).求矩阵 A（分数：5.50）_设平面区域 G 由直线 2x+y=2 及 x=0，y=0 所围成，二维随机变量(X，Y)在区域 G 上服从均匀分布（分数：11.00）(1).求 P （分数：5.50）_(2).求 Z=Y-2X 的概率密度 f Z (z)（分数：5.50）_设总体 X 的概率密度为 其中 为未知参数，X 1 ，X 2 ，X n 为来自总体 X 的简单随机样本， （分数：11.00）(1).判断 （分数：5.50）_(2).设 m 为样本值 x 1 ，x 2 ，x n 中大于 2 的个数，求 的最大似然估计（分数：5.50）_考研数学一-429 答案解析(总分：150.00，做
7、题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.下列各选项正确的是 A若 存在， 存在，则 必存在 B若 不存在， 不存在，则 必不存在 C若 不存在， 存在，则 必存在 D若 不存在， 存在，则 （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 函数乘积的极限存在性定理如下：若 存在， 也存在，则 一定存在；若这两者一个存在，另一个不存在，则 的存在性是不确定的；若 不存在， 也不存在，则2.设曲线 L 1 为 L 在第一卦限中的部分，则有 A B C D （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 对于 f(x，y，z)=x，有 f(-x，y，z)=-f(x，y，z)，
8、且 L 关于 yOz 面对称，故 而 ，则排除 A同理可排除 B、D对于 g(x，y，z)=z，有 g(x，-y，z)=g(x，y，z)且 L 关于 xOz面对称，故 (L 2 为 L 在 xOz 面右侧的部分)又由于 g(-x，y，z)=g(x，y，z)，且 L 2 关于 yOz面对称，故 ，即 3.设 f(x，y)连续，且 其中 D=(x，y)|1x 2 +y 2 9，则 f(x，y)= Ax 2 Bx 2 +y 2 C D （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 设 ，则 f(x，y)=x 2 +ay 2 于是 解之得 ，故 4.设函数 f(u，v)满足 ，已知 ，则 A B C
9、 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 令 u=x 2 ，v=1-x，则 又由于 故 ，从而 5.设 3 阶矩阵 A 的特征值为 1，-1，2，E 为 3 阶单位矩阵，则下列矩阵中可逆的是（分数：4.00）A.E-AB.E+AC.2E-AD.2E+A 解析：解析 由于矩阵 A 的三个特征值是 1，-1，2，所以矩阵 2E+A 的三个特征值是 3，1，4由于矩阵2E+A 的三个特征值是 3，1，4，故矩阵 2E+A 所对应的行列式|2E+A|=314=12由于|2E+A|0，所以矩阵 2E+A 可逆6.设 A 为 n 阶矩阵，A*为其伴随矩阵已知线性方程组 Ax=0 的基础解系为解向量
10、 1 ，则 A*x=0 的基础解系（分数：4.00）A.不存在B.仅含一个非零解向量C.含有 n-1 个线性无关的解向量 D.含有 n 个线性无关的解向量解析：解析 方阵 A 的秩与方阵 A*的秩的关系为 7.设随机变量 X 与 Y 相互独立，且 （分数：4.00）A.12 B.12C.12D.12解析：解析 由于 ，故 于是 由 可知 ，则 由于 单调递增，故 8.设二维随机变量(X，Y)的概率分布为 （分数：4.00）A.a=0.025B.a=0.3C.b=0.3 D.c=0.25解析：解析 由于相互独立的二维离散型随机变量的联合分布律各行、各列成比例，故 c=0.15，b=3a 由 a+
11、b+c+0.05+0.1+0.3=1 可知 a+b+c=0.55又因为 c=0.15，b=3a，故 a+3a+0.15=0.55，即有a=0.1，b=0.3二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.由直线 y=-2x+4 与 x=1 及 y=0 所围成的封闭图形绕 y 轴旋转而成的旋转体的体积为 1 （分数：4.00）解析：解析 10.微分方程 xy“+x 2 y“=y“ 2 满足初始条件 y| x=0 =2，y“| x=1 的特解是 1 （分数：4.00）解析：y=ln(1+x 2 )+2 解析 令 y“=p(x)，则 ，于是 ，即 令 ，则 ，于是 分离变量得 两端积分 得 从而 即
12、由 y“| x=1 =1 得 C 2 =-1，故 于是 11.若 （分数：4.00）解析：2，4) 解析 令 t=x-a，则 的收敛半径为 收敛区间为(-1，1)解不等式-1x-a1，得到原级数的收敛区间为(a-1，a+1) 由题意，a-1=2 或 a+1=2显然，若 a=1，则 在 x=2 处是发散的，故 a=3又因为当 x=4 时， 成为 12.设函数 f(x)在(-，+)内有定义，且对于任意的 x，y，f(x)满足关系式 f(x+y)-f(x)=f(x)-1y+a(y)， 其中 a(y)满足 （分数：4.00）解析：f“(x)=f(x)-1 解析 由于 a(y)=f(x+y)-f(x)-
13、f(x)-1y，故 令 y=x，则 13.设 n 阶矩阵 A 为反对称矩阵，则对于任意非零 n 维列向量 x，x T Ax= 1 （分数：4.00）解析：0. 解析 x T Ax 是一个数，而一个数的转置就是它本身所以有 x T Ax=(x T Ax) T (1) 而 (x T Ax) T =x T (x T A) T =x T A T x (2) 由 A 为反对称矩阵可知 A T =-A，所以有 x T A T x=-x T Ax (3) 由式(2)、式(3)得 (x T Ax) T =-x T Ax (4) 由式(1)、式(4)得 x T Ax=-x T Ax (5) 由于 x T Ax
14、为一个数，不妨设此数为 a根据式(5)有 a=014.已知一批货物的重量 X(单位 kg)服从正态分布 N(，0.36)，从中随机地抽取 9 箱货物，得到重量的平均值为 6kg，则 的置信度为 0.95 的置信区间为 1 (注：标准正态分布函数值 （分数：4.00）解析：(5.608，6.392) 解析 记 为样本均值，则 的置信度为 0.95(即 =0.05)的置信区间为 由于 ，故 因此，所求置信区间为 三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.证明： （分数：10.00）_正确答案：()解析：证法一 设辅助函数 F(x)=(1+x)ln(1+x)-arctanx 当 x0 时，F“
15、(x)0，故 F“(x)在(0，+)内单调递增 于是 F“(x)F“(0)=0，故 F(x)在(0，+)内单调递增 因此 F(x)F(0)=0，即 (1+x)ln(1+x)arctanx 又由于当 x0 时，arctanx0，故 证法二设辅助函数 f(x)=(1+x)ln(1+x)，g(x)=arctanx 由于函数 f(x)、g(x)在0，x上连续，在(0，x)内可导，根据柯西中值定理，有 其中 (0，x) 将 整理得 由于(1+ 2 )1，1+ln(1+)1，所以有(1+ 2 )1+ln(1+)1，从而 16.设 其中常数 a0，求极限 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 根据夹
16、逼准则， 17.求函数 z=f(x，y)=x 2 +y 2 -2x-4y 在区域 D=(x，y)|x 2 +y 2 20，y0上的最大值和最小值 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 解方程组 得 D 内部的驻点(1，2)，且有 f(1，2)=-5 在 D 的边界 处，把 y=0 代入 f(x，y)，得 易知该函数在 内有最小值-1，无最大值 在 D 的边界 处，把 代入 f(x，y)，得 令 得 x 1 =2，x 2 =-2 由于 该函数在 上有最大值 和最小值 0，从而 f(x，y)在 D 的边界上有最大值 和最小值-1 综上所述，f(x，y)在 D 上的最大值为 ，最小值为 18
17、.计算曲面积分 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 对于 ，有 ，则 如下图， 19.求级数 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 设 ，则 故 从而 20.求向量组 1 =(1，2，1，3) T ， 2 =(1，1，-1，1) T ， 3 =(1，3，3，5) T ， 4 =(4，5，-2，7) T ， 5 =(-3，-5，-1，-7) T 的秩和一个极大无关组，并将其余的向量用该极大无关组线性表出 （分数：11.00）_正确答案：()解析：解 所以矩阵 A 的秩为 3，从而向量组 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 的秩为 3 所以， 1 ， 2 ， 4 是向量组 1 ，
18、 2 ， 3 ， 4 ， 5 的一个极大无关组 记 设 A=(a ij )(i，j=1，2，3)为 3 阶实对称矩阵， 1 =-1， 2 =1 是 A 的两个特征值已知|A|=-1，且 1 =-1 所对应的特征向量为 （分数：11.00）(1).求 A 的主对角线元素之和 （分数：5.50）_正确答案：()解析：解 由于|A|=-1，所以 3 =-1(-1)1=1 由于 a 11 +a 22 +a 33 = 1 + 2 + 3 ， 所以 a 11 +a 22 +a 33 =1(2).求矩阵 A（分数：5.50）_正确答案：()解析：解 由于 A 是实对称矩阵，所以 A 必能对角化，即必存在可逆
19、矩阵 P 和对角矩阵 A 使得 P -1 AP= 式(1)可化为 A=PP -1 不妨取 设 P=( 1 ， 2 ， 3 )，其中 1 为特征值-1 所对应的特征向量 2 ， 3 为特征值 1 所对应的特征向量且线性无关题中所给的 1 就可以作为 1 ，但 2 ， 3 未知，需求出 2 ， 3 设 ，由于实对称矩阵的两个来自于不同特征值的特征向量必正交，所以 1 ， 2 正交故有0x 1 +1x 2 +1x 3 =0只需取满足此关系的任意 x 1 ，x 2 ，x 3 ，这里取的是 x 1 =1，x 2 =0，x 3 =0所以 设 ，同理有 0x 4 +1x 5 +1x 6 =0这里取 x 4
20、=0，x 5 =1，x 6 =1，所以 3 = 现 P 和 均有了，即 ，还差 P -1 设平面区域 G 由直线 2x+y=2 及 x=0，y=0 所围成，二维随机变量(X，Y)在区域 G 上服从均匀分布（分数：11.00）(1).求 P （分数：5.50）_正确答案：()解析：解 由题意，(X，Y)的概率密度为 故 (2).求 Z=Y-2X 的概率密度 f Z (z)（分数：5.50）_正确答案：()解析：解 Z 的分布函数为 F Z (z)=PZz=PY-2Xz=PY2X+z 当 z-2 时，F Z (z)=0； 当-2z0 时， 当 0z2 时， 当 z2 时，F Z (z)=1 故 Z 的概率密度为 设总体 X 的概率密度为 其中 为未知参数，X 1 ，X 2 ，X n 为来自总体 X 的简单随机样本， （分数：11.00）(1).判断 （分数：5.50）_正确答案：()解析：解 故 (2).设 m 为样本值 x 1 ，x 2 ，x n 中大于 2 的个数，求 的最大似然估计（分数：5.50）_正确答案：()解析：解 似然函数为 取对数，得 lnL()=(n-m)ln+mln(1-2) 两边对 求导，得 令 ，解得 ，故 的最大似然估计为
